屠 威，吳亞杰

(西安工業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)學(xué)院，西安 710021)

拓?fù)浣^緣體不同于普通的絕緣體，其特殊的能帶結(jié)構(gòu)會導(dǎo)致它內(nèi)部絕緣而邊界或表面導(dǎo)電[1-2]。根據(jù)拓?fù)浞诸?，二維體系的拓?fù)浣^緣體可分為兩類：破缺時間反演對稱性的拓?fù)浣^緣體(陳-絕緣體)和具有時間反演對稱性的拓?fù)浣^緣體。陳-絕緣體可通過TKNN拓?fù)鋽?shù)來標(biāo)記[3]；具有時間反演對稱性的拓?fù)浣^緣體可由Z2拓?fù)洳蛔兞縼砜坍媅4-5]。拓?fù)淙毕?π磁通，位錯，渦旋)可以用來探測拓?fù)洳牧系耐負(fù)浣Y(jié)構(gòu)，并且材料的拓?fù)湫再|(zhì)和缺陷的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相互結(jié)合有可能會產(chǎn)生更豐富的物質(zhì)相。文獻(xiàn)[6-7]發(fā)現(xiàn)，霍爾丹模型中的π磁通和晶格位錯周圍會束縛零模態(tài)。文獻(xiàn)[8-9]發(fā)現(xiàn)，在具有粒子-空穴對稱性的石墨烯中，點(diǎn)缺陷(格點(diǎn)空位)周圍存在零模態(tài)。但由于石墨烯無能隙，因此這些零模態(tài)(局域態(tài))很脆弱。那么在有能隙的、具有粒子-空穴對稱性的拓?fù)浣^緣體中，格點(diǎn)空位周圍是否會束縛穩(wěn)定的零模態(tài)，并且如果零模態(tài)存在，這些態(tài)又具有哪些物理性質(zhì)，文中正是基于以上思路展開研究。

文中擬建立四方晶格上的拓?fù)浣^緣體模型，加入非拓?fù)淙毕荩鶕?jù)陳數(shù)計算得出模型的相圖，并通過對系統(tǒng)哈密頓量的嚴(yán)格對角化得出能級分布及粒子態(tài)密度分布。為進(jìn)一步研究粒子-空穴對稱性保護(hù)的零模態(tài)，擬在體系中加入交錯磁場，并緩慢增加格點(diǎn)上的在位勢能，得到局域束縛態(tài)能量的變化。值得注意的是，文中缺陷周圍束縛的零模不能簡單當(dāng)作無能隙邊緣態(tài)的殘留[10]。文中四方晶格上的自旋霍爾丹模型可通過冷原子系統(tǒng)模擬，費(fèi)米子跳躍過程中獲得的相位可利用激光誘導(dǎo)的規(guī)范勢實(shí)現(xiàn)[11-12]，利用干涉方法可以探測系統(tǒng)的拓?fù)洳蛔兞?陳數(shù)[13]。

1 四方晶格上的無自旋霍爾丹模型

分析第一種拓?fù)浣^緣體(四方晶格上的霍爾丹模型[14])，其哈密頓量描述為

(1)

式中近鄰躍遷項為

(2)

次近鄰躍遷項為

(3)

交錯勢能項為

(4)

圖1 具有規(guī)范勢的四方晶格模型及其約化布里淵區(qū)示意圖Fig.1 The illustration of square lattices with gauge potentials and the reduced Brillouin zone

根據(jù)傅里葉變換，2個不同子格對應(yīng)費(fèi)米算符為

(5)

其中Ns為原胞的個數(shù)。經(jīng)過計算，自由費(fèi)米子在動量空間的哈密頓量為

(6)

(7)

矢量d(k)=(dx,dy,dz)，且

dx=-2tcos(kx)，

dy=2tcos(ky)，

dz=-2t′[cos(kx+ky)-cos(kx-ky)]-εsp。

(8)

因此，自由費(fèi)米子的能譜為

(9)

該系統(tǒng)破壞了時間反演對稱性，引入陳數(shù)來刻畫費(fèi)米子的拓?fù)湫再|(zhì)，即

(10)

圖2 無自旋霍爾丹模型的相圖Fig.2 Phase diagram for spinless Haldane model

2 格點(diǎn)空位誘導(dǎo)的零模態(tài)

圖3 存在一個格點(diǎn)格空位(黑色虛圓圈)的系統(tǒng)及其零模態(tài)對應(yīng)的粒子密度分布的示意圖Fig.3 The illustration of one lattice vacancy in the system indicated by dashed circle and the particle density for the zero mode

該零模具有“規(guī)范不變性”，當(dāng)次近鄰躍遷系數(shù)t′變化時，系統(tǒng)的能隙發(fā)生改變，但只要εsp=0，格點(diǎn)空位周圍的零模態(tài)一直存在，結(jié)果如圖4(a)所示，紅線為局域在格點(diǎn)空位附近的零模態(tài)；藍(lán)色區(qū)域?yàn)檫B續(xù)譜。圖4(b)為系統(tǒng)含有一個格點(diǎn)空位時系統(tǒng)的態(tài)密度分布，由于誘導(dǎo)零模態(tài)的存在，在E=0處出現(xiàn)δ函數(shù)峰。圖4中所選參數(shù)均為t′/t=0.2，εsp/t=0。

圖4 能級分布圖和存在一個格點(diǎn)空位時系統(tǒng)的粒子態(tài)密度分布圖Fig.4 The illustration of energy-level distribution and the plot of particle density for the system with one lattice vacancy

空位缺陷誘導(dǎo)局域零模態(tài)具有兩類，分別為|+〉和|-〉，其中|+〉為費(fèi)米占據(jù)態(tài)， |-〉為費(fèi)米空占據(jù)態(tài)。格點(diǎn)空位周圍的費(fèi)米算符為

(11)

(12)

(13)

當(dāng)系統(tǒng)處于拓?fù)湎鄷r，四方格點(diǎn)上的π磁通作為拓?fù)淙毕葜車瑯訒T導(dǎo)一個零模態(tài)，它是受拓?fù)浔Ｗo(hù)的，對任意的局域微擾都是穩(wěn)定的。該零模態(tài)的誘導(dǎo)量子數(shù)為±e/2，統(tǒng)計角為π/4，與格點(diǎn)空位誘導(dǎo)的零模態(tài)不同。

含有4個格點(diǎn)空位系統(tǒng)如圖5(a)所示，當(dāng)系統(tǒng)存在多個格點(diǎn)空位缺陷時,會出現(xiàn)奇偶效應(yīng)。當(dāng)體系中具有奇數(shù)個格點(diǎn)空位時(如1個，3個，5個，…)，總會有零模局域態(tài)存在；而當(dāng)系統(tǒng)存在偶數(shù)個格點(diǎn)空位時(如2個，4個，6個，…)，局域態(tài)變?yōu)橛邢弈芰俊?shí)際上，體系的粒子-空穴對稱性保證了奇數(shù)個缺陷情況下零模態(tài)及成對束縛態(tài)的存在。隨著兩空位距離的增加，能級劈裂隨距離e呈指數(shù)衰減。例如，當(dāng)兩個格點(diǎn)空位遠(yuǎn)離時，兩零模態(tài)間量子隧穿很弱，能級劈裂很小，系統(tǒng)將存在兩個局域的束縛態(tài)(準(zhǔn)零模態(tài))。含不同格點(diǎn)空位的系統(tǒng)能級分布如圖5(b)所示，當(dāng)t′/t=0.2，εsp=0.0時，包含N個空位時系統(tǒng)的能級分布，紅點(diǎn)表示束縛態(tài)，當(dāng)存在奇數(shù)個格點(diǎn)空位時，總會存在一個嚴(yán)格的零模態(tài)。

圖5 含有4個格點(diǎn)空位系統(tǒng)的示意圖和含不同格點(diǎn)空位的系統(tǒng)能級分布圖Fig.5 The illustration of the system with 4 lattice vacancies and the distribution of energy levels for the system with different vacancies

3 粒子-空穴對稱性破缺的相關(guān)分析

緩慢增加格點(diǎn)i0上的在位勢能V0，擴(kuò)展態(tài)將逐漸演化為一個局域在格點(diǎn)i0周圍的束縛態(tài)。當(dāng)在位勢能V0→∞時，束縛態(tài)變?yōu)閲?yán)格的零模態(tài)。為模擬這一變化過程，將哈密頓量寫為

(14)

(15)

(16)

當(dāng)在位參數(shù)β→0時，在位勢能趨于無窮大，此時與格點(diǎn)i0上相關(guān)的躍遷項系數(shù)全為零，等價于格點(diǎn)i0處存在一個格點(diǎn)空位。當(dāng)β→1時，系統(tǒng)恢復(fù)平移對稱性，約化到無格點(diǎn)空位時的情況。通過數(shù)值對角化方法，得到β取不同值時的體系能級分布，如圖6所示,藍(lán)線表示局域束縛態(tài)，所選參數(shù)為t′/t=0.2。由圖6可知，系統(tǒng)處于拓?fù)浣^緣體相時，任意小的無序勢總會導(dǎo)致一個擴(kuò)展態(tài)變?yōu)榫钟虻氖`態(tài)。

圖6 局域束縛態(tài)能量隨在位參數(shù)β的變化示意圖Fig.6 The energy of the localized state via the on-site parameter β

4 四方晶格上的自旋霍爾丹模型

自旋霍爾丹模型與無自旋霍爾丹模型相比，該模型含有自旋自由度，并且具有自旋旋轉(zhuǎn)對稱性。它的哈密頓量為

(17)

式中近鄰躍遷項為

(18)

次近鄰躍遷項為

(19)

其中σ=↑,↓分別為自旋向上和自旋向下。運(yùn)用與分析無自旋霍爾丹模型類似的方法，可以得到自旋霍爾丹模型單格點(diǎn)空位周圍會束縛兩個零模態(tài)，多格點(diǎn)空位情況下同樣存在奇偶效應(yīng)。這些零模態(tài)也受到粒子-空穴對稱性的保護(hù)。

自旋霍爾丹模型中單個格點(diǎn)空位周圍的兩個束縛態(tài)對應(yīng)四個能量簡并態(tài)，分別為|↑-〉?|↓-〉,|↑-〉?|↓+〉,|↑+〉?|↓-〉,|↑+〉?|↓+〉[17]。在半滿情況下，格點(diǎn)空位周圍的局域態(tài)為|↑-〉?|↓+〉,|↑+〉?|↓-〉 ，具有1/2磁矩，即

(20)

(21)

5 結(jié) 論

1) 文中基于無自旋霍爾丹模型和自旋霍爾丹模型，發(fā)現(xiàn)非拓?fù)淙毕?格點(diǎn)空位)會誘導(dǎo)一類新的量子態(tài)(零模態(tài))，受體系的粒子-空穴對稱性保護(hù)，它與拓?fù)淙毕菡T導(dǎo)的零模態(tài)不同。

2) 在無自旋霍爾丹模型中，單個格點(diǎn)空位誘導(dǎo)的零模態(tài)無拓?fù)錁?gòu)型，但攜帶e/2分?jǐn)?shù)電荷；在自旋霍爾丹模型中，由于存在自旋自由度，單個格點(diǎn)空位誘導(dǎo)兩個零模態(tài)，在半滿情況下，其攜帶1/2自旋磁矩。

3) 文中結(jié)論具有普適性，對于具有相應(yīng)對稱性的超導(dǎo)或超流系統(tǒng)同樣適用。但此時缺陷誘導(dǎo)的束縛態(tài)可能對應(yīng)具有非阿貝爾統(tǒng)計性質(zhì)的馬約拉納零能態(tài)，并具有非平庸的拓?fù)湫再|(zhì)，有待未來進(jìn)一步深入研究。