鄧?yán)驑s，孫宏斌,b，李寶聚，孫勇，陽天舒，張璇,

aTsinghua-Berkeley Shenzhen Institute,Tsinghua University,Shenzhen 518055,China

bState Key Laboratory of Power Systems,Department of Electrical Engineering,Tsinghua University,Beijing 100084,China

cState Grid Jilin Electric Power Supply Co.,Ltd.,Changchun 130000,China

dElectrical College,Harbin Institute of Technology,Harbin 150006,China

質(zhì)量流量可調(diào)的熱電聯(lián)合系統(tǒng)可以提高能源系統(tǒng)的靈活性、經(jīng)濟(jì)性和可持續(xù)發(fā)展能力。但是，考慮質(zhì)量流量可調(diào)的熱電聯(lián)合系統(tǒng)的優(yōu)化運行問題是一個高度非凸非線性的問題，主要體現(xiàn)在熱力網(wǎng)絡(luò)模型中的雙線性項，即質(zhì)量流量和節(jié)點溫度的乘積?，F(xiàn)有的方法，如非線性優(yōu)化、廣義Benders分解方法和凸松弛技術(shù)等，在求解質(zhì)量和計算性能上仍然存在不足。為了解決這一問題，本文首先建立了基于質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)的區(qū)域供熱網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)模型，并通過等效變換和變量代換對基礎(chǔ)模型進(jìn)行了重構(gòu)。該重構(gòu)模型減少了非凸約束和雙線性項，而且在不失去最優(yōu)性的前提下，加快了求解過程。然后，文中分別建立了電力網(wǎng)絡(luò)模型和能源模型，結(jié)合之前構(gòu)造的供熱網(wǎng)絡(luò)模型，建立起熱電聯(lián)合系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度模型。為了松弛聯(lián)合調(diào)度模型中剩余的雙線性項，文中采用McCormick包絡(luò)的凸松弛方法，得到了聯(lián)合調(diào)度模型的目標(biāo)函數(shù)下界。為了提高M(jìn)cCormick松弛的質(zhì)量，文中提出了一種緊縮McCormick的方法：首先，采用分段McCormick技術(shù)，將雙線性項中一個變量的可行域劃分為幾個不相交的區(qū)域，通過求解此優(yōu)化問題可以選出最優(yōu)解所在的區(qū)域，從而縮小了被劃分變量的可行域；然后，提出了一種啟發(fā)式的邊界收縮算法來進(jìn)一步壓縮分段McCormick技術(shù)得到的縮小版可行域，并恢復(fù)了此最優(yōu)解附近的可行解。算例分析表明，與原對偶內(nèi)點法和求得全局最優(yōu)解的雙線性求解器提供的方法相比，本文提出的緊縮McCormick方法能快速求解熱電聯(lián)合運行問題，得到令人滿意的兼具最優(yōu)性和可行性的調(diào)度結(jié)果。

熱電聯(lián)合系統(tǒng)

凸松弛

優(yōu)化運行

McCormick包絡(luò)

1.引言

1.1.背景及動機(jī)

電力系統(tǒng)（EPS）是國家能源供應(yīng)的重要組成部分，決策者也逐漸意識到供熱在能源系統(tǒng)中同樣起著關(guān)鍵作用。國際能源署的報告稱，全球一半以上的能源用于取暖[1]。相比人口低密度地區(qū)常用的供熱選擇，如私人熱泵、燃?xì)忮仩t、太陽能供暖和電供暖等，人口高密度地區(qū)的大部分供熱來自區(qū)域供熱系統(tǒng)（DHS）。盡管不同國家和地區(qū)使用這些供熱方式的比例不同，但區(qū)域供熱的方式已被證實是非常節(jié)能的[2]。

電力和熱能可以通過集中式能源生產(chǎn)和區(qū)域供熱基礎(chǔ)設(shè)施同時產(chǎn)生。一般來說，這兩個大型能源系統(tǒng)——EPS和DHS，是通過熱電聯(lián)產(chǎn)（CHP）工廠和電轉(zhuǎn)熱設(shè)備緊密相連的。到2050年，CHP將為歐盟提供26%的電力。在丹麥，政府的目標(biāo)是到2035年實現(xiàn)100%的可再生熱能和電力生產(chǎn)[3]。預(yù)計在不久的將來，EPS和DHS在能源生產(chǎn)和消費過程中將在更大程度上相互影響。因此，熱電聯(lián)合系統(tǒng)的想法引起了從業(yè)者和研究人員的興趣。

現(xiàn)在，關(guān)于熱電聯(lián)合系統(tǒng)不同方面的研究正在興起，包括建模[4]、狀態(tài)估計[5]、機(jī)組組合[6]、經(jīng)濟(jì)調(diào)度[7-9]、市場機(jī)制[10-11]和規(guī)劃[12-13]等不同方面。其中，建模是商業(yè)化發(fā)展熱電聯(lián)合系統(tǒng)的基礎(chǔ)與實質(zhì)所在。盡管在過去的幾十年里，研究人員對EPS建模已經(jīng)進(jìn)行了深入的研究，但大量關(guān)于DHS建模的研究仍在進(jìn)行中。一般來說，DHS具有三種調(diào)節(jié)模式，如表1所示。質(zhì)調(diào)節(jié)采用恒定質(zhì)量流量和可變溫度策略[7]。因此，相關(guān)優(yōu)化問題中的約束變?yōu)榫€性問題，從而易于處理。然而，預(yù)先確定水力條件的情況可能不會得出經(jīng)濟(jì)的解決方案。相比之下，量調(diào)節(jié)保持恒定的供應(yīng)溫度，但調(diào)節(jié)質(zhì)量流量。它更為靈活并且降低了成本，因為質(zhì)量流量會根據(jù)熱負(fù)荷的變化而變化，從而降低循環(huán)水泵的功耗。顯然，同時調(diào)節(jié)溫度和質(zhì)量流量可以實現(xiàn)更高的經(jīng)濟(jì)效率和靈活性，這被稱為質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)。到目前為止，對具有可變質(zhì)量流量策略的綜合能源系統(tǒng)運行的研究還很少[14-18]。此外，解決非凸和非線性網(wǎng)絡(luò)流約束的高效且可擴(kuò)展的算法仍在研究中。為此，本文提出了基于質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)的熱電聯(lián)合系統(tǒng)的凸模型和高效算法，期望通過該算法以較小的計算量找到全局最優(yōu)或近似全局最優(yōu)的可行解。

表1 DHS中的不同調(diào)節(jié)模式

1.2.文獻(xiàn)綜述

質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)的DHS建模屬于池化問題[19]。池化問題是一個網(wǎng)絡(luò)流問題，旨在找到在中間池中混合多個輸入的最低成本方式，以便輸出滿足需求或某些要求的結(jié)果?；旌陷斎肷婕盎旌狭髁亢吞卣鞯某朔e。因此，池化問題就變成了一個雙線性問題。在DHS建模中，非凸和非線性網(wǎng)絡(luò)流增加了問題求解的難度。在非凸項中，由質(zhì)量流量和節(jié)點溫度的乘積得出的雙線性項是很難處理的項之一。

目前處理DHS優(yōu)化的雙線性問題的研究成果可以分為四類：非線性規(guī)劃方法、廣義Benders分解、松弛方法和松弛緊縮方法。非線性規(guī)劃方法，如內(nèi)點法、序列線性規(guī)劃和逐次二次規(guī)劃[14]，通常能夠求解具有連續(xù)變量的非線性規(guī)劃問題，并且易于使用現(xiàn)成的求解器實現(xiàn)。但是，這些方法只能找到局部解，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模變大時，可能會出現(xiàn)收斂緩慢甚至收斂失敗的情況。

廣義Benders分解可以解決特定類型的非線性規(guī)劃和混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題。為了處理質(zhì)量流量和節(jié)點溫度乘積的雙線性，文獻(xiàn)[15]提出了一種迭代算法：通過分別固定一組變量來求解另一組變量，迭代求解兩個子問題直到收斂。但是，該方法不能保證所得解是全局最優(yōu)解或局部最優(yōu)解，其收斂性也有待進(jìn)一步研究。

通常而言，松弛方法，如錐松弛[16-17]和多面體松弛[18]，將原始非凸可行域擴(kuò)大到凸的可行域。松弛后的問題變成凸問題的代價是犧牲了原問題解的可行性。松弛方法的性能很大程度上取決于松弛邊界，邊界越緊，松弛效果越好。這就產(chǎn)生了松弛緊縮方法，如文獻(xiàn)[18-20]中所示。這種方法的核心原理是提供更緊的邊界來增強(qiáng)松弛。在松弛緊縮方法中，分支定界法已經(jīng)在最新版本的Gurobi，即Gurobi 9.0[21]的雙線性求解器中成功使用，以處理雙線性規(guī)劃。Gurobi 9.0中的雙線性求解器確保了全局最優(yōu)解，并可用作評估其他方法最優(yōu)性的基準(zhǔn)。但是，在處理大規(guī)模問題時，此方法可能會收斂緩慢。

1.3.本文的貢獻(xiàn)

本文首先通過等效變換和一階泰勒展開重新構(gòu)建了經(jīng)典的質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)DHS優(yōu)化模型。相比原始模型在每個非凸約束中具有兩個雙線性項，重構(gòu)模型具有的雙線性項更少；更具體地說，它減少了大約一半的雙線性項。重構(gòu)不僅確保了最優(yōu)性，而且在降低原問題的計算復(fù)雜度方面具有一定優(yōu)勢。接下來，我們執(zhí)行McCormick包絡(luò)來凸化雙線性約束，并得到重構(gòu)模型的目標(biāo)下界。為了提高M(jìn)cCormick松弛的質(zhì)量，我們采用分段McCormick技術(shù)推導(dǎo)出雙線性項更緊的上、下界來減少McCormick松弛后可行域的體積。分段McCormick技術(shù)將雙線性項中一個變量的域劃分為幾個不相交的區(qū)域，并確定最優(yōu)區(qū)域，從而收緊所選變量的界限。這樣，就得到了原問題的強(qiáng)化下界解。針對強(qiáng)化下界解可能不可行的問題，我們建立了啟發(fā)式的邊界收縮算法，進(jìn)一步縮緊了分段McCormick技術(shù)的加強(qiáng)下界，并采用迭代的方式獲得附近的可行解。

相比非線性優(yōu)化[14]和廣義Benders分解[15]，本文所提出的方法基于松弛和分段技術(shù)，具有更強(qiáng)的可擴(kuò)展性，避免了局部不可行的問題。相比當(dāng)前的松弛緊縮方法（如在Gurobi雙線性求解器中實現(xiàn)的方法[21]），本文所提出的緊縮McCormick方法能夠保證求解質(zhì)量且減輕計算負(fù)擔(dān)。

總而言之，本文有以下三個主要貢獻(xiàn)：

（1）通過變量代換和等價變換，對具有質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)DHS模型的經(jīng)典熱電聯(lián)合系統(tǒng)運行問題進(jìn)行重構(gòu)，大大降低了經(jīng)典模型的雙線性復(fù)雜度。

（2）基于重構(gòu)模型，應(yīng)用McCormick包絡(luò)來松弛剩余的雙線性項。為了減少松弛誤差并縮緊McCormick包絡(luò)邊界，提出了分段McCormick技術(shù)。

（3）為了提高解的可行性，本文設(shè)計了一種邊界收縮算法，通過對最新的最優(yōu)結(jié)果施加擾動來縮緊分段Mc-Cormick包絡(luò)的上下界。案例研究表明，分段McCormick技術(shù)與邊界收縮算法兩者相結(jié)合的緊縮McCormick方法可以快速得到滿足實際運行需求的可行的較優(yōu)解。鑒于其具有凸性，緊縮McCormick方法有望用于大規(guī)模熱電聯(lián)合系統(tǒng)優(yōu)化，并且可以使用影子價格進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析。

本文的其余部分安排如下：第2部分介紹了基于DHS基本模型和重構(gòu)模型的聯(lián)合系統(tǒng)運行問題；第3部分詳細(xì)介紹了用于解決聯(lián)合運行問題的凸松弛技術(shù)和緊縮Mc-Cormick方法；第4部分給出仿真算例；第5部分得出結(jié)論。

2.問題表述

熱電聯(lián)合系統(tǒng)由DHS和地區(qū)EPS組成。地區(qū)EPS是整個多區(qū)域互聯(lián)電力系統(tǒng)的一部分，它有一個或多個接口與整個電力系統(tǒng)的其他部分進(jìn)行電力交換。對于DHS建模，我們首先提出一個基本模型，這是一個沒有任何松弛約束的非線性優(yōu)化模型。然后，我們通過一階泰勒展開和變量替換推導(dǎo)出DHS的等效重構(gòu)模型。結(jié)果證明，重構(gòu)模型減少了基礎(chǔ)模型的非線性項；也就是說，基礎(chǔ)模型中的雙線性項減少了近一半。對于EPS的建模，我們采用考慮無功功率和電壓幅值的狀態(tài)無關(guān)線性潮流模型。連接兩個系統(tǒng)的耦合元件是CHP機(jī)組。該運行問題具有多個目標(biāo)，如最小化燃料成本、與其他互連電力系統(tǒng)的電力交易成本以及網(wǎng)絡(luò)損耗。為了簡單起見，我們分別為DHS和EPS構(gòu)建了單時段模型。然后，我們將整個運行優(yōu)化擴(kuò)展到多時段，并在所有決策變量中添加表示時間的符號t。

2.1.區(qū)域供熱系統(tǒng)建模

在質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)的輻射狀區(qū)域供熱網(wǎng)絡(luò)中，我們通過循環(huán)泵調(diào)節(jié)質(zhì)量流量。質(zhì)量流量有大小和方向。本文假設(shè)質(zhì)量流量的大小是可變的，而方向是固定的。這個假設(shè)是合理的，因為頻繁的方向變化會導(dǎo)致供應(yīng)的不穩(wěn)定。

式中，HGi是節(jié)點i的產(chǎn)熱量；HLi是節(jié)點i的熱負(fù)荷；c是水的比熱容；mji是熱網(wǎng)管道中從節(jié)點j傳輸?shù)焦?jié)點i的水的質(zhì)量流量；τi是節(jié)點i的出口溫度；τji為節(jié)點j到節(jié)點i的管道出口溫度；τa為環(huán)境溫度；v為單位長度的傳熱系數(shù)；Lji為節(jié)點j到節(jié)點i的管道長度；為τji的下界/上界；是mji的下界/上界。In(i)是熱網(wǎng)中流入節(jié)點i的節(jié)點索引集合，Out(i)是流出節(jié)點i的節(jié)點索引集合。Inode和Ipipe分別是熱網(wǎng)中節(jié)點和管道的索引集合；ICHP是熱電聯(lián)產(chǎn)機(jī)組的索引集合；IHB是采暖鍋爐（HB）的索引集合。等式（1a）定義節(jié)點熱平衡。等式（1b）定義節(jié)點流量平衡。等式（1c）描述了在考慮熱損失因素[22]的情況下，水溫沿管道下降的過程。具體而言，管道出口溫度τji取決于管道起點處的出口溫度τj。如果管道長度較長，傳熱系數(shù)較大，或質(zhì)量流量較小，則溫降（以及熱損失）就越為明顯。等式（1d）是節(jié)點出口溫度和管道出口溫度的最小和最大操作限制。等式（1e）給出質(zhì)量流量的最小和最大操作限制。要注意的是，可以將保持供應(yīng)節(jié)點溫度恒定的附加約束添加到基本模型中；這些將構(gòu)成量調(diào)節(jié)模型，其計算復(fù)雜度與質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)模型相同。

2.2.DHS的重構(gòu)模型

等式（1a）和等式（1c）使得DHS基礎(chǔ)模型非凸。等式（1a）有雙線性項mτ，等式（1c）具有指數(shù)函數(shù)exp(-vL/(cm))。

·為了處理雙線性項，我們引入了輔助變量H=mτ。結(jié)果證明，這種變量替換減少了雙線性項。

·為了處理指數(shù)函數(shù)項，我們使用一階泰勒展開來近似方程（1c）中的約束。

通過引入輔助變量：

等式（1a）和等式（1c）可變形為

在實際應(yīng)用中，管道v的總傳熱系數(shù)很小。根據(jù)《城鎮(zhèn)供熱管網(wǎng)設(shè)計規(guī)范》[23]，保溫材料的傳熱系數(shù)應(yīng)小于0.08 W·m-1·K-1。因此，我們假設(shè)vLji<

為了將與溫度相關(guān)的上界和下界約束[即式（1d）]轉(zhuǎn)換為與熱功率H相關(guān)的約束，我們使用了以下約束：

因此，質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)下的區(qū)域供熱網(wǎng)絡(luò)公式（基礎(chǔ)模型）可以重新表述為式（9a）～（9g），也就是重構(gòu)模型。

重構(gòu)模型：

需注意的是，等式（2）未出現(xiàn)在重構(gòu)模型中。它已被消去了，因為可以完全替代τji。引入并消除變量τji[等式（2）]不會影響原問題的可行域。然而，等式（9f）不屬于同一情況，因為τi不僅出現(xiàn)在等式（9f）中，也出現(xiàn)在等式（9b）中。在重構(gòu)模型[式（9g）]中，非凸二次約束[等式（1a）]被轉(zhuǎn)換為線性約束[等式（9a）]和獨立的雙線性約束[等式（9f）]；因此，除了等式（9f）之外，所有約束都是線性的?？梢哉f，重構(gòu)模型等效于基礎(chǔ)模型，一階泰勒近似的誤差可以忽略不計。

2.3.電力系統(tǒng)建模

本文采用具有精確電壓幅值估計的線性潮流模型[24]來表征電力網(wǎng)絡(luò)；這改善了直流潮流結(jié)果，因為它考慮了無功功率和電壓幅值。

式中，PGi/QGi是母線i的有功/無功發(fā)電量；PLi/QLi是母線i的有功/無功負(fù)載；Pij/Qij是線路ij上的有功/無功電流；Vi和θi分別是母線i的電壓幅值和相角。gij+jbij是線路ij的導(dǎo)納，gii+jbii是總線i的并聯(lián)導(dǎo)納。是Vi的下界/上界，ij是Pij的上界，Ibus和Iline分別是電力網(wǎng)絡(luò)中母線和線路的索引集合。等式（10a）和等式（10b）分別定義了節(jié)點有功和無功功率平衡方程。等式（10c）和等式（10d）分別表示支路有功和無功功率。式（10e）和式（10f）分別規(guī)定了傳輸線的有功功率限制和總線電壓幅值限制。

2.4.能源設(shè)備建模

聯(lián)合系統(tǒng)中存在三種典型的能源類型：HB、CHP機(jī)組和非CHP火電機(jī)組。HB的可變成本通常表示為關(guān)于熱輸出的線性函數(shù)，一般包括燃料價格和稅收價格[25]。CHP機(jī)組的發(fā)電成本通常表示為電功率和熱功率的凸二次成本函數(shù)，包括電功率和熱功率的乘積項[26]。在MATPOWER[27]中，每個非CHP火電機(jī)組的成本可以用二次函數(shù)或分段線性函數(shù)進(jìn)行建模，本文選擇使用二次函數(shù)進(jìn)行建模。上述能源設(shè)備的成本函數(shù)描述如下：

以下約束分別為這些能源設(shè)備的運行約束。對于CHP機(jī)組，運行約束通常是指可行區(qū)域的邊界，其形狀可以是線形或多邊形[9]，代表熱功率和電功率之間的關(guān)系以及它們的上下界。

2.5.運行問題

熱電聯(lián)合系統(tǒng)的最優(yōu)運行問題是使燃料成本、與其他互連電力系統(tǒng)的電力交換成本、網(wǎng)絡(luò)損耗以及其他一些適當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)最小化。約束包括用于基礎(chǔ)模型的式（1a）～（1e）或用于重構(gòu)模型的式（9g）、式（10）、式（12）以及其他三個關(guān)于節(jié)點電/熱生產(chǎn)的等式約束：

式中，T是運行周期；IFX是電功率交換接口索引集合；是接口j從外網(wǎng)購入的電量；是接口j賣給外網(wǎng)的電量；x代表決策變量。在基礎(chǔ)模型中，；在重構(gòu)模型中，，其中，α、β和γ是權(quán)重系數(shù)，用于調(diào)整不同目標(biāo)的權(quán)重，這是根據(jù)系統(tǒng)運行者的偏好設(shè)置的。指接口j的電功率交換成本，即從電網(wǎng)購電成本與向電網(wǎng)售電收入之差：

現(xiàn)有文獻(xiàn)中包含幾種電力網(wǎng)絡(luò)損耗公式及其變體；有興趣的讀者可以瀏覽參考文獻(xiàn)[28]。在本文中，我們將采用等式（15）這一常見變體，即假設(shè)所有電壓幅值都等于1（標(biāo)幺值，p.u.）[29-30]。通常，電壓幅值為0.9～1.1 p.u.，所以此假設(shè)是合理的。需要注意的是，只要網(wǎng)絡(luò)損耗公式是凸的，就可以將其應(yīng)用于本文的聯(lián)合運行問題。HtLOSS為總的熱生產(chǎn)與熱需求之差：

無論是使用DHS基礎(chǔ)模型[方程（1a）～（1e）]還是重構(gòu)模型[方程（9a）～（9g）]，聯(lián)合運行問題[方程（13a）～（13e）]都是一個具有二次約束的非凸優(yōu)化，是非確定性多項式困難問題。

3.凸松弛及求解算法

在DHS重構(gòu)模型中，雙線性項是唯一的難點。直觀的想法是直接移除等式（9f），以檢查雙線性約束是否對解的質(zhì)量有很大的影響。然而，仿真結(jié)果表明，去除雙線性項會導(dǎo)致解對約束方程（9f）產(chǎn)生很大的違反誤差。松弛雙線性項的經(jīng)典方法是使用McCormick包絡(luò)。為了改善松弛并減少McCormick松弛后的可行域體積，本文提出了分段McCormick技術(shù)，分段后產(chǎn)生的較小體積的總和小于標(biāo)準(zhǔn)McCormick方法中的大體積的總和。分段Mc-Cormick技術(shù)的最優(yōu)結(jié)果可以看作是松弛后的全局最優(yōu)，但在重構(gòu)模型中可能不可行。因此，為了加強(qiáng)McCormick包絡(luò)的邊界，并在松弛的全局最優(yōu)附近找到可行的結(jié)果，本文進(jìn)一步提出了邊界收縮算法。

3.1.McCormick凸松弛

我們用McCormick松弛替換等式（9f）[31]。

在McCormick松弛下，重構(gòu)模型成為一個凸問題，其中Karush-Kuhn-Tucker條件是充分必要的（例如，在Slater條件下）。因此，在松弛的McCormick模型中可以得到全局最小值。這個全局最小值可以被視為重構(gòu)模型的下界。然而，McCormick松弛在雙線性約束中仍然會產(chǎn)生相對較大的誤差。

3.2.緊縮McCormick方法

我們已經(jīng)通過凸的McCormick模型得到了一個解。在McCormick模型中，由于松弛的可行域不緊，所得的解可能因違背雙線性約束而不可行。為了提高松弛的質(zhì)量，本文使用更緊的上下界來構(gòu)建McCormick包絡(luò)。因此，我們采用分段McCormick技術(shù)和邊界收縮算法來改進(jìn)McCormick方法。

3.2.1.分段McCormick技術(shù)

在分段McCormick技術(shù)中，雙線性項中一個變量的域被劃分為若干不相交的區(qū)域，并確定最優(yōu)區(qū)域，從而收緊所選變量的邊界。典型的分區(qū)方案是均勻分區(qū)[32]，其問題大小隨分區(qū)數(shù)量線性增加。其他具有自適應(yīng)分段長度或分區(qū)相關(guān)邊界設(shè)定的分區(qū)方案也可以用于此問題以提高性能[33]。

選定需要分區(qū)的變量將會影響松弛的質(zhì)量。在區(qū)域供熱網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題中，可選擇的變量有：質(zhì)量流量、節(jié)點溫度或兩者的組合。找到可求得最優(yōu)松弛的最優(yōu)變量集超出了本文的研究范圍。本文將選擇對節(jié)點溫度進(jìn)行劃分。設(shè)定τi,smin和τi,smax分別代表分區(qū)s中變量τi的下界和上界。將二進(jìn)制變量yi,s分配給每個分區(qū)s。如果τi的值屬于分區(qū)s，則yi,s=1，否則，yi,s=0。雙線性項的另一個變量mik分解為mik,s,s∈S，其中，S是s的索引集合。

在上述公式中，如果二元變量yi,s=1，那么第s個分區(qū)中的所有變量，即τi,s和mik,s決定著τi和mik的值。相比之下，所有其他分區(qū)中的變量都被強(qiáng)制為零。換言之，如果yi,s=1，則s分區(qū)的所有約束條件都將被強(qiáng)制執(zhí)行，同時所有其他分區(qū)中的約束條件都將被忽略。二元變量的數(shù)量增加會提升松弛性能，但是也需要解決由此產(chǎn)生的混合整數(shù)計算量增加的問題?？傮w來看，設(shè)定分區(qū)為3時，該算法運行良好[32]。

3.2.2.邊界收縮算法

分段McCormick技術(shù)收緊了節(jié)點溫度上界和下界，從而增強(qiáng)了重構(gòu)模型的下界解。為了進(jìn)一步減小雙線性約束的違反誤差，我們期望可以在下界解附近找到一個可行解。因此，本文提出了一種邊界收縮算法來迭代地加強(qiáng)變量邊界，并在較少違反雙線性約束的情況下逼近最優(yōu)結(jié)果。邊界收縮算法的核心思想是：在第n次迭代時，根據(jù)n-1次的迭代結(jié)果和一系列超參數(shù)ε（0<ε<1）去更新決策變量的上界和下界，即質(zhì)量流量和節(jié)點溫度。超參數(shù)序列的設(shè)定原則是逐漸將ε的值減小，以便收緊邊界[34]。為了確保原問題的可行性，更新后的邊界應(yīng)該是更新邊界和原始邊界的交集。當(dāng)雙線性約束[方程（9f）]的平均相對誤差達(dá)到可接受水平的時候，算法終止。

上述方法的目的是尋找更緊的目標(biāo)函數(shù)下界。然而，我們還需要一個可行解作為目標(biāo)函數(shù)上界，以便對最優(yōu)間距ω進(jìn)行評估，也可以作為算法的另一個終止條件。該可行解可以通過以下方案得到：固定從McCormick方法中得到的質(zhì)量流量或者節(jié)點溫度，并用固定值重新優(yōu)化運行問題。

3.3.所提模型和方法的總覽

圖1直觀展示了緊縮McCormick方法，包括分段Mc-Cormick技術(shù)和邊界收縮算法。圖2顯示了所提模型和算法的主要流程。經(jīng)過模型重構(gòu)和凸松弛，構(gòu)建了凸的Mc-Cormick模型并得到了一個目標(biāo)函數(shù)下界。為了加強(qiáng)Mc-Cormick松弛性能，對節(jié)點溫度的可行域進(jìn)行劃分以得到更緊的松弛邊界，并用分段McCormick方法求解。同時，可以恢復(fù)一個可行解作為目標(biāo)函數(shù)上界，并與目標(biāo)函數(shù)下界一起構(gòu)成停止條件?？尚薪饪梢酝ㄟ^固定質(zhì)量流量和求解凸的重構(gòu)模型——式（13a）～（13e）和式（9g）得到?；谶吔缡湛s算法，依次收緊質(zhì)量流量和節(jié)點溫度的上、下界。最后，算法收斂到目標(biāo)函數(shù)下界附近的可行的局部最優(yōu)解。

圖1.緊縮McCormick方法的說明。（a）分段McCormick技術(shù)；（b）邊界收縮算法。

圖2.所提模型和方法的實施流程圖。

算法1 邊界收縮1:2:inputs:δ,ω,ε1,κ,UB=109,LB=0a n←1;mmin,ini ik ←mmin ik,mmax,ini ik ←mmax ik,?ik∈Ipipe;τmin,ini i ← τmin i ,τmax,ini 3:4:5:6:7:8:9:i ← τmax i ,?i∈ Inode while(UB-LB)/UB×100%>ωdo if n=1 then Solve(18)and getHout ik,mik,τi,obj;LB←obj else Solve(17)and getHout ik,mik,τi,obj;LB←obj 10:end Fixmik,reoptimize(13)with(9),and obtain a feasible solution and obj;UB←obj if |Ipipe ∑1||Hout ik -cmikτi|/Hout ik ≤ δthen ik∈Ipipe 11:12:13:14:15:break;end mmin ik ← max{(1-εn)mik,mmin,ini ik },?ik∈ Ipipe mmax ik ← min{(1+εn)mik,mmax,ini ik },?ik∈Ipipe τmin i ← max{(1-εn)τi,τmin,ini i },?i∈ Inode i ← min{(1+ εn)τi,τmax,ini i },?i∈ Inode εn+1 ← εn-κ n←n+1 end while 16:τmax 17:18:19:aUB:upper bound;LB:lower bound.

4.算例研究

本節(jié)比較了幾種模型的性能，如表2所示。

表2 模型對比

本文在兩個熱電聯(lián)合系統(tǒng)中測試了這些模型。一個是小規(guī)模系統(tǒng)，如圖3所示，具有一個6總線的電力系統(tǒng)和一個8節(jié)點的區(qū)域供熱系統(tǒng)。6總線的電力系統(tǒng)在總線1處連接到外部電網(wǎng)。8節(jié)點的區(qū)域供熱系統(tǒng)是根據(jù)中國吉林省的一個區(qū)域供熱系統(tǒng)進(jìn)行修改的[7]。系統(tǒng)中的設(shè)備包括兩個非CHP火電機(jī)組、三個電力負(fù)荷、一個連接電力系統(tǒng)和區(qū)域供熱系統(tǒng)的CHP機(jī)組、一個供暖鍋爐和三個熱負(fù)荷?？偟臒嶝?fù)荷和電負(fù)荷如圖4所示。參數(shù)設(shè)置為ε1=0.02，κ=0.01，δ=0.0001。另一個是大規(guī)模系統(tǒng)，由一個改進(jìn)的118總線電力系統(tǒng)和一個來自巴厘島的33節(jié)點區(qū)域供熱系統(tǒng)組成[4]。118總線電力系統(tǒng)在69總線處與外部電網(wǎng)交換電力。33節(jié)點區(qū)域供熱系統(tǒng)斷開了25～28號支路的連接，形成輻射狀網(wǎng)絡(luò)。系統(tǒng)中有兩個CHP機(jī)組和一個供暖鍋爐。這兩個熱電聯(lián)合系統(tǒng)的詳細(xì)數(shù)據(jù)見參考文獻(xiàn)[35]。

圖3.6總線電力系統(tǒng)和8節(jié)點區(qū)域供熱系統(tǒng)的熱電聯(lián)合系統(tǒng)。

圖4.總熱負(fù)荷和電負(fù)荷日概況。

4.1.最優(yōu)性

表3和表4分別顯示了兩種案例中的最優(yōu)調(diào)度對比。利用Gurobi9.0中的雙線性求解器求解的基礎(chǔ)模型和重構(gòu)模型可以提供全局最優(yōu)解。這兩個模型的最優(yōu)值幾乎沒有差別，這表明重構(gòu)模型可以獲得相同的調(diào)度方案。正如預(yù)期的那樣，直接移除雙線性項的重構(gòu)模型提供了目標(biāo)函數(shù)的最小下界解，而McCormick模型提供了更緊的目標(biāo)函數(shù)下界解。由只能獲得局部最優(yōu)解的IPOPT求解的基礎(chǔ)模型提供了目標(biāo)函數(shù)上界解。緊縮McCormick模型具有與全局最優(yōu)值的間隙小、求解快的特質(zhì)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)變大時，用Gurobi中的雙線性求解器求解基礎(chǔ)模型變得耗時耗力。由于高度非凸，IPOPT在大規(guī)模算例中無法收斂。然而，通過對模型進(jìn)行凸化處理，緊縮McCormick方法可以應(yīng)用于大規(guī)模聯(lián)合系統(tǒng)優(yōu)化，求解誤差相對較小，并且可以被現(xiàn)成的求解器有效求解。除了分段McCormick技術(shù)的求解過程，緊縮McCormick方法中的其他過程實際上都是凸模型。因此，緊縮McCormick方法在求解精度和計算效率方面都表現(xiàn)良好。此外，與Gurobi 9.0中的分支定界等全局搜索方法相比，具有凸性的緊縮McCormick方法可以很容易地推導(dǎo)出影子價格，以便進(jìn)一步的經(jīng)濟(jì)分析。

表3 小規(guī)模系統(tǒng)下的最優(yōu)調(diào)度對比

表4 大規(guī)模系統(tǒng)下的最優(yōu)調(diào)度對比

從調(diào)節(jié)方法的角度可以看出，可變質(zhì)量流量比恒定質(zhì)量流量的成本更低，如表3和表4所示，這是因為調(diào)整質(zhì)量流量和節(jié)點溫度可以帶來更高的靈活性。圖5詳細(xì)展示了日前調(diào)度結(jié)果，包括每個生產(chǎn)單元的功率輸出、售向電網(wǎng)的功率以及典型管道的質(zhì)量流量。

圖5.小規(guī)模系統(tǒng)中不同調(diào)節(jié)模式的日前調(diào)度結(jié)果。

4.2.可行性

圖6顯示了兩個算例系統(tǒng)下違反約束條件[等式（9f）]的情況。用違反雙線性約束的誤差來表示，即。從表3 和表4 可以看出直接移除雙線性項的重構(gòu)模型和McCormick模型的成本較低，但是二者的約束違反情況也非常嚴(yán)重（圖6），不能應(yīng)用于實際系統(tǒng)運行。但是，緊縮McCormick方法的違反誤差相對較小。兩個算例系統(tǒng)的最大誤差均不超過0.358%，平均誤差均小于0.133%。詳細(xì)的誤差數(shù)據(jù)如表5和表6所示。

圖6.第一個時刻處違反約束[方程（9f）]的情況。

表5 小規(guī)模情況下雙線性約束[方程（9f）]在24 h內(nèi)的誤差

表6 大規(guī)模情況下，雙線性約束[方程（9f）]在24 h內(nèi)的誤差

4.3.靈敏度分析

從圖7（a）可以看出，較大的分區(qū)數(shù)提供了更緊的上、下界作為邊界收縮算法迭代的起點；因此，在第1次迭代中，S=3處的誤差是所有分區(qū)數(shù)中最小的。S=1代表直接使用McCormick模型，不存在分區(qū)過程。分區(qū)數(shù)越大，需要的二元變量越多，計算時間也就越長。當(dāng)分區(qū)數(shù)為3或2時，可以獲得比較理想的結(jié)果。圖7（b）表明，初始值越小，步長越大，收斂速度越快。但是，初始值設(shè)置不宜過小，步長不宜過大，以防止沒有可行域。

圖7.小規(guī)模系統(tǒng)下的收斂性能。（a）分區(qū)數(shù)；（b）超參數(shù)序列的初始點和步長。S指的是分段McCormick技術(shù)中的分區(qū)數(shù)，ε1和κ分別指超參數(shù)序列的初始點和步長。誤差顯示了雙線性約束[方程（9f）]違反情況的平均值。

5.結(jié)論

本文提出了一種凸的熱電聯(lián)合系統(tǒng)的運行模型。為了減少來自熱網(wǎng)質(zhì)量-流量調(diào)節(jié)的雙線性項，本文首先通過變量替換和等效變換對模型進(jìn)行了重構(gòu)。接著，本文利用McCormick包絡(luò)松弛剩余的雙線性項。為了進(jìn)一步縮小McCormick松弛的可行域的體積，本文提出了一種分段McCormick方法來收緊雙線性項中決策變量的松弛邊界。為了保證結(jié)果的可行性，本文提出了一種邊界收縮算法來改進(jìn)McCormick模型的邊界，并在附近得到了一個可行解。案例研究表明，緊縮McCormick方法能夠快速求解熱電聯(lián)合系統(tǒng)運行問題，得到滿足實際運行需求的可行的較優(yōu)解。此外，緊縮McCormick方法具有凸性，該方法有望用于大規(guī)模熱電聯(lián)合系統(tǒng)優(yōu)化，也可以使用影子價格進(jìn)行經(jīng)濟(jì)分析。值得注意的是，緊縮McCormick方法的性能在很大程度上取決于邊界收縮算法中選擇的超參數(shù)序列。進(jìn)一步的研究可以以尋找有效的序列和進(jìn)行靈敏度分析為研究重點。

本文將提出的模型和算法應(yīng)用于考慮穩(wěn)態(tài)DHS的日前或周前能源生產(chǎn)運行模型。然而，如果考慮傳輸延遲的熱網(wǎng)動態(tài)可以表示為凸或雙線性約束，則所提方法也可以擴(kuò)展應(yīng)用到聯(lián)合系統(tǒng)的日內(nèi)或?qū)崟r經(jīng)濟(jì)調(diào)度。水質(zhì)量法已經(jīng)實現(xiàn)了雙線性形式的熱網(wǎng)動態(tài)模型[15,17]。未來的研究可以著眼于熱網(wǎng)動態(tài)分析并利用所提方法實現(xiàn)實時經(jīng)濟(jì)調(diào)度。

致謝

本項工作得到國家電網(wǎng)公司科技項目（522300190008）的支持。

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