李曉凡，席浩哲，尹思佳，邸若彤，高 強(qiáng)，秦 景

(1.河北建筑工程學(xué)院 信息工程學(xué)院，河北 張家口 075132；2.天津理工大學(xué) 海運(yùn)學(xué)院，天津 西青 300384；3.燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；4.河北建筑工程學(xué)院 能源工程系，河北 張家口 075132)

0 引 言

機(jī)器人自主導(dǎo)航的核心技術(shù)是機(jī)器人路徑規(guī)劃，而全局路徑規(guī)劃算法和局部路徑規(guī)劃算法在路徑規(guī)劃中發(fā)揮著重要作用。前者關(guān)鍵作用是尋找全圖最優(yōu)導(dǎo)航路線，而后者主要作用于實(shí)時的避障導(dǎo)航[1]。全局規(guī)劃算法有Dijkstra算法[2]、啟發(fā)式A*算法[3]和蟻群算法[4-7]等，全局規(guī)劃算法是為機(jī)器人從起始點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)規(guī)劃出一條可行的路線。而自主導(dǎo)航更多需要依靠局部規(guī)劃算法，如人工勢場算法[8]、模擬退火算法[9]、粒子群算法[10]等，局部路徑規(guī)劃算法是在全局路徑規(guī)劃算法規(guī)劃出可行路線的基礎(chǔ)上結(jié)合機(jī)器人的線速度和角速度指導(dǎo)機(jī)器人完成自主導(dǎo)航。

魏先勇等[11]克服了目標(biāo)周圍有障礙物無法到達(dá)的問題，提出了構(gòu)建一個考慮質(zhì)數(shù)因子的斥力場函數(shù)，消除了局部極小點(diǎn)，解決了當(dāng)障礙物較多時，機(jī)器人將會出現(xiàn)在障礙物前停滯不前的問題。溫素芳等[12]采用障礙物影響范圍縮小的方法，解決了障礙物靠近目標(biāo)點(diǎn)時無法到達(dá)目標(biāo)的問題。同時，采用疊加障礙物效應(yīng)的思想，解決局部極小點(diǎn)造成的陷阱問題，使機(jī)器人順利到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。陳倩等[13]提出對障礙物的連通性進(jìn)行了分析，通過幾何拓?fù)涞玫降目尚薪庥虿⑦M(jìn)行路徑預(yù)規(guī)劃，解決了人工勢場法陷入局部極小點(diǎn)的陷阱的問題。同時在勢場公式中考慮了速度因素，使機(jī)器人能夠避開動態(tài)障礙物。張鵬彬等[14]提出了使用了虛擬目標(biāo)點(diǎn)代替目標(biāo)點(diǎn)使其擺脫局部極小點(diǎn)。張建英等[15]針對局部極小點(diǎn)的陷阱問題，提出了一種增加附加控制力的方法，即當(dāng)障礙物對機(jī)器人的排斥力與目標(biāo)點(diǎn)對機(jī)器人的拉力在一條直線上時。添加與障礙物相關(guān)的控制力以消除局部最小值。Abdall等[16]結(jié)合人工勢場法和模糊控制，將模糊邏輯控制器的隸屬函數(shù)結(jié)合粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，用于移動機(jī)器人的運(yùn)動控制，解決了局部極小點(diǎn)問題。

人工勢場法是將障礙物在地圖上的位置和目標(biāo)點(diǎn)在環(huán)境中的位置結(jié)合點(diǎn)的勢能值標(biāo)記出，使環(huán)境勢場的值也能反映拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和環(huán)境結(jié)構(gòu)(圖1～2)。障礙物邊界的勢場很大，并且隨著距離障礙物的距離增加而減小。目標(biāo)點(diǎn)周圍形成勢場值最小點(diǎn)。人工勢場法的核心思想：將人工勢場放置在目標(biāo)機(jī)器人的工作范圍內(nèi)，目標(biāo)機(jī)器人在勢場的影響下移動到勢場值最小的地方。

圖1 勢能場 圖2 勢能場的障礙物

1 傳統(tǒng)人工勢場法

傳統(tǒng)的人工勢場法引導(dǎo)機(jī)器人導(dǎo)航是由Khatib[17]提出的。由傳統(tǒng)人工勢場理論指出，勢場的負(fù)梯度作為作用在小車上的虛擬力，虛擬力分為虛擬引力場和虛擬斥力場的疊加，在任何一個目標(biāo)導(dǎo)向下，引力場為機(jī)器人提供引力，隨著機(jī)器人靠近目標(biāo)點(diǎn)，機(jī)器人的勢能降低。當(dāng)機(jī)器人接近障礙物時，障礙物表面會產(chǎn)生排斥力。從而對機(jī)器人施加排斥力，機(jī)器人的勢能升高。在組合虛擬力的影響下，機(jī)器人從勢能高的地方，向勢能低的地方移動。

目標(biāo)點(diǎn)的吸引力遍布在地圖的，機(jī)器人可以感受到目標(biāo)點(diǎn)的吸引力，并在地圖中任意一點(diǎn)移動到目標(biāo)點(diǎn)。障礙物的斥力僅在障礙物周圍才會產(chǎn)生，只有當(dāng)機(jī)器人移動到距離障礙物一定距離時才需要對障礙物進(jìn)行躲避。

1.1 引力函數(shù)

將機(jī)器人所在的空間視為二維空間，用P(x0,y0)表示機(jī)器人的位置，用P0(xgoal,ygoal)來表示目標(biāo)點(diǎn)的位置，用Uttr來表示目標(biāo)點(diǎn)在機(jī)器人處產(chǎn)生的引力勢能。在引力場中，P(x0,y0)距離P0(xgoal,ygoal)越遠(yuǎn)勢場越大，而P(x0,y0)等于P0(xgoal,ygoal)時，勢場值等于零。因此，目標(biāo)點(diǎn)的引力與機(jī)器人與目標(biāo)點(diǎn)的距離成正比，距離越大，目標(biāo)點(diǎn)施加的引力越強(qiáng)。相反，距離越短，引力越小，當(dāng)機(jī)器人到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)時，引力變?yōu)榱?。故傳統(tǒng)人工勢場引力公式為

Uttr(q)=0.5K(P(x0,y0)-P0(xgoal,ygoal))2

(1)

其中K為位置增益函數(shù)，(P(x0,y0)-P0)是機(jī)器人與目標(biāo)點(diǎn)之間的相對位置。目標(biāo)點(diǎn)的引力勢場函數(shù)相對于機(jī)器人引力的負(fù)梯度為：

Fttr(q)=-Uttr(q)=-k(P(x0,y0)-p0(xgoal,ygoal))

(2)

當(dāng)機(jī)器人到達(dá)了目標(biāo)點(diǎn)時，(p-p0)接近于零，故引力逐漸收斂于零。

1.2 斥力函數(shù)

為了使機(jī)器人在行駛過程中躲避障礙物，在障礙物表面增加斥力場。斥力場要求對機(jī)器人產(chǎn)生排斥而并非遠(yuǎn)離障礙物，使機(jī)器人不斷躲避障礙物。同時，當(dāng)機(jī)器人離障礙物較遠(yuǎn)時，應(yīng)使障礙物對機(jī)器人影響因子降到很小甚至沒有影響。因此，定義障礙物對機(jī)器人產(chǎn)生的排斥力大小與機(jī)器人到障礙物的距離成反比，機(jī)器人離障礙物越近，排斥力越大，越遠(yuǎn)離障礙物，排斥力越小。所以斥力公式為

(3)

其中Urep(q)是障礙物對機(jī)器人處產(chǎn)生的斥力，n是障礙物斥力的比例系數(shù)，P(x0,y0)-P(q0)為當(dāng)前機(jī)器人與障礙物之間的歐氏距離，p0為障礙物的作用范圍。根據(jù)公式可以看出，當(dāng)距離大于p0時，不會有斥力表現(xiàn)出來；當(dāng)距離小于這個值時，斥力會按照公式給出。當(dāng)距離小于p0時，障礙物的斥力勢場函數(shù)相對于機(jī)器人排斥力的負(fù)梯度為

(4)

1.3 合力函數(shù)

當(dāng)機(jī)器人處于有目標(biāo)點(diǎn)以及障礙物的環(huán)境中，機(jī)器人會受到排斥力和引力的共同作用(圖3)，故合力的公式為

圖3 機(jī)器人受合力作用的仿真

F=Frep+Fttr

(5)

圖3為機(jī)器人在目標(biāo)點(diǎn)吸引和障礙物排斥的聯(lián)合作用下，機(jī)器人避開障礙物，向目標(biāo)點(diǎn)前進(jìn)的仿真實(shí)驗(yàn)圖。

2 人工勢場法存在的問題

2.1 局部極小點(diǎn)

局部極小點(diǎn)問題是指機(jī)器人在運(yùn)動過程中，機(jī)器人受到的合力為零或者接近于零，導(dǎo)致機(jī)器人在運(yùn)動過程中停滯不前或者震蕩。從而誤認(rèn)為局部極小點(diǎn)是目標(biāo)點(diǎn)，局部最極小問題主要有兩種：

第一種：機(jī)器人、障礙物和目標(biāo)點(diǎn)在同一條直線上，當(dāng)機(jī)器人距離目標(biāo)點(diǎn)較遠(yuǎn)時，目標(biāo)點(diǎn)對機(jī)器人的吸引力較大。同時障礙物距離目標(biāo)點(diǎn)更近，且距離機(jī)器人也更近，因此，對機(jī)器人的斥力較大。導(dǎo)致機(jī)器人所受到的合力為零。從而失去對對機(jī)器人的引導(dǎo)力，誤認(rèn)為到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。

第二種：機(jī)器人與目標(biāo)點(diǎn)的連線上沒有障礙物，但周圍有兩個或兩個以上的障礙物，障礙物提供給機(jī)器人的斥力組合為一個合力，合力與目標(biāo)點(diǎn)對機(jī)器人的引力大小相同，方向相反。同時機(jī)器人的速度存在，故在合力的作用下，機(jī)器人在極小點(diǎn)震蕩。第二種在實(shí)驗(yàn)中更為常見，如圖4。

圖4 局部極小點(diǎn)兩種方式

2.2 目標(biāo)不可達(dá)

理想狀態(tài)下，目標(biāo)和障礙物相距較遠(yuǎn)，當(dāng)機(jī)器人逼近目標(biāo)時，障礙物的斥力變得非常小甚至可以忽略不計，機(jī)器人將只受到吸引力的影響便可直接達(dá)到目標(biāo)。但在許多實(shí)際環(huán)境中，往往會有一個甚至多個障礙物與目標(biāo)點(diǎn)離的很近，在這種情況下，當(dāng)機(jī)器人接近目標(biāo)時，它也將向障礙物靠近，導(dǎo)致斥力將遠(yuǎn)大于引力，這樣機(jī)器人會遠(yuǎn)離目標(biāo)點(diǎn)。當(dāng)距離障礙物較遠(yuǎn)時，又會被吸引力吸引重新向目標(biāo)點(diǎn)移動，如此反復(fù)振動。因此移動機(jī)器人將不可能到達(dá)目標(biāo)。

3 改進(jìn)人工勢場法

由于存在局部極小點(diǎn)和目標(biāo)不可達(dá)等問題，故采用設(shè)置暫時中間目標(biāo)點(diǎn)和重新定義斥力函數(shù)的方法。為機(jī)器人重新定義一個實(shí)例函數(shù)，將目標(biāo)點(diǎn)的勢場值作為機(jī)器人工作環(huán)境中的最小點(diǎn)。同時當(dāng)機(jī)器人陷入局部極小點(diǎn)時，使暫時的中間目標(biāo)點(diǎn)對機(jī)器人產(chǎn)生吸引力，致使機(jī)器人遠(yuǎn)離極小點(diǎn)。待機(jī)器人到達(dá)暫設(shè)置的中間目標(biāo)點(diǎn)后，撤銷中間目標(biāo)點(diǎn)，繼續(xù)向真正的目標(biāo)點(diǎn)行駛。

3.1 對于目標(biāo)不可達(dá)的改進(jìn)

由于傳統(tǒng)人工勢場法的斥力場可知，目標(biāo)點(diǎn)的勢場值可能不是機(jī)器人工作環(huán)境中勢場值的全局最小點(diǎn)。為了解決這個問題，需要在斥力場公式中引入目標(biāo)點(diǎn)與機(jī)器人的相對位置，從而構(gòu)建一個新的斥力場公式：

(6)

其中k是比例系數(shù)，P(x0,y0)-P(q0)為機(jī)器人與障礙物之間的歐氏距離，ρ0為障礙物的作用范圍，m是指機(jī)器人與目標(biāo)點(diǎn)距離的m次方。與之前的斥力公式相比，新的公式加入了機(jī)器人與目標(biāo)點(diǎn)之間的的歐式距離，確保了目標(biāo)點(diǎn)是處于機(jī)器人工作環(huán)境中勢場值的最小值。

根據(jù)重新定義的斥力公式可知公式，當(dāng)機(jī)器人未到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)時，斥力可以寫為

(7)

其中

(8)

(9)

圖5 機(jī)器人的受力情況

根據(jù)m的不同取值，分析市場函數(shù)的不同特征。

1)當(dāng)0

(10)

(11)

當(dāng)機(jī)器人向目標(biāo)點(diǎn)靠近時，ρm(q,qgoal)接近于零，故F1會逐漸變小趨近于零，而F2會越來越大，在兩個力的組合影響下，機(jī)器人向目標(biāo)點(diǎn)前進(jìn)。

2)當(dāng)m=1時，ρ(q0)<ρ0且ρ(q0)≠0。

(12)

(13)

3)當(dāng)m>1時，機(jī)器人在靠近目標(biāo)點(diǎn)的斥力場可微分，故F1和F2都接近于零，從而使斥力和為零，機(jī)器人在吸引力的作用下向目標(biāo)點(diǎn)移動。

3.2 對于局部極小點(diǎn)的改進(jìn)

首先對是否陷局部極小點(diǎn)進(jìn)行檢測，由局部極小點(diǎn)的成因指出，機(jī)器人受到的引力和斥力很少會出現(xiàn)絕對的方向相反且大小相等的情況，即機(jī)器人所受到的合力為零。故假設(shè)實(shí)驗(yàn)中機(jī)器人在陷入陷阱后，在某一圓形鄰域內(nèi)反復(fù)震蕩，并無法走出該鄰域。假設(shè)局部極小點(diǎn)的半徑為C1，機(jī)器人第n次和第n+1次的位姿為Qn和Qn+1(n>=0)，同時設(shè)定機(jī)器人每隔T段時間進(jìn)行一次檢測，記錄下每時刻機(jī)器人的位姿。當(dāng)在T這一時間段內(nèi)，當(dāng)|Qn+1-Qn|>C1時，則認(rèn)為機(jī)器人沒有陷入目標(biāo)點(diǎn)，可以繼續(xù)使用目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)進(jìn)行指引。若機(jī)器人仍在一個很小的范圍內(nèi)，即當(dāng)|Qn+1-Qn|

根據(jù)上述算法的描述，機(jī)器人運(yùn)行過程中每隔一段時間記錄一次當(dāng)前位姿，若檢測到?jīng)]有處于同一鄰域則繼續(xù)導(dǎo)航并記錄位姿。若檢測到陷入同一鄰域，則開始添加中間目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行指引。

當(dāng)檢測到機(jī)器人陷入到了局部極小點(diǎn)的陷阱中，需要自動選擇一個中間目標(biāo)點(diǎn)，將機(jī)器人牽引出。本文中間目標(biāo)點(diǎn)的設(shè)置采用在障礙物邊緣選擇中間目標(biāo)點(diǎn)的方法。

首先將目標(biāo)點(diǎn)的中心與機(jī)器人的中心連線，記作L1。之后以L1為路線，搜索距離機(jī)器人的最近的障礙物。以障礙物中心為點(diǎn)做一條垂直于L1的直線，記作L2，將L2周圍的障礙物結(jié)合障礙物的作用范圍(當(dāng)機(jī)器人與障礙物的距離大于這個距離時，斥力視為零)視為一個障礙物集合。在距離障礙物集合兩個步長距離的位置，作垂直于L1的直線，記作L3。沿L3進(jìn)行對直線L3兩側(cè)進(jìn)行搜索。當(dāng)搜索到直線L3兩側(cè)均沒有障礙物時，視為找到障礙物邊緣，記錄障礙物兩個邊緣到L1的距離，選擇距離短的一邊設(shè)置障礙物，如圖6；當(dāng)搜索到一側(cè)有障礙物，一側(cè)沒有障礙物時，則在無障礙物的設(shè)置中間目標(biāo)點(diǎn)，如圖7；以距離L2一個步長的位置設(shè)置中間目標(biāo)點(diǎn)。當(dāng)機(jī)器人行駛至中間目標(biāo)點(diǎn)后，撤銷中間目標(biāo)點(diǎn)，繼續(xù)使用真正的目標(biāo)點(diǎn)對機(jī)器人進(jìn)行牽引。若搜索到兩邊均有障礙物，則將中間目標(biāo)點(diǎn)設(shè)置在距離L1最近的一側(cè)，當(dāng)?shù)竭_(dá)中間目標(biāo)點(diǎn)后重新設(shè)置其他中間目標(biāo)點(diǎn)繼續(xù)進(jìn)行牽引。

圖6 兩側(cè)均無障礙物中間目標(biāo)點(diǎn)的設(shè)置 圖7 一側(cè)有障礙物中間目標(biāo)點(diǎn)的設(shè)置

之后再設(shè)目標(biāo)點(diǎn)的位姿為Qgoal，目標(biāo)點(diǎn)鄰域范圍為C1，當(dāng)|Qn+1-Qgoal|<=C1,則認(rèn)為機(jī)器人到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。若|Qn+1-Qgoal|>=C1，則認(rèn)為機(jī)器人未到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)，繼續(xù)進(jìn)行導(dǎo)航并繼續(xù)經(jīng)行是否陷入極小點(diǎn)的判斷。如圖7，為機(jī)器人行動過程中對是否到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的判斷過程。

圖7 檢測是否到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)

算法步驟如下：

1)判斷機(jī)器人是否陷入局部極小點(diǎn)的陷阱，若陷入則進(jìn)入設(shè)置局部極小點(diǎn)的算法流程中，否則繼續(xù)按人工勢場法進(jìn)行導(dǎo)航。

2)計算機(jī)器人位姿和目標(biāo)點(diǎn)位姿的連線L1，根據(jù)直線L1和機(jī)器人位姿計算出直線L2，根據(jù)障礙物的斥力影響范圍計算出障礙物合集，并計算出直線L3。

3)沿L3對障礙物進(jìn)行掃描。

①若側(cè)都無障礙。則計算直線L1到障礙物集合兩邊的距離并比較，選擇距離較短的一邊，在距離L2一個步長的位置設(shè)置中間目標(biāo)點(diǎn)，使用中間目標(biāo)點(diǎn)對障礙物進(jìn)行牽引(圖6)。

②若有一側(cè)沒有障礙物，一側(cè)有障礙物。則選擇在沒有障礙物的一側(cè)，掃描到障礙物的邊緣，設(shè)置中間目標(biāo)點(diǎn)，并對機(jī)器人進(jìn)行牽引(圖7)。

4)重新檢測是否陷入局部極小值的陷阱中，并檢測是否到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。若不符合，則繼續(xù)按照人工勢場算法導(dǎo)航。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

本文通過MATLAB經(jīng)行仿真分析，分析傳統(tǒng)人工勢場法與改進(jìn)人工勢場法對機(jī)器人導(dǎo)航過程中遇到的目標(biāo)不可達(dá)和局部極小點(diǎn)問題的仿真結(jié)果，并進(jìn)行對比。驗(yàn)證了改進(jìn)人工勢場法的可行性與優(yōu)越性。

4.1 改進(jìn)目標(biāo)不可達(dá)的仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真圖(圖8～9)中定義網(wǎng)格為1m×1m，設(shè)機(jī)器人起始位置為(0,0)，目標(biāo)點(diǎn)為(10,10)，障礙物的位置為[(1.5,1.5)(3,3)(3.2,6)(4,4.5)(6,2)(5.5,6)(8,8)(7.8,9)]其中引力增益系數(shù)為15%，斥力增益系數(shù)為5%，步長為0.2%。

由圖8所示機(jī)器人從(0,0)向目標(biāo)點(diǎn)移動當(dāng)有移動到障礙物附近時，由于障礙物距離目標(biāo)點(diǎn)較近，故在傳統(tǒng)的人工勢場法公式的作用下，機(jī)器人在障礙物周圍徘徊無法到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。而圖九是根據(jù)改進(jìn)后的斥力場公式，機(jī)器人順利到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。

圖8 傳統(tǒng)斥力場仿真實(shí)驗(yàn) 圖9 改進(jìn)后的斥力場仿真實(shí)驗(yàn)

4.2 改進(jìn)局部極小點(diǎn)的仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真圖中定義網(wǎng)格單元為1 m×1 m，設(shè)機(jī)器人起始位置為(0,0)，目標(biāo)點(diǎn)為(10,10)，障礙物的位置為[(1,1)(4,6)(6,4)(3,6)(6,2)(5.5,5.5)(8,7)]其中引力增益系數(shù)為15%，斥力增益系數(shù)為5%，步長為0.2%。

由圖10所示，機(jī)器人從(0,0)開始駛向目標(biāo)點(diǎn)(10,10)，在移動到(5,5)附近時，由于(4,6)、(6,4)2個障礙物提供的斥力，與目標(biāo)點(diǎn)提供的引力，使機(jī)器人陷入了局部極小點(diǎn)的陷阱中，停滯不前。而使用改進(jìn)后的人工勢場法，如圖11，當(dāng)機(jī)器人陷入局部極小點(diǎn)后，在(6,3)的位置設(shè)置了一個中間目標(biāo)點(diǎn)。使機(jī)器人擺脫了陷阱，移動到中間目標(biāo)點(diǎn)后，撤銷中間目標(biāo)點(diǎn)，繼續(xù)向真正的目標(biāo)點(diǎn)移動。由此可見，設(shè)置中間目標(biāo)點(diǎn)可以有效的解決機(jī)器人在導(dǎo)航過程中陷入中間目標(biāo)點(diǎn)的問題。

圖10 傳統(tǒng)人工勢場法仿真 圖11 改進(jìn)人工勢場法仿真

5 結(jié) 論

本文首先分析了機(jī)器人導(dǎo)航過程中可能會遇到的目標(biāo)不可達(dá)和局部極小點(diǎn)的原因，并針對這些問題提出了重新定義斥力場公式和分配中間目標(biāo)點(diǎn)的改進(jìn)方法。重新定義斥力場公式，使得目標(biāo)點(diǎn)成為機(jī)器人工作環(huán)境中勢場值的最小點(diǎn)，防止在勢場中因?yàn)檎系K物距離目標(biāo)點(diǎn)較近，導(dǎo)致其他勢能最低點(diǎn)的出現(xiàn)，使機(jī)器人無法到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)。在判定機(jī)器人陷入局部極小點(diǎn)后，在障礙物集合周圍放置一個中間目標(biāo)點(diǎn)，利用中間目標(biāo)點(diǎn)的吸引力對其進(jìn)行引導(dǎo)，從而將機(jī)器人拉出局部極小點(diǎn)。機(jī)器人到達(dá)中間目標(biāo)點(diǎn)后，取消中間目標(biāo)點(diǎn)，繼使用真正目標(biāo)點(diǎn)吸引，向真正的目標(biāo)點(diǎn)吸引。

文章重新定義了斥力公式，設(shè)置了中間目標(biāo)點(diǎn)。在斥力公式中引入了目標(biāo)點(diǎn)與機(jī)器人的相對位置，解決了因障礙物和目標(biāo)點(diǎn)距離較近導(dǎo)致的目標(biāo)不可達(dá)。增加中間目標(biāo)點(diǎn)，幫助機(jī)器人擺脫陷阱。與傳統(tǒng)的人工勢場法相比，極大的提高了路徑規(guī)劃的成功率。

使用MATLAB進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，證實(shí)了改進(jìn)的人工勢場法的有效性與優(yōu)越性。