王妍，張?jiān)?，王晨?/p>

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，甘肅蘭州，730070)

箱梁截面在畸變時(shí)除了產(chǎn)生翹曲應(yīng)力外，還會(huì)發(fā)生橫向彎曲，進(jìn)而產(chǎn)生相應(yīng)的橫向彎曲應(yīng)力[1?3]。隨箱形梁壁厚逐漸減小以及波形鋼腹板箱梁等組合箱梁的應(yīng)用，由截面畸變引起的翹曲正應(yīng)力和橫向彎曲應(yīng)力在箱梁橋總應(yīng)力中所占的比例逐漸增大[4?7]。

目前應(yīng)用最為廣泛的畸變效應(yīng)解析方法為BEF Method[8?9]，該法選取左腹板與底板夾角在畸變變形中的改變量為基本未知量，利用畸變控制微分方程與彈性地基梁撓曲微分方程之間的比擬關(guān)系求解畸變效應(yīng)，但是這種方法計(jì)算過程復(fù)雜，且不能與箱梁約束扭轉(zhuǎn)的解析理論相統(tǒng)一。針對此問題，張?jiān)５萚10?11]采用箱梁約束扭轉(zhuǎn)的思路，選取畸變中心處的直角在畸變變形中的改變量為基本未知量，建立了畸變效應(yīng)解析公式。此外，畸變效應(yīng)解析法還有廣義坐標(biāo)法[12]、板元分析法[13]、紐瑪克法[14]等，各種方法計(jì)算精度以及對畸變變形未知量的選取和定義有所不同。在此基礎(chǔ)上，徐勛等[15?17]研究了剪切變形、截面幾何特性、列車運(yùn)行時(shí)速等對箱梁畸變效應(yīng)的影響，得出畸變變形受剪切變形的影響很小、能綜合反映畸變效應(yīng)的幾何特性參數(shù)λ、單線活載偏心作用下箱梁跨中截面的翹曲比例系數(shù)可達(dá)10%左右。目前，有關(guān)畸變效應(yīng)分析的文獻(xiàn)都以單一橋型為例揭示畸變效應(yīng)，其中大多為簡支梁[18?19]，少數(shù)為懸臂梁[20]，針對邊界約束條件不同的箱梁綜合分析畸變效應(yīng)的文獻(xiàn)較少。然而，實(shí)際工程中的箱梁很少采用單跨簡支體系，懸臂梁也僅是施工過程中存在的一種結(jié)構(gòu)狀態(tài)，更為常見的是連續(xù)體系，包括連續(xù)梁與連續(xù)剛構(gòu)。復(fù)雜連續(xù)體系可看作簡單體系的組合，例如連續(xù)剛構(gòu)橋的邊跨可近似認(rèn)為是一端固定另一端簡支的受力狀態(tài)，而中跨就可近似認(rèn)為是兩端固定的力學(xué)計(jì)算模型。因此，研究邊界條件不同的箱形梁橋畸變效應(yīng)，有助于工程設(shè)計(jì)人員在設(shè)計(jì)中更加方便、快捷地考慮畸變效應(yīng)。

本文采用張?jiān)５萚10]所提畸變效應(yīng)解析思路，推導(dǎo)豎向偏心均布荷載作用下不同邊界組合情況下的箱梁畸變效應(yīng)解析解。通過引入畸變效應(yīng)邊界影響系數(shù)，結(jié)合數(shù)值算例詳細(xì)分析高寬比、懸臂板相對寬度變化時(shí)邊界約束條件對箱梁畸變效應(yīng)的影響。

1 畸變控制微分方程

單室梯形箱梁橫截面畸變變形如圖1所示，其中，O?xyz為形心坐標(biāo)系，q為豎向偏心荷載，e為荷載偏心距。D為畸變中心，A和B分別為以D為角點(diǎn)所組成的直角與箱壁的交點(diǎn)，選取直角∠ADB在畸變變形中的改變量為畸變角γD，A′和B′分別為直角∠ADB變形后A和B兩點(diǎn)所在位置，則γD=γD1+γD2，圖中其他變量為箱形梁截面尺寸。

圖1 箱梁畸變變形圖Fig.1 Distortion deformation of box girder

用ω表示箱梁截面的畸變扇性坐標(biāo)，則畸變翹曲正應(yīng)力σD可通過所選取的基本未知量即畸變角γD表達(dá)為

式中：E為彈性模量；ωD為以畸變角γD為基本未知量計(jì)算的畸變扇性坐標(biāo)[10]。

由式(1)可求得畸變翹曲應(yīng)變能U1為

式中：IωD為箱形梁畸變翹曲慣性矩；l為梁跨徑。

圖2所示為沿箱梁跨徑方向截取的單位長度梁段形成的橫向框架變形圖，根據(jù)轉(zhuǎn)角位移方程可求得圖2中所示點(diǎn)1和點(diǎn)2的橫向彎矩為

圖2 橫向框架變形圖Fig.2 Deformation of transverse frame

式中：IR1和IR2為箱形梁畸變框架特性參數(shù)。

因框架彎矩具有左、右反對稱性，故由式(3)可求得框架畸變撓曲應(yīng)變能U2為

式中：IR為箱形梁畸變框架特性參數(shù)。

將箱梁上作用的豎向偏心荷載分解成的豎向反對稱荷載記為pD，則外荷載勢能V可表達(dá)為

畸變總勢能Π=U1+U2+V，則

對式(6)進(jìn)行一階變分，得

根據(jù)最小勢能原理，令總勢能的一階變分為0，可得：

式(8)即為畸變控制微分方程，式(9)為邊界條件?；喪?8)，可得

式中：λ為箱梁畸變特性參數(shù)，可綜合反映箱梁抵抗畸變變形的能力。

由邊界條件式(9)可知，畸變矩MD及畸變雙力矩BD的表達(dá)式為：

由式(1)和式(12)可得畸變翹曲正應(yīng)力的一般表達(dá)式為

當(dāng)箱形梁承受均布畸變矩荷載mD時(shí)，畸變控制微分方程式(10)的通解為

求解式(14)中4 個(gè)積分常數(shù)所用到的邊界條件為：固定端，γD=γ′D=0；簡支端(設(shè)置剛性橫隔板)，γD=γ″D=0；自由端，γ″D=γ?D=0。

2 不同邊界條件下箱形梁畸變效應(yīng)

本文以SS箱梁、FS箱梁、FF箱梁分別表示簡支箱梁、左端固定右端簡支箱梁和兩端固定箱梁。

圖3所示為承受豎向偏心均布荷載q作用的SS箱梁，求解SS箱梁畸變角表達(dá)式(14)中的4個(gè)積分常數(shù)所需的邊界條件為：γD(0)=0，γ″D(0)=0；γD(l)=0，γ″D(l)=0。

圖3 SS箱梁承受均布荷載Fig.3 SS box girder subjected to uniform load

利用上述4 個(gè)邊界條件可求得SS 箱梁承受豎向偏心均布荷載q作用時(shí)的4 個(gè)積分常數(shù)C1SS，C2SS，C3SS和C4SS分別為

圖4所示為FS箱梁承受豎向偏心均布荷載q作用的示意，求解FS 箱梁畸變角表達(dá)式所需的邊界條件為：γD(0)=0，γ′D(0)=0；γD(l)=0，γ″D(l)=0。從而可求得FS 箱梁的4 個(gè)積分常數(shù)C1FS，C2FS，C3FS和C4FS分別為

圖4 FS箱梁承受均布荷載Fig.4 FS box girder subjected to uniform load

圖5所示為FF箱梁承受豎向偏心均布荷載q作用的示意，其兩端邊界條件為：γD(0)=0，γ′D(0)=0；γD(l)=0，γ′D(l)=0。從而可求得4 個(gè)積分常數(shù)C1FF，C2FF，C3FF和C4FF分別為

圖5 FF箱梁承受均布荷載Fig.5 FF box girder subjected to uniform load

將式(15)～(17)分別代入式(14)，即可得SS箱梁和FS 箱梁、FF 箱梁的畸變角解析解。對式(14)求二、三階導(dǎo)數(shù)后，代入式(11)與式(12)即可得3 種邊界約束條件下箱形梁承受豎向偏心均布荷載作用時(shí)的畸變矩、畸變雙力矩的解析解：

代入相對應(yīng)的4 個(gè)積分常數(shù)，直接利用式(3)、式(13)、式(14)、式(18)和式(19)就可計(jì)算3 種邊界約束條件下箱梁的畸變效應(yīng)。本文推導(dǎo)的3種邊界條件下箱形梁畸變效應(yīng)解析式只適用于豎向偏心均布荷載作用的情況，對于豎向偏心集中荷載作用下的解析解需另行推導(dǎo)。

3 數(shù)值算例

箱形梁橫截面尺寸如圖6所示，圖中所示k1，k2和k3為計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)，箱梁承受豎向偏心均布荷載q=20 kN/m，荷載偏心距e=2.35 m，材料彈性模量E=35 GPa，跨度l=40 m?？捎?jì)算出豎向反對稱荷載pD=10 kN/m，均布畸變矩荷載mD=23.5 kN·m/m。

圖6 算例橫截面尺寸Fig.6 Cross section dimension of sample

為驗(yàn)證本文所推導(dǎo)解析式的正確性，采用有限元軟件ANSYS中的SHELL63殼單元建立模型進(jìn)行數(shù)值模擬，將作用在箱梁上的豎向偏心均布荷載分解得到的畸變荷載施加在箱梁各板元對應(yīng)的單元節(jié)點(diǎn)上就能得出畸變效應(yīng)結(jié)果。因有限元軟件ANSYS建模輸出的結(jié)果只能提取應(yīng)力和橫向單寬彎矩，而畸變雙力矩、畸變矩、畸變角這些廣義內(nèi)力及位移無法直接獲得，故將ANSYS模型計(jì)算得到的箱梁跨中截面計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)的翹曲正應(yīng)力及橫向單寬彎矩結(jié)果與用本文解析式計(jì)算的結(jié)果分別列于表1和表2進(jìn)行比較。以SS箱梁跨中截面畸變效應(yīng)值為基準(zhǔn)，引入畸變效應(yīng)邊界影響系數(shù)ζ，ζFS和ζFF分別為FS 箱梁或FF 箱梁跨中截面畸變效應(yīng)值與SS箱梁對應(yīng)值的比值。

從表1和表2可以看出：按ANSYS 模型計(jì)算得到的箱形梁跨中截面計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)的結(jié)果與用本文解析式計(jì)算的結(jié)果吻合良好。表1中FF 箱梁的跨中截面畸變翹曲正應(yīng)力ANSYS值與解析解相對誤差較大的原因主要是，在推導(dǎo)解析解的過程中采用了3個(gè)假定[7]，而ANSYS模型能綜合考慮剪切變形、彎扭耦合等因素，且FF 箱梁在兩端節(jié)點(diǎn)上采用全約束使應(yīng)力集中更為顯著。

表3和表4所示為箱形梁跨中截面的畸變角與畸變雙力矩結(jié)果。

對比表1和表3、表2和表4可發(fā)現(xiàn)：截面畸變角和橫向單寬彎矩、畸變雙力矩和翹曲正應(yīng)力的邊界影響系數(shù)ζFS對應(yīng)相等，ζFF也對應(yīng)相等。

表1 跨中截面畸變翹曲正應(yīng)力比較Table 1 Comparisons of midspan distortion warping normal stress kPa

表2 跨中截面橫向單寬彎矩比較Table 2 Comparisons of midspan transverse unit-width bending moment kN·m/m

表3 跨中截面畸變雙力矩比較Table 3 Comparison of midspan distortion bi-moment kN·m2

表4 跨中截面畸變角比較Table 4 Comparison of midspan distortion angle 10?5rad

為了分析邊界約束條件對箱形梁畸變效應(yīng)的影響，保持圖6所示截面的尺寸、荷載及偏心距不變，按本文方法計(jì)算得出3種邊界約束條件下箱形梁畸變效應(yīng)的縱向分布如圖7所示。因計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)k2和關(guān)鍵點(diǎn)k3之間存在應(yīng)力比β[7,10]，故選取關(guān)鍵點(diǎn)k1和關(guān)鍵點(diǎn)k3來表征畸變翹曲正應(yīng)力變化規(guī)律。

由圖7可以看出：FF 箱梁的畸變效應(yīng)縱向分布曲線較為陡峭，SS 箱梁的畸變效應(yīng)縱向分布曲線較為平緩，而FS 箱梁的畸變效應(yīng)縱向分布曲線始終介于兩者之間。由此可知，梁端約束越強(qiáng)，畸變效應(yīng)縱向分布曲線越陡峭。截面畸變角和橫向單寬彎矩、翹曲正應(yīng)力和畸變雙力矩分別具有相同的縱向分布規(guī)律，這也印證了表1～4中對應(yīng)的邊界影響系數(shù)對應(yīng)相等的情況，故詳細(xì)分析畸變角和翹曲正應(yīng)力的變化規(guī)律就可獲得橫向單寬彎矩和畸變雙力矩的變化規(guī)律。

圖7 箱形梁畸變效應(yīng)縱向分布Fig.7 Longitudinal distributions of box girder distortion effect

定義高寬比為梁高與箱室寬度之比，求得高寬比變化時(shí)箱形梁跨中截面的畸變角、翹曲正應(yīng)力變化曲線如圖8所示。

由圖8可以看出：隨高寬比增大，箱形梁跨中截面的畸變角先增大后減小，SS 箱梁跨中截面翹曲正應(yīng)力單調(diào)增加，而FS箱梁和FF箱梁的則先增大后減小；當(dāng)高寬比約為1.06 時(shí)，翹曲正應(yīng)力的邊界影響系數(shù)相等；當(dāng)高寬比小于1.06 時(shí)，SS 箱梁跨中截面翹曲正應(yīng)力最小，F(xiàn)F 箱梁跨中截面翹曲正應(yīng)力最大；當(dāng)高寬比大于1.06 時(shí)則相反，但FS 箱梁跨中截面翹曲正應(yīng)力始終介于兩者之間。高寬比越大，畸變效應(yīng)的邊界影響系數(shù)越小，即隨高寬比增大，邊界約束對畸變效應(yīng)的影響會(huì)減小。

定義懸臂板相對寬度為懸臂板寬度與箱室寬度之比，求得懸臂板相對寬度變化時(shí)箱形梁跨中截面的畸變角、翹曲正應(yīng)力變化曲線如圖9所示。

由圖9可以看出：隨懸臂板相對寬度增大，畸變角的邊界影響系數(shù)逐漸減??；當(dāng)懸臂板相對寬度約為0.157時(shí)，畸變角的邊界影響系數(shù)相等；當(dāng)懸臂板相對寬度小于0.157時(shí)，SS箱梁跨中截面畸變角最小，F(xiàn)F 箱梁跨中截面畸變角最大；當(dāng)懸臂板相對寬度大于0.157時(shí)則相反，但FS箱梁跨中截面畸變角始終介于兩者之間；SS 箱梁跨中截面畸變角單調(diào)增加，而FF箱梁和FS箱梁的則先增大后減小。隨懸臂板相對寬度增大，SS 箱梁跨中截面畸變翹曲正應(yīng)力發(fā)生變號(hào)，且3種邊界條件下箱形梁的跨中截面計(jì)算關(guān)鍵點(diǎn)k1和k3的翹曲正應(yīng)力變化規(guī)律不再相同；翹曲正應(yīng)力邊界影響系數(shù)變化劇烈，ζFS能達(dá)到15，ζFF甚至大于25，即隨懸臂板相對寬度變化，F(xiàn)S 箱梁跨中截面畸變翹曲正應(yīng)力能達(dá)到SS 箱梁對應(yīng)值的15 倍，而FF 箱梁跨中截面畸變翹曲正應(yīng)力能達(dá)到SS 箱梁對應(yīng)值的25 倍以上。這說明如果帶懸臂板的箱形梁其懸臂板寬度取值不合理，邊界條件會(huì)對跨中截面翹曲正應(yīng)力產(chǎn)生巨大影響。

圖9 懸臂板相對寬度對跨中截面畸變效應(yīng)的影響Fig.9 Influence of relative width of cantilever slab on distortion effect of midspan

4 結(jié)論

1)導(dǎo)出了3種不同邊界條件下箱形梁在偏心均布荷載作用下的畸變效應(yīng)解析解，建立ANSYS模型驗(yàn)證了所推公式的正確性，引入畸變效應(yīng)邊界影響系數(shù)分析了不同邊界約束條件對箱形梁畸變效應(yīng)的影響。

2)梁端約束越強(qiáng)，畸變效應(yīng)縱向分布曲線越陡峭，當(dāng)截面幾何參數(shù)變化時(shí)，邊界約束條件對畸變角的影響較小。

3)高寬比越大，畸變效應(yīng)邊界影響系數(shù)越小；當(dāng)高寬比大于1.06 時(shí)，翹曲正應(yīng)力邊界影響系數(shù)比較接近，即當(dāng)高寬比大于1.06 時(shí)，邊界約束對翹曲正應(yīng)力的影響會(huì)減小。

4)懸臂板相對寬度對翹曲正應(yīng)力邊界影響系數(shù)的影響較大，當(dāng)相對寬度小于0.25 時(shí)，翹曲正應(yīng)力變化較大。