◎陳 劭

(中國農(nóng)業(yè)大學信息與電氣工程學院，北京 100083)

數(shù)學建模是根據(jù)實際問題建立數(shù)學模型，并利用數(shù)學模型求解問題，是當代解決實際問題的重要手段.

目前，中國比較認可的大學生數(shù)學建模競賽主要有“高教社杯”全國大學生數(shù)學建模競賽(簡稱國賽)、美國大學生數(shù)學建模競賽(簡稱美賽)、華中地區(qū)大學生數(shù)學建模邀請賽、數(shù)維杯全國大學生數(shù)學建模競賽等.特別是前兩個競賽，參與的大學生團隊非常多，含金量也比較高.高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽是全國高校規(guī)模最大的課外科技活動之一，該競賽創(chuàng)辦于1992年，每年一屆，九月舉行，是首批列入高校學科競賽排行榜的19項競賽之一.美國大學生數(shù)學建模競賽，由美國數(shù)學及其應用聯(lián)合會主辦，是唯一的國際性數(shù)學建模競賽，也是世界范圍內(nèi)最具影響力的數(shù)學建模競賽.我多次參與數(shù)學建模競賽，有校級的、國家級的，也有國際級的，都獲得了好成績.這里我就自己的參與經(jīng)歷，淺談大學生數(shù)學建模競賽的心得.

一、建模前期準備

良好的開端，等于成功的一半，建模前期準備工作的充分與否，直接影響后續(xù)建模的成敗.準備工作主要有以下兩個方面：

(一)隊友選擇

一個好的團隊，他們的凝聚力、戰(zhàn)斗力勢必非常強大.選擇隊友的面很廣，可以是你相同專業(yè)的同班級同學，也可以是不同班級不同專業(yè)甚至是不同年級的同學，只要是同一個學校的都可以自由組合.聯(lián)系的渠道很多，原來認識的同學，可以直接溝通探討，不認識的同學也可通過在一些公共社群發(fā)出招賢合作信息，例如在學校的數(shù)學建模群(大學里面一般都會開設數(shù)學建模的群)里投發(fā)自己的意愿，招納合作人士.在建模組隊、選擇合作伙伴時，要注意：

1.隊友要有高度責任感.這是數(shù)學建模競賽非常關鍵的因素.建模是一項團隊合作的項目，必須同心同德，不可出現(xiàn)責任不強或者想搭便車的人.

2.組隊時，可以男女搭配，但盡量不要出現(xiàn)情侶關系.數(shù)學建模過程是很辛苦的，團隊中有異性伙伴，對團隊的互相激勵有很大的作用，但最好不要有情侶關系的同伴，因為建模團隊多數(shù)是3人，若其中有兩人是情侶關系，另外一個隊友可能會比較尷尬，影響戰(zhàn)斗力.

3.適當考慮個人的特長，合理組合.隊伍中最好有一個擅長編程的人，有一個寫作能力強的人，在參加美國數(shù)學建模競賽時，可以適當考慮加入一位外語較強的隊友.

(二)賽前訓練

賽前訓練對于正式建模的進度效率影響很大，相當于陣前磨刀.最重要的是對算法模型的熟悉理解，知道它們能用于哪些問題，能解決什么方向的問題.三個人都應該掌握，不能把希望寄托在其他人身上，因為在這種需要靈感的學術研究中，多一份智慧，可能就會有意想不到的收獲.

團隊一起訓練時，可以找往年的賽題.可能有些人覺得，每年賽題都不一樣，訓練的題目也不可能是今后比賽項目，做了也是浪費時間.但我認為，團隊訓練是非常重要的，通過訓練，可以加強團隊間的默契程度.通過團隊一起反復演練，很多細節(jié)分工，合作問題會暴露出來.比如在賽中，通常是要花一天的時間確定選題、收集材料，理清每個小問題的大致框架，把可能的解題思路列出來，最終形成的論文篇幅很大，若是沒有分工，到最后時間可能來不及；在美賽中，通常安排一位英語較強的隊員負責文章寫作，另外兩個隊員負責編程建模.那么在還沒有清晰思路的情況下，這位負責英文寫作的隊員又該做些什么呢？這些分工細節(jié)，如果沒在賽前多演練，上場時可能就會手忙腳亂.

二、建模思路要點

(一)簡化題干，明確關鍵詞

比賽時，建模時間非常緊迫.團隊收到賽題后，就會開始著手分析賽題.在此我強烈建議，大家收到賽題后，先把比賽題目打印下來，然后用不同顏色的筆，把題干進行簡化，把關鍵詞圈起來，這個細節(jié)貌似微不足道，但卻可以使團隊始終保持明確的目標方向.因為當大家剛拿到數(shù)學建模題目的時候，一般是沒有思路框架的，思路跳躍很大，想到什么，就會去查找相關資料，而資料查多了，頭腦會出現(xiàn)混亂，甚至會忘了到底要找什么，忘了目標是什么.簡化題干，明確關鍵詞，并時刻擺在眼前，能夠讓你在尋找答案時不忘初心，在解決問題時更具有針對性.

(二)從關鍵詞入手，尋找最佳方案

在關鍵詞明確后，團隊就可以著手探討解決問題的方案.在方案初步選擇中，我們往往會被直觀的假象所迷惑，從而選擇難做的方案，甚至走進思路的死胡同.所以在探討方案時，大家要根據(jù)關鍵詞，分析問題的意圖，頭腦風暴，各抒己見，從不同的角度構建出多個不同的模型，從中選出最優(yōu)方案.

以2017年第十屆華中地區(qū)大學生數(shù)學建模邀請賽D題為例，該題以香菇分類作為背景，要求實現(xiàn)對花紋混雜的香菇進行自動分揀.其中第一問是：

確定一種方法，快速定位如下圖片(圖1、圖2和圖3)中香菇的位置.

圖1 A類香菇圖2 B類香菇圖3 C類香菇

此題中“位置”便是題目中最重要的關鍵詞.如何理解“位置”的含義呢？可能有些同學認為眼睛看到的位置就是“位置”，但是事實上自動分揀是靠機器來識別的，它是依據(jù)接收到的數(shù)據(jù)來判斷的，所以我們需要建立一個數(shù)學模型，讓機器接收合理的數(shù)據(jù).剛開始，我們想著利用香菇在圖片中所占的像素的坐標來表示位置，但是香菇的面積太大，像素坐標太多，定位起來太過麻煩.若通過某種手段能把香菇所在區(qū)域的上下左右四條邊界線找出來，四條邊界線圍成一個小方框(如圖4、5、6所示)，那么利用小方框四個角的點坐標表示香菇的“位置”，就相對簡潔多了.

圖4 A類香菇圖5 B類香菇圖6 C類香菇

第二問是：

根據(jù)香菇表面紋理的不同，選取適當?shù)闹笜私⑾鄳臄?shù)學模型，識別A型和B型香菇(題目中包含附件，里面包含許多A、B類型香菇的圖片)，并討論模型的效果.

這一問題的關鍵詞是“識別”，要求我們要建立數(shù)學模型來識別，而數(shù)學模型是要根據(jù)相應指標建立的.那么A、B這兩種類型的香菇，有什么區(qū)別呢？從直觀上看，A香菇有較多的明顯的白色條紋，若從這一特征著手識別，顯而易見，條紋越多，它的邊界就越多，那么我們可以通過條紋大小對兩種香菇進行區(qū)分.然而，我們換一種思路考慮，條紋越多也意味著條紋面積越大，所以也可以通過條紋面積進行區(qū)分.相比之下，后面這種方案準確率會更高.

(三)重視建模邏輯性，大膽假設

在三、四天之內(nèi)讓大學生想出一個萬全的、具有真正可行性的建模方案，這本身就是非常困難的事，所以不要因為考慮到的因素不周全就失去信心.我們建立的數(shù)學模型，必定要選一些重要因素作為假設基礎，并忽略一些次要的因素，沒有辦法做到盡善盡美.甚至有些時候，雖然你提出的方法并不實用，但是只要你擁有合理的邏輯，做出合理的假設，能夠自圓其說，就達到建模的目的了.

以2020年美賽D題為例，題目提供了上個賽季某支球隊的具體信息，包括每場比賽每個球員的傳球情況，以及每一場比賽的勝負情況等.第一題的要求如下：

Create a network for the ball passing between players，where each player is a node and each pass constitutes a link between players.Use your passing network to identify network patterns，such as dyadic and triadic configurations and team formations.Also consider other structural indicators and network properties across the games.

這一題目，我們想到利用足球隊較為固定的陣型，球員之間的站位大概率相對固定的現(xiàn)象，大膽假設一場比賽該球隊陣型不會發(fā)生較大的改變.但其實看過足球賽的人都知道，球場上的局勢是千變?nèi)f化的，很少會出現(xiàn)整場比賽局勢、位置一直不變的情況.然而我們通過大概率的大膽假設，就可以利用圖論知識來構建網(wǎng)絡.可以看到，雖然我們的模型并不一定真正具有可行性，但是它有合理的邏輯，因此所建立的模型也就有一定道理了.

三、建模論文寫作要點

(一)摘要清晰，高度概括

摘要在數(shù)學建模論文撰寫中起著舉足輕重的作用，一篇好的摘要會讓老師眼前一亮.老師評閱一篇論文的時間一般不會很長，如果他通過摘要就能夠清晰地知道你是在什么平臺，運用什么模型，用了什么方法來解決這些問題，那么當老師閱讀你們的論文正文時，就會比較清楚該論文的脈絡.

(二)布局合理，方便評閱

排版布局的合理與否，會直接影響老師的評閱心情.作為參賽者，應考慮老師評閱論文的方便性.所以在文章排版布局上，要美觀大方，層次分明，邏輯清晰.

(三)論文數(shù)據(jù)，直觀可視

建模論文篇幅較大，若相關數(shù)據(jù)都很生硬地羅列在文章內(nèi)，老師評閱的時候會很麻煩，因此數(shù)據(jù)可視化分析是一件非常有必要的事情.有時候一張圖就能夠讓老師了解到你在做什么，避免了冗雜的文字，也會讓老師對論文的好感度大幅提升.

(四)所建模型，經(jīng)得起驗證

通過驗證模型，可以大大增加結論可信度.老師在短短的評閱時間內(nèi)，不一定能完全清楚你做的模型是否合理，而通過檢驗，讓模型更有說服力，老師就會更加認可你的模型.

以2020年“高教社杯”全國大學生數(shù)學建模競賽A題為例，該題以電焊爐為背景，電焊爐如圖7、圖8所示.爐內(nèi)有多個溫區(qū)，通過設定爐中不同溫區(qū)溫度和傳送帶過爐速度，可以使得焊接區(qū)域在入爐后有不一樣的溫度變化情況.第一問(其中的一部分)是：

圖7

圖8

請對焊接區(qū)域的溫度變化規(guī)律建立數(shù)學模型.假設傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區(qū)溫度的設定值分別為173 ℃(小溫區(qū)1～5)、198 ℃(小溫區(qū)6)、230 ℃(小溫區(qū)7)、257 ℃(小溫區(qū)8～9)和25 ℃(小溫區(qū)10～11)，請給出焊接區(qū)域中心的溫度變化情況，并畫出相應的爐溫曲線，并將每隔0.5s焊接區(qū)域中心的溫度存放在提供的result.csv中.

對于這道題，我們可通過題目的已知條件，利用牛頓冷卻定律求解出合理公式.但是我們怎么知道對不對呢？于是我們利用題目所給出的已知數(shù)據(jù)條件，將一個個單點數(shù)據(jù)繪制成一張圖，再與公式求解出的曲線在同一張圖上作對比，可以發(fā)現(xiàn)有很好的擬合效果.最后，我們通過計算相關指數(shù)，發(fā)現(xiàn)值接近于1，從而深度驗證了模型公式的準確性.

四、其他

很多沒有參加過建模的同學看到獲獎比賽的論文會感到高不可攀，覺得里面用了非常高端的模型.事實上，那些看上去很難的算法，一般都是別人已有封裝好的資源，或者寫好的代碼.你需要做的就是在建模時找到這些方法，能夠在網(wǎng)上找到資源進行套用，根據(jù)具體的題目進行分析和修改.

另外，數(shù)學建模競賽是三人組隊，隊員之間需要相互信任，充分展現(xiàn)協(xié)作能力，發(fā)揮團隊精神.競賽要求我們在短短的比賽時間里完成選題、建模和求解，還要寫出完整的學術論文，這是一個很大的挑戰(zhàn)，必須集三人之合力，匯集大家的智慧和能力，才能交出一份優(yōu)秀的答卷[1].建模過程中，最好是建模與寫作并行，切忌最后一天才開始寫作.如果是美賽，最好兩個人一邊建模一邊寫中文論文，另一個人同時翻譯.

五、總 結

大學生數(shù)學建模競賽，在短短的三到四天的時間里，僅靠一個人的努力是很難完成一篇學術論文的.因此在組隊時，要找到合適的人選，隊員的團隊意識和合作意識要非常強.參加建模比賽，對大學生的創(chuàng)新精神有很大的提升作用，同學們會想辦法解答出最優(yōu)方案，很好地鍛煉了學生的思維能力和創(chuàng)新意識，不僅能夠拓寬大學生的視野，也能很好地提高個人的建模能力和水平，是一個非常好的鍛煉機會.另外，數(shù)學建模還有助于解決生活中的問題，對大學生的未來科研也有著重要影響.若能在參賽中獲得名次，還可以獲得一些榮譽.當然，數(shù)學建模的過程是非常辛苦的，常會有“山重水復疑無路”的感覺，但只要堅持團隊合作，總會柳暗花明的.希望我的淺薄之談，能對準備參加建模的同學有一些啟發(fā).