張 炫,馮曉晶

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山西 太原 030006)

1 引言與主要結(jié)果

薛定諤-泊松系統(tǒng)廣泛地出現(xiàn)在量子力學(xué)和半導(dǎo)體理論中。根據(jù)經(jīng)典模型, 帶電粒子和電磁場(chǎng)的相互作用可以通過(guò)非線性薛定諤方程耦合泊松方程描述。文獻(xiàn)[1]研究了薛定諤麥克斯韋方程, 文獻(xiàn)[2]研究了模擬電磁波在等離子體中傳播的薛定諤方程。近年來(lái), 由于分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子被廣泛研究和應(yīng)用在金融、優(yōu)化、反應(yīng)擴(kuò)散等許多領(lǐng)域中, 因此分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)受到許多數(shù)學(xué)家們廣泛關(guān)注。近幾年來(lái), 許多數(shù)學(xué)家研究了如下薛定諤-泊松系統(tǒng)

(1)

解的存在性和多重性, 其中x∈R3,V、K、f是連續(xù)函數(shù)。此后,學(xué)者們對(duì)系統(tǒng)(1)在V、K、f的不同假設(shè)下展開(kāi)深入研究[3-6]。當(dāng)V(x)≡1,

f(u)=|u|p-1u(1

時(shí), 文獻(xiàn)[3]研究了系統(tǒng)(1)解的存在性和不存在性;當(dāng)f是周期漸近線性函數(shù)且滿足單調(diào)性條件, 文獻(xiàn)[4]運(yùn)用Nehari流形方法獲得系統(tǒng)(1)基態(tài)解的存在性, 且當(dāng)f是奇函數(shù)時(shí), 得到了系統(tǒng)(1)有無(wú)窮多解的存在性。

最近,臨界分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)被廣泛關(guān)注[7-10]。例如許多文獻(xiàn)研究了如下分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng):

(2)

(3)

利用集中緊性原理和變分方法得到了其基態(tài)解的存在性。

本文主要目的是研究具有雙臨界項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)

(4)

2 預(yù)備知識(shí)

(5)

記Br為以0為中心, 以r為半徑的閉球, 即Br={u∈Ds,2(R3):‖u‖≤r};記?Br={u∈Ds,2(R3):‖u‖=r}。用C>0表示不同的正常數(shù)。由Lax-Milgram定理,?u∈Ds,2(R3),系統(tǒng)(4)的第2個(gè)方程有唯一解φu∈Ds,2(R3)。將φu代入到系統(tǒng)(4)的第1個(gè)方程, 則系統(tǒng)(4)變?yōu)榉匠?/p>

(6)

方程(6)相應(yīng)的能量泛函為

?u,v∈Ds,2(R3),Iλ(u)∈C1(Ds,2(R3),R),成立

3 定理1的證明

為了證明主要結(jié)果,先給出以下引理, 然后利用在球上的Ekeland變分原理證明系統(tǒng)(4)有一個(gè)能量嚴(yán)格小于零的非平凡解,以及應(yīng)用山路定理證明系統(tǒng)(4)有另一個(gè)能量嚴(yán)格大于零的非平凡解。

引理1[11]下列性質(zhì)成立：

1) ?u∈Ds,2(R3),φu≥0;

3) ?u∈Ds,2(R3),

4) 若un在Ds,2(R3)中弱收斂于u, 則存在子列, 使得φun在Ds,2(R3)中弱收斂于φu。

時(shí), 使得Iλ滿足(PS)c條件, 其中

證明設(shè){un}?Ds,2(R3)為Iλ的(PS)c序列, 則當(dāng)n→∞時(shí),有

(7)

由式(7)知

(8)

因?yàn)閡n(x)→u(x),a.e.x∈R3，且

故

結(jié)合式(8),有

因?yàn)閡n(x)→u(x),a.e.x∈R3，且

即

利用式(7), 則

(9)

(10)

由式(9)和式(10),

(11)

由

和式(11)得

不失一般性,假設(shè)當(dāng)n→∞時(shí),an→a,bn→b。注意到,

當(dāng)n→∞,得到

一方面, 由H?lder不等式和Young不等式, 根據(jù)式(9)得

另一方面, 由式(7)和式(11),有

這是矛盾的。故l=0, 因此在Ds,2(R3)中un→u。證畢。

證明?u∈Ds,2(R3), 有

令

根據(jù)文獻(xiàn)[14]中引理3.3,存在常數(shù)

使得

Iλ|‖u‖=R>0

顯然, 下式

于是, 當(dāng)t充分小時(shí),有Iλ(tφ0)<0。因此, 存在充分小的u, 使得Iλ(u)<0, 即

(12)

證畢。

引理5假設(shè)λ∈(0,Λ0), 對(duì)給定的R, 泛函Iλ滿足下列的條件：

1) 若‖u‖=R, 則Iλ(u)>0;

2) ?e∈Ds,2(R3), 當(dāng)‖e‖>R時(shí), 使得Iλ(e)<0成立。

證明1) 當(dāng)λ<Λ0時(shí), 由引理4易知結(jié)論成立。

2) ?u∈Ds,2(R3){0},有

當(dāng)t→∞時(shí),Iλ(tu)→-∞。因此,?e∈Ds,2(R3), 當(dāng)‖e‖>R時(shí), 使得Iλ(e)<0成立。證畢。

定義

uε=η(x)Uε(x)

有下面的估計(jì)[14-15]:

其中Kp為正常數(shù)。

引理6[14]設(shè)

當(dāng)ε→0+,有

證明當(dāng)t→∞時(shí), 有Iλ(tuε)→-∞, 則?tuε>0, 使得

?t≥0,下式

令

從而根據(jù)引理6,下式

因此, 當(dāng)λ∈(0,min{Λ0,Λ1})時(shí),有

證畢。

為了方便,令

證明顯然, 當(dāng)0<λ<λ*時(shí), 引理1、3、4,定理2、引理5和引理7都成立。應(yīng)用山路定理[16], 存在序列{un}?Ds,2(R3)，且

其中

和

Γ={γ∈C([0,1],Ds,2(R3)):

γ(0)=uλ,γ(1)=e}

定理1的證明:根據(jù)定理2和定理3,則對(duì)充分小λ*>0, 當(dāng)0<λ<λ*, 系統(tǒng)(4)至少有2個(gè)非平凡解。證畢。

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)應(yīng)用Ekeland變分原理和山路定理的方法,證明了分?jǐn)?shù)階薛定諤-泊松系統(tǒng)非平凡解的存在性和多重性。由于所研究的系統(tǒng)具有雙臨界項(xiàng)和擾動(dòng)性,因此對(duì)于估計(jì)非緊性水平以及相應(yīng)泛函的能量在非緊性水平之下具有一定的困難;除此之外,對(duì)(PS)條件的成立也具有一定難度。