陳 豪 趙 繼 徐秀玲 于天彪

東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)，110819

0 引言

磨削是精密制造的關(guān)鍵技術(shù)之一，被廣泛應(yīng)用于精密零件的加工制造。雖然磨削加工具有較長(zhǎng)的歷史，但由于磨削過(guò)程比較復(fù)雜，磨削機(jī)理至今仍然是精密加工的研究熱點(diǎn)之一[1]。在計(jì)算機(jī)技術(shù)高速發(fā)展的今天，仿真技術(shù)通常被應(yīng)用于磨削機(jī)理的研究以及加工參數(shù)的優(yōu)化，其中，虛擬砂輪建模是磨削過(guò)程仿真的基礎(chǔ)。虛擬砂輪建模的研究，有利于磨削表面質(zhì)量的預(yù)測(cè)，對(duì)磨削技術(shù)的改進(jìn)提高具有重要的意義。

目前，虛擬砂輪建模的方法主要有三類。第一類是利用檢測(cè)設(shè)備對(duì)實(shí)際砂輪表面進(jìn)行檢測(cè)，根據(jù)砂輪表面的三維數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。XIE等[2]對(duì)砂輪表面形貌進(jìn)行測(cè)量并提出砂輪表面評(píng)價(jià)方法，線性擬合砂輪表面形貌，并對(duì)其進(jìn)行了量化。第二類是利用高斯隨機(jī)粗糙表面去模擬實(shí)際的砂輪表面，認(rèn)為模擬的隨機(jī)粗糙表面上的凸峰為磨粒。SALISBURY等[3]利用二維傅里葉變換對(duì)三維砂輪表面結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究，建立了適用于磨削過(guò)程仿真的砂輪表面模型。第三類是基于磨粒模型構(gòu)建虛擬砂輪，即將磨粒模型按照一定規(guī)律排布到虛擬砂輪表面。CHEN等[4]先將磨粒陣列排布在三維空間中，然后給予磨粒隨機(jī)位移，生成具有隨機(jī)磨粒位置的虛擬砂輪。

在磨削研究中，常用的磨粒模型有球形、圓錐、圓臺(tái)以及凸多面體。在第三類砂輪建模方法的相關(guān)研究中，基于凸多面體模型建模占有較大比重。凸多面體有四面體、六面體、八面體等簡(jiǎn)單的幾何圖形[5-7]，也有復(fù)雜的隨機(jī)凸多面體[8-11]。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，近年來(lái)采用凸多面體建模的虛擬砂輪研究日益增多。LI等[8]通過(guò)立方體與八面體相交的方法，生成具有金剛石磨粒特征的隨機(jī)凸多面體磨粒。PELLEGRIN等[9]模仿磨粒在磨損過(guò)程中頂點(diǎn)和邊緣位置先磨損的現(xiàn)象，采用隨機(jī)截去空間凸多面體頂角的方法生成了隨機(jī)凸多面體磨粒模型。宿崇等[10]通過(guò)球的隨機(jī)切平面切割空間立方體的方法生成了隨機(jī)多面體磨粒模型。鄧朝暉等[11]采用基于球坐標(biāo)的隨機(jī)點(diǎn)產(chǎn)生空間平面切分實(shí)體的方法生成隨機(jī)磨粒。

利用磨粒模型生成虛擬砂輪，關(guān)鍵是將磨粒排布在砂輪表面，在此過(guò)程中會(huì)涉及磨粒之間的干涉問(wèn)題。少數(shù)研究為了簡(jiǎn)化模型，不考慮磨粒之間的干涉[6，12]，多數(shù)研究為了得到更具實(shí)際砂輪表面特征的虛擬砂輪，考慮了磨粒的干涉問(wèn)題。對(duì)磨粒干涉問(wèn)題的處理方法主要有兩類：一類是限制磨粒的移動(dòng)范圍，使磨粒的移動(dòng)范圍不重疊；另一類是對(duì)磨粒進(jìn)行碰撞檢測(cè)，以避免磨粒之間出現(xiàn)干涉，大部分的磨粒干涉問(wèn)題研究采用該處理方法。目前，虛擬磨粒干涉檢測(cè)基本采用包圍球碰撞檢測(cè)方法[4，13-14]。

對(duì)于凸多面體，采用包圍球碰撞檢測(cè)磨粒干涉時(shí)存在包圍球相互接觸但磨粒間距過(guò)大的情況，這一現(xiàn)象影響了磨粒的空間位置分布，導(dǎo)致虛擬砂輪表面與實(shí)際砂輪表面存在一定的偏差。為解決該問(wèn)題，本文提出一種基于凸多面體碰撞檢測(cè)的虛擬砂輪建模方法，并與包圍球碰撞檢測(cè)方法進(jìn)行對(duì)比分析，驗(yàn)證本方法的優(yōu)越性。

1 隨機(jī)磨粒模型

1.1 磨粒的生成

目前的磨粒形狀除了球形、圓錐形之外，大多數(shù)為凸多面體，如四面體、六面體、八面體以及隨機(jī)凸多面體等。造成磨削過(guò)程復(fù)雜的原因之一就是磨粒的隨機(jī)性，砂輪表面有成千上萬(wàn)顆磨粒，這些磨粒在形狀、大小、姿態(tài)上都各不相同。為更具一般性，本文采用文獻(xiàn)[10]的隨機(jī)凸多面體磨粒模型，該模型是利用球的隨機(jī)切平面對(duì)立方體進(jìn)行切割生成的。該模型的實(shí)現(xiàn)原理如圖1所示，具體生成步驟如下：①建立棱長(zhǎng)為l的立方體；②以立方體質(zhì)心為球心，建立半徑為r的球體；③在球體表面隨機(jī)選取一點(diǎn)，以此點(diǎn)作球體的切平面對(duì)立方體進(jìn)行切分，保留球心一側(cè)的實(shí)體，去除另一側(cè)實(shí)體；④重復(fù)步驟③，直至達(dá)到預(yù)設(shè)的切分次數(shù)。最終生成的磨粒為不規(guī)則的凸多面體，具有形狀隨機(jī)性。

圖1 隨機(jī)凸多面體磨粒模型示意圖Fig.1 Random convex polyhedron abrasive model

1.2 磨粒的當(dāng)量直徑

在傳統(tǒng)的磨削研究中，人們習(xí)慣將磨?？醋髑蛐危虼私?jīng)典的磨削理論采用磨粒直徑表示磨粒大小，但由于凸多面體磨粒不是球形，并沒(méi)有直徑這一參數(shù)，故采用當(dāng)量直徑來(lái)表征磨粒大小。本文采用最小包圍球(minimum enclosing ball，MEB)的直徑作為凸多面體磨粒模型的當(dāng)量直徑，如圖2所示。磨粒的最小包圍球是能夠包含磨粒的最小球體，具有唯一性。最小包圍球一般應(yīng)用于碰撞檢測(cè)，可以粗略判斷磨粒干涉情況。

圖2 磨粒的最小包圍球Fig.2 Minimum enclosing ball of abrasive grain

1.3 磨粒大小修正

通常采用粒度來(lái)劃分磨粒直徑大小。對(duì)于某一粒度的磨粒，其磨粒直徑分布區(qū)間由篩選磨粒的篩網(wǎng)決定。磨粒先通過(guò)網(wǎng)孔較大的篩網(wǎng)，將大于該篩網(wǎng)孔徑dmax的磨粒篩除。然后通過(guò)網(wǎng)孔較小的篩網(wǎng)，將小于該篩網(wǎng)孔徑dmin的磨粒篩除，留下磨粒的尺寸范圍為[dmin，dmax]。相關(guān)研究表明，磨粒的直徑大小服從正態(tài)分布[15]，如圖3所示。本文假設(shè)磨粒的直徑服從正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)如下：

(1)

(2)

式中，d為磨粒直徑；μ、σ分別為磨粒直徑的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

圖3 磨粒直徑分布的概率密度函數(shù)Fig.3 Probability density function of abrasive grain diameter distribution

根據(jù)正態(tài)分布的3σ原則，隨機(jī)變量的值基本集中在[μ-3σ，μ+3σ]，認(rèn)為μ-3σ和μ+3σ分別是隨機(jī)變量取值的下限和上限，因此，磨粒直徑的最大值、最小值、均值和標(biāo)準(zhǔn)差之間存在以下關(guān)系：

(3)

則磨粒直徑的標(biāo)準(zhǔn)差為

σ=(dmax-dmin)/6

(4)

根據(jù)磨粒的直徑分布，將1.1節(jié)的磨粒模型進(jìn)行縮放變換，使磨粒模型的直徑符合實(shí)際的磨粒大小。假設(shè)點(diǎn)(x，y，z)是磨粒模型上的點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)縮放變換后的坐標(biāo)為

(5)

式中，d0為縮放前的磨粒模型直徑。

2 砂輪模型

2.1 砂輪的磨粒率

因?yàn)槟ハ鲿r(shí)主要是砂輪表層的磨粒參與切削，因此本文只建立單層磨粒的砂輪模型。首先，將砂輪的圓周面展開(kāi)，建立坐標(biāo)系Oxyz；然后，參考文獻(xiàn)[4]中的方法，將磨粒按照等距離排布，使相鄰磨粒球心的間隔為L(zhǎng)，如圖4a所示。這相當(dāng)于將磨粒放入棱長(zhǎng)為L(zhǎng)的立方體中，并使磨粒的球心與立方體質(zhì)心重合，如圖4b所示。立方體體積與砂輪模型的磨粒率有如下關(guān)系：

V=Vg/Vcube

(6)

式中，V為磨粒率，即磨粒在磨具中占有的體積百分?jǐn)?shù)；Vg為所有磨粒的總體積；Vcube為所有立方體的總體積。

(a) 磨粒陣列排布

超硬砂輪一般用濃度號(hào)表示磨粒的相對(duì)體積分?jǐn)?shù)，可以根據(jù)濃度號(hào)的定義來(lái)?yè)Q算出超硬砂輪的磨粒率。對(duì)于普通砂輪，磨粒率可按下面公式進(jìn)行計(jì)算[16]：

V=2(31-S)/100

(7)

式中，S為砂輪的組織號(hào)。

凸多面體體積的計(jì)算比較復(fù)雜，本文采用最小包圍球體積估算磨粒體積，虛擬砂輪中所有磨粒的體積計(jì)算公式如下：

(8)

式中，dk為第k個(gè)磨粒的直徑；n為磨粒總數(shù)。

立方體個(gè)數(shù)與磨?？倲?shù)一致，所有立方體的總體積計(jì)算公式如下：

Vcube=nL3

(9)

將式(8)和式(9)代入式(6)，求解得到立方體棱長(zhǎng)為

(10)

2.2 磨粒的隨機(jī)位置

磨粒突出高度是非常重要的參數(shù)，它關(guān)系到磨削表面的形貌。有研究認(rèn)為，磨粒突出高度服從正態(tài)分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別如下[17]：

(11)

實(shí)際上，磨粒突出高度的取值范圍存在上下限。本文假設(shè)磨粒突出高度的取值范圍為(μh-cσh，μh+cσh)，其中，c為系數(shù)，決定了突出高度的上下限。

給予磨粒z軸方向上的隨機(jī)位移使磨粒突出高度符合正態(tài)分布，移動(dòng)后第(i，j)顆磨粒球心的z軸坐標(biāo)為

(12)

在保持磨粒突出高度不變的情況下，給予磨粒一個(gè)Oxy平面上的隨機(jī)移動(dòng)，使磨粒的空間位置具有隨機(jī)性。移動(dòng)后磨粒球心的x、y軸坐標(biāo)如下：

(13)

2.3 磨粒的碰撞檢測(cè)

在真實(shí)的砂輪表面，磨粒之間并不存在干涉，因此需要對(duì)磨粒進(jìn)行碰撞檢測(cè)。傳統(tǒng)的虛擬砂輪建模通常采用包圍球碰撞檢測(cè)方法，該方法要求任意兩顆磨粒之間的中心距離大于或等于兩顆磨粒的半徑之和，即需滿足如下關(guān)系：

(14)

對(duì)于凸多面體，采用包圍球碰撞檢測(cè)會(huì)存在較大的誤差，如圖5所示，當(dāng)兩磨粒的最小包圍球接觸時(shí)，兩磨粒并未接觸，磨粒間存在較大的間隙，而在真實(shí)的砂輪中，經(jīng)常出現(xiàn)磨粒相互接觸的情況，此時(shí)磨粒間隙小于磨粒的半徑之和，所以用包圍球檢測(cè)方法檢測(cè)凸多面體磨粒干涉已不適用。為使虛擬砂輪更加接近真實(shí)砂輪，本文采用凸多面體碰撞檢測(cè)方法檢測(cè)磨粒干涉狀況。

凸多面體是由一系列平面包圍形成的三維幾何體，它所占的空間可用下式表示：

(15)

式中，(Ai，Bi，Ci)為磨粒第i個(gè)面的法向量，方向指向磨粒外部；(xi，yi，zi)為磨粒第i個(gè)面上的一點(diǎn)；m為磨粒的總面數(shù)。

(a) 包圍球接觸

式(15)中每個(gè)不等式表示的是以凸多面體某個(gè)面所在的平面劃分的半空間區(qū)域。對(duì)于三維空間中的一點(diǎn)(x，y，z)，若滿足式(15)，則該點(diǎn)位于凸多面體內(nèi)部。因此，當(dāng)檢測(cè)兩個(gè)磨粒是否干涉時(shí)，利用式(15)判斷一顆磨粒上是否存在一點(diǎn)位于另一顆磨粒的內(nèi)部，若存在這樣的點(diǎn)，則兩磨粒相互干涉，反之則不干涉。

2.4 虛擬砂輪模型生成

在磨粒排布時(shí)，對(duì)磨粒進(jìn)行碰撞檢測(cè)，若存在干涉，則重新給予磨粒隨機(jī)位移直到磨粒之間不存在干涉為止。至此，得到砂輪表面展開(kāi)時(shí)的磨粒坐標(biāo)。最后，將磨粒坐標(biāo)變換到砂輪的圓周面上，即得到最終的虛擬砂輪，其坐標(biāo)變換為

(16)

式中，R為砂輪的半徑。

虛擬砂輪生成流程如圖6所示。生成虛擬砂輪主要分兩個(gè)步驟：第一步是生成磨粒模型，第二步是磨粒排布。碰撞檢測(cè)方法直接影響著虛擬砂輪的最終表面，是磨粒排布的關(guān)鍵步驟。

圖6 虛擬砂輪生成流程圖Fig.6 Flow chart of virtual grinding wheel generation

圖7a所示為根據(jù)本文方法生成的虛擬砂輪。為便于觀察磨粒干涉情況，對(duì)砂輪表面進(jìn)行局部放大，如圖7b所示，可以看到，磨粒位置具有隨機(jī)性，相鄰磨粒之間的間距較小，部分磨粒重疊，疑似干涉。為分析重疊磨粒是否干涉，對(duì)疑似磨粒干涉的區(qū)域進(jìn)行再次放大，并調(diào)整到適當(dāng)?shù)囊暯?，如圖7c～圖7e所示，可以看到磨粒之間仍存在極小的間隙，因此可認(rèn)為磨粒之間并不干涉。這說(shuō)明在圖7b中，因?yàn)橐暯堑脑?，?dǎo)致磨粒部分重疊在一起，實(shí)際上磨粒并未干涉。綜上，凸多面體碰撞檢測(cè)方法可以用于虛擬砂輪的建模。

(c) (d) (e) 圖7 虛擬砂輪Fig.7 Virtual grinding wheel

3 對(duì)比分析

3.1 不同碰撞檢測(cè)方法對(duì)磨粒位置分布的影響

本文提出的虛擬砂輪建模方法與傳統(tǒng)的虛擬砂輪建模方法相比，主要區(qū)別為，本文方法采用凸多面體碰撞檢測(cè)方法進(jìn)行磨粒的干涉檢測(cè)。本文對(duì)基于凸多面體碰撞檢測(cè)方法和基于包圍球碰撞檢測(cè)方法生成的虛擬砂輪表面進(jìn)行比較。虛擬砂輪的參數(shù)如下：磨粒尺寸150～180 μm；磨粒率20%～60%。

表1所列為基于兩種碰撞檢測(cè)方法在不同磨粒率下的虛擬砂輪表面。在20%磨粒率下，基于包圍球碰撞檢測(cè)(以下稱為“原始方法”)的虛擬砂輪表面磨粒分布均勻，磨粒間距較大。而基于凸多面體碰撞檢測(cè)(以下稱為“改進(jìn)方法”)的虛擬砂輪表面，磨粒的位置更具隨機(jī)性，相鄰磨粒間距更小，并且出現(xiàn)較大的磨粒間隙區(qū)。隨著磨粒率的增大，單位面積上的磨粒數(shù)量增加，此時(shí)，原始方法的虛擬砂輪表面磨粒位置的隨機(jī)性逐漸減小，當(dāng)磨粒率達(dá)到40%時(shí)，其磨?；境手本€排布。這是因?yàn)楫?dāng)磨粒率較高時(shí)，磨粒間距L減小，若基于包圍球進(jìn)行碰撞檢測(cè)，則留給磨粒隨機(jī)移動(dòng)的空間非常有限，因此磨粒呈直線排布。反觀改進(jìn)方法的虛擬砂輪表面，當(dāng)磨粒率為40%時(shí)，磨粒位置仍具有很好的隨機(jī)性。

實(shí)際上，砂輪具有較高的磨粒率，組織號(hào)為0時(shí)，砂輪的磨粒率高達(dá)62%。當(dāng)磨粒直徑都相等時(shí)，原始方法最高能生成磨粒率為52.4%的虛擬砂輪，此時(shí)磨粒直徑與立方體邊長(zhǎng)相等，磨粒只能規(guī)則陣列排布，不具備磨粒位置的隨機(jī)性，與實(shí)際砂輪表面不符。實(shí)際上，磨粒直徑不可能都相等，因此原始方法生成的砂輪磨粒率要小于52.4%，無(wú)法達(dá)到較小組織號(hào)砂輪的磨粒率要求。如表1所示，包圍球碰撞檢測(cè)無(wú)法生成磨粒率為50%和60%的虛擬砂輪。而凸多面體碰撞檢測(cè)允許包圍球之間部分重疊，能生成更高磨粒率的砂輪。經(jīng)仿真試驗(yàn)，該方法可以生成62%磨粒率的虛擬砂輪，即可以模擬最小組織號(hào)的砂輪。因此，凸多面體碰撞檢測(cè)方法比包圍球碰撞檢測(cè)方法更適合虛擬砂輪建模。

表1 基于不同碰撞檢測(cè)方法生成的虛擬砂輪表面對(duì)比

針對(duì)每一顆磨粒，計(jì)算與之相鄰最近磨粒之間的中心距離，即該磨粒最小中心間距，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖8所示?？梢钥吹?，改進(jìn)方法中最小磨粒中心間距的均值小于原始方法中最小磨粒中心間距的均值。這說(shuō)明在改進(jìn)方法下，磨粒的隨機(jī)移動(dòng)范圍更大，能夠形成更小的磨粒間距。當(dāng)磨粒率增大時(shí)，兩種方法的均值和標(biāo)準(zhǔn)差都減小，這是因?yàn)殡S著磨粒率的增大，磨粒的平均間距減小，導(dǎo)致磨?？呻S機(jī)移動(dòng)的范圍減小。當(dāng)磨粒率為40%時(shí)，原始方法的標(biāo)準(zhǔn)差很小，這說(shuō)明磨粒間距的變化范圍小，因此，在原始方法下磨粒近似呈直線排布。而此時(shí)，改進(jìn)方法的標(biāo)準(zhǔn)差是原始方法標(biāo)準(zhǔn)差的2.6倍，說(shuō)明改進(jìn)方法的磨粒位置分布更加隨機(jī)。

(a) 磨粒率為20% (b) 磨粒率為30% (c) 磨粒率為40%圖8 磨粒最小中心間距統(tǒng)計(jì)Fig.8 Minimum distance of abrasive grain centers

3.2 虛擬砂輪表面與真實(shí)砂輪表面對(duì)比

根據(jù)本文方法生成虛擬砂輪表面，并與真實(shí)砂輪表面進(jìn)行比較。虛擬砂輪的參數(shù)為：磨粒尺寸150～180 μm；磨粒率50%。

(a) 虛擬砂輪表面

圖9為虛擬砂輪表面與實(shí)際砂輪表面對(duì)比圖。圖9a為虛擬砂輪表面圖，圖中相鄰磨粒間距小，存在面積較大的磨粒間隙區(qū)(圖中虛線包圍區(qū)域)。該間隙區(qū)是由于磨粒隨機(jī)移動(dòng)之后產(chǎn)生的無(wú)規(guī)則的無(wú)磨粒區(qū)。圖9b所示為真實(shí)砂輪表面，同樣可以看到相鄰磨粒間距小，也存在較大的無(wú)規(guī)則間隙區(qū)，這與虛擬砂輪的表面特征一致，說(shuō)明基于凸多面體碰撞檢測(cè)方法生成的虛擬砂輪表面與真實(shí)砂輪表面具有很高的相似性。

綜上所述，基于凸多面體碰撞檢測(cè)方法的虛擬砂輪表面具有真實(shí)砂輪的表面特征。

4 結(jié)論

(1)將最小包圍球直徑作為磨粒的當(dāng)量直徑，便于實(shí)現(xiàn)磨粒大小的修正以及基于包圍球的磨粒干涉檢測(cè)。

(2)采用先賦磨粒突出高度后給予磨粒水平隨機(jī)位移的方法，保證了磨粒在具有正確的突出高度的同時(shí)具備位置隨機(jī)性。

(3)與基于包圍球碰撞檢測(cè)方法的虛擬砂輪相比，基于凸多面體碰撞檢測(cè)方法的虛擬砂輪具備更強(qiáng)的磨粒位置隨機(jī)性，能生成磨粒率更高的虛擬砂輪。

(4)基于凸多面體碰撞檢測(cè)方法的虛擬砂輪表面特征與真實(shí)砂輪一致。