祁灝昕 牛全福
(蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院 甘肅 蘭州 730050)
2002年,美國兩位學(xué)者根據(jù)在全美物理學(xué)家的調(diào)查結(jié)果,提出了有史以來最出色的十大物理實(shí)驗(yàn),結(jié)果刊登在了美國《物理世界》雜志上,埃拉托色尼測量地球圓周實(shí)驗(yàn)位列第七.
古希臘的埃拉托色尼第一次比較準(zhǔn)確地測出了地球的半徑,對人類認(rèn)識地球產(chǎn)生了巨大影響.1037年比魯尼采用另外一種方法測量了地球的半徑.近代也有兩種方法測量地球半徑,一種是DannisRawling在大海上觀察兩次日落(或者日出)的方法;另一種是在大海上觀察遠(yuǎn)處已知高度的橋梁的方法.這些方法都是建立在地球?yàn)橐粋€球體,光的直線傳播等基礎(chǔ)之上的,與精準(zhǔn)測量的地球半徑非常接近.
圖1 埃拉托色尼用來測量地球半徑的示意圖
圖2 百度地圖顯示的從阿斯旺到亞歷山大的
使用百度地圖來看,阿斯旺城位于北緯24.507 910°,東經(jīng)32.987 997°,亞歷山大位于北緯31.215 227°,東經(jīng)29.914 360°.路程約為1 000 km,而兩地的直線距離為838 km.埃拉托色尼的方法有3個誤差來源:(1)阿斯旺在北回歸線(23.6°)的北側(cè)24.5°,夏至日太陽光線與地面夾角不是90°.(2)阿斯旺和亞歷山大經(jīng)度相差大約3°.(3)從阿斯旺到亞歷山大實(shí)際路程比直線距離大162 km.
對埃拉托色尼方法進(jìn)行修正,即可減小誤差.任意在不同緯度上選兩個點(diǎn),它們之間的距離用緯線大圓距離來代表.或者選兩個經(jīng)度相差不多的兩個城市.在正午12點(diǎn)的時候由兩人分別測量太陽的天頂角,就可以得到兩地對地心的張角.然后像埃拉托色尼一樣計(jì)算地球的周長,進(jìn)而得到地球的半徑.如圖3所示,在同一天的正午12點(diǎn),測量兩地的天頂角α和β,則它們對地心的張角γ=α-β.用百度地圖量出兩地之間的直線距離(實(shí)際上就是兩個維度之間的弧長),則可以計(jì)算出地球周長及半徑.
圖3 用任意天頂角測量地球的半徑
可用細(xì)線吊著合適的重物做成一個簡單的重錘,待細(xì)線停止擺動,則細(xì)線垂直于水平面,在地面標(biāo)出垂點(diǎn).中午12點(diǎn),在地面標(biāo)出細(xì)線頂端的投影,量出此時投影的長度,與細(xì)線之長相比得到天頂角的正切,進(jìn)而可以計(jì)算出該處的天頂角.
例如,成都和蘭州的經(jīng)緯度分別為:成都為北緯30.570 314°,東經(jīng)104.067 363°;蘭州為北緯36.081 793°,東經(jīng)103.836 419°;經(jīng)度相差0.23°,直線距離相差609 km.如果更精確一些,可在地圖上找到兩個位置,它們的經(jīng)度幾乎一樣,比如蘭州大學(xué)榆中校區(qū)的位置為北緯35.947 098°,東經(jīng)104.157 694°;成都北湖公園的位置為北緯30.722 985°,東經(jīng)104.153 240°,兩地經(jīng)度相差0.004 45°,直線距離相差580 km.精確確定兩地距離后,再利用埃托拉尼方法測量地球半徑和周長即可減小誤差.
比魯尼(Al-Biruni)于1037年利用觀察遠(yuǎn)處大海水平面傾角的辦法,也測出了地球的直徑[2],如圖4所示.在山頂A處觀察海平面,相對于當(dāng)?shù)厮矫娴膬A角為α,因?yàn)橐暰€AC和地球相切于C點(diǎn),所以AC⊥OC,OC=OB=r,r是地球的半徑.山高AB=h,根據(jù)三角函數(shù)的定義
圖4 比魯尼用來測量地球半徑的方法
用三角法來測量難以直接測量的長度,如圖5所示,山高AB可通過下面的方法測量求得.欲知山高AB,在遠(yuǎn)處Q點(diǎn)和P點(diǎn)觀察山頂A的仰角,分別得θ和φ,PQ長度可直接測量.由三角關(guān)系得
圖5 三角法測量山高示意圖
傾斜角θ可以通過一個長方形水槽來測量.如圖6所示,首先在水槽中裝滿水,調(diào)節(jié)水槽的角度使得水槽上邊緣和水面齊平.然后,通過在水槽底部墊入紙張的辦法逐漸傾斜水槽,部分水從水槽中流出.同時沿著水槽上面邊緣觀察遠(yuǎn)處的海平面,當(dāng)海平面和水槽上邊緣的延長線相交時,保持水槽不動,標(biāo)出一段水面下降的位置,計(jì)算出水槽的傾角θ.
圖6 水槽法測量海平面的傾斜角
1979年,Dennis用一只秒表,在海邊測量站著和躺下觀察兩次日落(日出)的時間差,就可以計(jì)算出地球的直徑[3],具體做法如圖7所示.將眼睛貼近地面的F點(diǎn),觀察到太陽的上緣剛好沒入海平面的時候站立起來,同時按下秒表開關(guān);此時眼睛的位置為E,離地面的距離為h.當(dāng)再一次觀察到太陽沒入水面時,停止計(jì)時,這段時間差記為Δt.從幾何學(xué)知,兩次觀察到太陽沒入水面時的視線夾角θ和從地心O引到兩個切點(diǎn)H和F的夾角相等.地球自轉(zhuǎn)一圈用時86 400 s,所以Δt時間內(nèi)地球轉(zhuǎn)過的角度
三角形HEO是一個直角三角形,根據(jù)三角函數(shù)的定義
(h+r)cosθ=r
觀察點(diǎn)緯度越高,誤差越大;空氣折射也會產(chǎn)生誤差.
1978年,Dennis在加利福尼亞海岸,北緯32°51′的位置,趴在地上和站在7.2 m高的臺階觀察了兩次日落的時間差是(19.6±0.2) s.,根據(jù)上述公式計(jì)算出地球半徑為4 760 km,比準(zhǔn)確值小25%.
圖7 用秒表測量兩次日落時間差確定地球轉(zhuǎn)過的角度
Bob Kibble在2011年用觀察遠(yuǎn)處鐵橋被水面遮擋住的高度計(jì)算出了地球的半徑[4],方法如圖8所示.人眼置于高度h1,觀察位于D=D1+D2處的物體,被觀察物體下部高度為h2的部分因?yàn)槲挥谒矫嬉韵露豢梢姡琌是地球的球心.根據(jù)
同理得到
兩式相加得到
從而給出計(jì)算地球半徑R的公式
圖8 通過觀察隱沒在水平線以下的物體高度來測量地球半徑
h1可以直接測量,D可通過船只行駛的距離得到,他使用了地圖給出的數(shù)據(jù)30 km.橋的高度h2利用一根長繩來測量.他用望遠(yuǎn)鏡來觀察鐵橋以彌補(bǔ)裸眼看不清楚的不足.最后他的測量結(jié)果為:地球半徑約為6 200 km,比準(zhǔn)確值小了不到3%[5].
以上幾種物理測量方法,可以分為兩類,一類是埃拉托色尼的方法,他利用了太陽和地球之間巨大的距離,這樣照射到地球上的太陽光可以被認(rèn)為是平行光.另一類的3種方法都利用了海平面,海水形成一個較完美的球面.他們巧妙地利用光的直線傳播,簡潔的幾何光學(xué)計(jì)算即可得到地球半徑.