孔祥軍， 王 蓓

(①阜陽(yáng)師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，236037，安徽省阜陽(yáng)市；② 曲阜師范大學(xué)網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，273165，山東省曲阜市)

0 引 言

分塊矩陣?yán)碚撌歉叩却鷶?shù)的重要組成部分，在分析研究矩陣中有著重要應(yīng)用，其理論方法滲透在高等代數(shù)的各部分內(nèi)容,其研究已較充分[1,2]. 在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，對(duì)于某些難度較大或理論性較強(qiáng)的問題，應(yīng)用分塊矩陣的理論，可給予較簡(jiǎn)潔的處理.在此過程中所體現(xiàn)的邏輯的嚴(yán)密性和方法的技巧性，若能仔細(xì)體會(huì)，則易于理解和把握，從而提高學(xué)生的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力[3-5].

循環(huán)行列式是高等代數(shù)中的一個(gè)非常典型的行列式，其計(jì)算或證明體現(xiàn)了行列式理論的嚴(yán)密性和處理問題的技巧性，其難度在常見的行列式的類型中，可以說是最高的，并且具有較廣泛的應(yīng)用. 循環(huán)行列式的各種推廣得到了廣泛研究[6-9].

本文利用“分塊矩陣”思想，同時(shí)結(jié)合行列式的性質(zhì)，將一類特殊的循環(huán)行列式推廣到分塊矩陣的行列式的情況，得到了一些有趣的結(jié)論，豐富和發(fā)展了行列式和矩陣的相關(guān)理論.

1 預(yù)備知識(shí)

下面列出本文用到的3個(gè)引理.

引理1[3](拉普拉斯定理) 在n階行列式D中，任取k行或k列(1≤k≤n-1)，由這k行或k列所組成的一切k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式D.

引理2[3]設(shè)A,B是數(shù)域上兩個(gè)同階方陣，則|AB|=|A||B|.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)Ai為k階方陣(i=1,2,…,n)且Ai+1-Ai=C，其中i=1,2,…,n-1. 則

由定理1的結(jié)果，可得下面兩個(gè)推論.

根據(jù)分塊矩陣思想，由定理1，可以較方便地求出下面的廣義循環(huán)矩陣的行列式及其逆矩陣.

解由定理1，設(shè)A為k階方陣，則|M|=(-18)k|A|3.

令人感興趣的是，矩陣M的行列式為廣義循環(huán)行列式，同樣地，M的逆矩陣M-1的行列式也是廣義循環(huán)行列式.