李有堂，楊 佳，張展?jié)?/p>

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050)

斷裂力學(xué)中有3個(gè)基本的參數(shù)，即應(yīng)力強(qiáng)度因子K、J積分和應(yīng)變能釋放率G[1]。應(yīng)力強(qiáng)度因子是裂紋擴(kuò)展計(jì)算和結(jié)構(gòu)體剩余強(qiáng)度計(jì)算中最基本的參數(shù)，如何精確計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子已成為預(yù)測(cè)裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)和判斷結(jié)構(gòu)是否破壞失效的關(guān)鍵。

對(duì)于裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解，許多學(xué)者做了不同的研究。張碩[2]對(duì)雙向恒定拉伸載荷作用下的雙材料垂直于界面裂紋應(yīng)力奇異方程進(jìn)行求解，推導(dǎo)出了應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算公式。Li等[3]研究了應(yīng)力比和裂紋尺寸比對(duì)A7N01鋁合金Ⅰ型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。楊巍等[4]基于相互作用積分法建立了求解應(yīng)力強(qiáng)度因子的有限元模型，并將有限元數(shù)值解與解析解進(jìn)行了對(duì)比，證明了有限元模型求解的準(zhǔn)確性。李亞春等[5]基于單元應(yīng)力外推法的最小二乘法擬合應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)數(shù)據(jù)，得到中心裂紋板裂紋尖端處Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子。江守燕等[6]基于雙材料界面裂紋尖端的基本解，構(gòu)造擴(kuò)展有限元法(extended finite element，XFEM)，建立XFEM的位移模式，給出計(jì)算雙材料界面裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的相互作用積分方法。

目前對(duì)于裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的研究，許多學(xué)者已經(jīng)取得了一定的成果，但是對(duì)于復(fù)合層板材料，考慮到在實(shí)際工程應(yīng)用中，構(gòu)件受到非恒定載荷，并且界面兩側(cè)材料的性能錯(cuò)配也會(huì)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子產(chǎn)生影響，所以分析應(yīng)力比和材料參數(shù)錯(cuò)配對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響是必要的。本文利用位移外推法，以壓力容器常用材料鈦-鋼(TA2-Q235B)復(fù)合層板為研究對(duì)象，分析應(yīng)力比、裂紋尺寸比以及材料的參數(shù)錯(cuò)配對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律。

1 位移外推法基本原理

目前，確定應(yīng)力強(qiáng)度因子的方法較多，典型的方法有解析法、有限元法、權(quán)函數(shù)法、J積分技術(shù)等[7-9]。這些方法用來求解復(fù)雜程度不同的模型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子，求解的精度也有所差別。基于有限元方法的思想，本文采用節(jié)點(diǎn)位移外推法[10]來求解鈦-鋼復(fù)合層板材料垂直于界面的裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子。其基本原理是利用有限元方法計(jì)算出裂紋尖端區(qū)域位于極角θ=π裂紋面上的節(jié)點(diǎn)位移分量，如圖1所示。圖中a為裂紋長(zhǎng)度，θ為極角，r為裂紋尖端徑向距離。把求解出的節(jié)點(diǎn)位移分量代入裂尖位移表征的應(yīng)力強(qiáng)度因子的漸進(jìn)表達(dá)式，得到一系列表征應(yīng)力強(qiáng)度因子，將這些數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，最后得出當(dāng)r→0時(shí)，縱坐標(biāo)的截距即為Ⅰ型裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ。

圖1 裂紋擴(kuò)展示意圖

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)相關(guān)知識(shí)可得，垂直于雙材料界面的裂紋尖端附近位移場(chǎng)的極坐標(biāo)表達(dá)式為：

(1)

其中：

式中：uir為裂紋尖端徑向位移場(chǎng)；uiθ為裂紋尖端法向位移場(chǎng)；i=1，2，對(duì)應(yīng)于雙材料中的材料一和材料二；λ為應(yīng)力奇異性指數(shù)；μi為剪切模量：gr，gθ為奇異位移場(chǎng)因子；Ei為彈性模量；νi為泊松比。

(2)

Fi(θ)=aisin[(λ+1)θ]+bicos[(λ+1)θ]+cisin[(λ-1)θ]+dicos[(λ-1)θ]

(3)

其中：

式中：ηi為奇異位移場(chǎng)系數(shù)；ai，bi，ci，di為特征向量對(duì)應(yīng)λ的分量；Fi(θ)為載荷場(chǎng)。其中平面應(yīng)力狀態(tài)為作用力平行于板面，沿厚度方向不變；平面應(yīng)變狀態(tài)為作用力垂直于板面，沿長(zhǎng)度方向不變。

λ可確定為以下特征方程的根：

2αcos(πλ)-βλ2-γ=0

(4)

式中：α，β，γ均為奇異性指數(shù)方程的特征因子。這些特征因子由鈦-鋼復(fù)合層板材料的材料參數(shù)決定，具體表現(xiàn)為：

(5)

其中：

式中：m為剪切模量比；ki為特征因子系數(shù)，i=1,2。

將相關(guān)參數(shù)求解后代入式(1)中，當(dāng)θ=π，且r→0時(shí)，可得：

(6)

因此，Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子可定義為：

(7)

根據(jù)式(7)，利用

(8)

(9)

圖2 節(jié)點(diǎn)位移外推法求解KⅠ

根據(jù)式(7)的定義，可知式(9)中等號(hào)右端的系數(shù)C2即為Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的近似值，因此可將式(9)改寫成

(10)

最后將擬合得到的曲線延伸，與縱坐標(biāo)的交點(diǎn)即為所要求的應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ。

也可直接通過數(shù)學(xué)計(jì)算的方法直接計(jì)算出應(yīng)力強(qiáng)度因子，根據(jù)式(8)和式(10)，得到所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的偏差平方和S為：

(11)

(12)

式(12)即為Ⅰ型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子位移外推法的計(jì)算公式。

2 實(shí)例分析

在上述理論基礎(chǔ)上，本文以壓力容器常用材料鈦-鋼(TA2-Q235B)為研究對(duì)象，利用有限元分析方法，分別建立不同裂紋尺寸比的有限元模型，施加不同應(yīng)力比的等幅載荷，求解出應(yīng)力比R、裂紋尺寸比a/W與裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子KⅠ的關(guān)系變化曲線，分析其對(duì)裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律。

2.1 幾何模型及受載情況

本文以壓力容器鈦-鋼(TA2-Q235B)復(fù)合層板材料為研究對(duì)象，分析單邊Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，圖3所示為幾何模型及受載情況。其中a為裂紋長(zhǎng)度，本文分析不同初始裂紋長(zhǎng)度下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，取a=1,2,3,4,5,6,7,8 mm；L為材料寬度，取L=20 mm；W為材料長(zhǎng)度，取W=10 mm；t為材料厚度，取t=0.5 mm。材料的力學(xué)性能參數(shù)見表1。σ為材料受到不同應(yīng)力比下的等幅周期性載荷，具體數(shù)值見表2。

圖3 幾何模型

表1 材料力學(xué)性能參數(shù)

表2 載荷參數(shù)值

2.2 有限元分析求解

根據(jù)以上所描述的幾何模型及其受載情況，利用有限元分析軟件進(jìn)行建模分析。在網(wǎng)格劃分模塊中，因?yàn)榱鸭y尖端應(yīng)力梯度大，存在奇異性，所以對(duì)裂紋尖端處需通過細(xì)化網(wǎng)格來處理奇異性，從而提高分析精度。裂紋尖端區(qū)域使用C3D6(六節(jié)點(diǎn)母性三棱柱單元)的楔形單元進(jìn)行掃掠，其余部分采用C3D8R(八節(jié)點(diǎn)線性六面體單元)進(jìn)行掃掠。初始裂紋長(zhǎng)度不同時(shí)，網(wǎng)格劃分的數(shù)目有所不同，圖4為裂紋尺寸比a/W=0.2時(shí)的網(wǎng)格模型圖。

圖4 模型總體網(wǎng)格及裂紋尖端局部網(wǎng)格

按不同的裂紋長(zhǎng)度，建立相應(yīng)的模型，分別施加不同應(yīng)力比的等幅載荷進(jìn)行分析求解，得出裂紋尖端的應(yīng)力分量及位移分量，最后代入相應(yīng)公式進(jìn)行求解。圖5為裂紋尺寸比a/W=0.3、載荷應(yīng)力比R=0.10時(shí)的裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)及位移場(chǎng)云圖。

圖5 裂紋尺寸比a/W=0.3、應(yīng)力比R=0.10時(shí)的云圖

3 數(shù)值模擬結(jié)果分析及討論

3.1 分析結(jié)果

目前，隨著有限元方法的發(fā)展，求解得到的結(jié)果與實(shí)際結(jié)果吻合較好，下面將討論應(yīng)力比、裂紋尺寸比以及材料參數(shù)錯(cuò)配對(duì)裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響。

3.2 應(yīng)力比對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

圖6 應(yīng)力比對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

3.3 材料參數(shù)錯(cuò)配對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

圖7 材料參數(shù)對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響

4 結(jié)論

本文基于位移外推法求解復(fù)合層板材料裂紋尖端的KⅠ，利用有限元分析方法，結(jié)合實(shí)際工程中的工作條件，施加不同應(yīng)力比的等幅載荷，使得模擬過程更加接近實(shí)際工程應(yīng)用，通過分析求解，最終得出以下結(jié)論：

1)應(yīng)力比和裂紋尺寸比對(duì)鈦-鋼復(fù)合層板材料裂紋尖端的KⅠ均有影響。在同一裂紋尺寸比a/W條件下，裂紋尖端的KⅠ隨著應(yīng)力比的增大而增大；在同一應(yīng)力比條件下，裂紋尖端的KⅠ隨著a/W的增大而增大。