周 軍 錢惠敏

（河海大學(xué)能源與電氣學(xué)院自動化系，江蘇 南京211100）

0 引言

自動化專業(yè)建模與仿真課程教學(xué)是以機(jī)理建模方法與步驟為中心的[1-5]。教學(xué)內(nèi)容與方式固然有面向?qū)嶋H具體形象，教師易解，學(xué)生易學(xué)的一面。但缺乏對原始模型后處理技術(shù)與方法的說明，更鮮見從原始模型獲取二次模型探討，或?qū)⑦@幾方面分開講解。當(dāng)學(xué)生進(jìn)入信號與系統(tǒng)、自動控制原理、計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)、線性系統(tǒng)理論等專業(yè)課時[6-10]，依然對物理對象與數(shù)學(xué)模型關(guān)系有陌生感。原因是：建模與仿真課程中以機(jī)理建模時，對象要素與模型形式的關(guān)系是明確的。但專業(yè)基礎(chǔ)課數(shù)學(xué)模型一般并非原始模型，而是經(jīng)數(shù)學(xué)加工后的標(biāo)準(zhǔn)二次模型，已無與對象要素的直接聯(lián)系，學(xué)生自然困惑：建模與仿真到底建立了什么模型？傳遞函數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)二次模型又是從何而來的？

根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與體會，筆者認(rèn)為學(xué)生對建模與仿真課程及其后續(xù)專業(yè)課的反差感、跳躍感是由于教學(xué)中對原始模型后處理技術(shù)、二次模型導(dǎo)出與特性分析缺失。筆者在試卷中設(shè)計(jì)了關(guān)于模型后處理和二次建模的試題，要求學(xué)生討論諸如：基于原始模型說明控制機(jī)理與效果，二次模型和物理機(jī)理關(guān)系等。但能清晰、準(zhǔn)確掌握原始模型與二次模型關(guān)系的學(xué)生不多于20%。這說明該部分教學(xué)缺失導(dǎo)致學(xué)生對建模技術(shù)與數(shù)學(xué)模型特性的理解困難。

建模與仿真課程的主要教學(xué)內(nèi)容是，通過機(jī)械類、電氣類、運(yùn)動類案例，建立基于機(jī)理的微分方程模型的方法與步驟，不涉及原始模型后處理，如平衡點(diǎn)分析、動態(tài)擬合、線性化近似等，更不涉及二次模型推導(dǎo)與特性解析，如模型辨識、傳遞函數(shù)、頻率特性及其參數(shù)等。因此，本文以行車垂直圓擺為例，機(jī)理建立原始模型，實(shí)施后處理，討論二次模型及其特性，以此說明建模后處理和二次模型知識點(diǎn)教學(xué)的必要性，對教學(xué)方式也做了討論。

1 控制系統(tǒng)建模的主要模型后處理技術(shù)

1.1 基于機(jī)理建模和原始模型

圖1的水平行車垂直圓擺系統(tǒng)忽略了摩擦力和空氣阻力，建立狀態(tài)微分方程模型。

圖1 行車垂直圓擺系統(tǒng)

圖中符號定義如下：M為行車質(zhì)量；m為擺球質(zhì)量；g為重力加速度；l為擺桿長度，無質(zhì)量；F為行車外力；fh，fv為擺桿對擺球的支撐力分量；ρ，θ為行車對固定坐標(biāo)位移，擺桿與行車垂直軸的夾角。

根據(jù)行車和擺球的水平方向受力，牛頓第二定律給出：

考慮擺球繞軸旋轉(zhuǎn)的切線方向，圓周運(yùn)動方程為：

最后，由式（1）和（2），選擇狀態(tài)變量x1=ρ，x2=ρ˙，代數(shù)消除fh，得

其中，x=[x1，x2，x3，x4]T∈R4，且，

式（3）是非線性微分方程。F=0時的平衡點(diǎn)方程0=[x2ef2（xe）x4ef3（xe）]T，?t≥0。于是，平衡點(diǎn)為，xe=[c，0，x3e，0]T∈R4，?c∈R，x3e=kπ，k=0，±1…，對應(yīng)兩組角度周期性變化的平衡點(diǎn)，即。也就是說，水平軌道任何點(diǎn)，速度為零，擺桿倒立或下垂就平衡了。

1.2 原始模型的主要后處理技術(shù)

首先，原始模型曲線擬合線性化后處理。若擺桿與上平衡點(diǎn)有小偏角，擺角速度慢。由三角函數(shù)性質(zhì)，sinx3≈x3，cosx3≈1。代入式（3），有

A∈R4×4和B∈R4×1，即系統(tǒng)在上平衡點(diǎn)可由線性定常模型描述。又xe（t）∈N（A），rank（A）=3＜4，模型（4）的平衡點(diǎn)有無窮多個，與原始模型平衡點(diǎn)性質(zhì)一致。

其次，考慮式（3）在上（下）平衡點(diǎn)的切線線性化。在上平衡點(diǎn)xeupper=[c，0，0，0]T的Jacobian陣為：

在下平衡點(diǎn)xelower=[c，0，π，0]T的Jacobian陣為

以下記為A（L）。若L=-（M+m）g/（Ml），A（L）=Aupper，若L=（M+m）g/（Ml），A（L）=Alower。

模型（4）的輸入矩陣是原始模型（3）的輸入部分在平衡點(diǎn)處賦值的結(jié)果，即

類似地，有Blower=[0M－10 （Ml）-1]T。對應(yīng)上（下）平衡點(diǎn)的輸入矩陣是不同的。

總之，上（下）平衡點(diǎn)的線性化模型分別是

且xupper∈R4，xlower∈R4。

1.3 原始模型與線性化模型特性討論

線性化模型（5）和（6）中，xe=[c，0，0，0]T都是平衡點(diǎn)，但是式（5）的平衡點(diǎn)與原始模型（6）的上平衡點(diǎn)一致；式（6）的平衡點(diǎn)與原始模型（3）的下平衡點(diǎn)不一致。

式（5）和（6），若A（L）對應(yīng)上平衡點(diǎn)，特征值為s1=s2=0，s3，4=±（（M+m）g/（Ml））1/2，上平衡點(diǎn)不穩(wěn)定[11]。若A（L）對應(yīng)下平衡點(diǎn)，s1=s2=0，s3，4=±j（（M+m）g/（Ml））1/2，下平衡點(diǎn)穩(wěn)定與否不確定。

2 原始模型的二次模型的傳遞函數(shù)及其特性

本節(jié)舉例說明對原始模型的線性模型二次建模的必要性及其基本特性。

2.1 二次模型的傳遞函數(shù)

以圖1的水平行車位置x1=ρ為輸出觀測量，則輸出方程為

或以擺角x3=θ為輸出觀測量，則輸出方程為

這樣，模型（5）或（6）和輸出方程（7）給出的上（下）平衡點(diǎn)的二次模型傳遞函數(shù)為

類似地，模型（5）或（6）和式（8）給出的二次模型傳遞函數(shù)為

2.2 傳遞函數(shù)的主要特性

基于式（9）和式（10），觀察作為二次模型傳遞函數(shù)及其性質(zhì)：

模型（4）是4階微分方程，C1（s）為四階傳遞函數(shù)，但C2（s）為2階傳遞函數(shù)；

模型（5）或（6）的4個特征值作為極點(diǎn)全部出現(xiàn)于C1（s），但C2（s）僅包含s3，4的兩極點(diǎn)。因此，C1（s）是不穩(wěn)定的，而C2（s）至多臨界穩(wěn)定。

模型（5）和（6）的可控性/可觀性。構(gòu)造可控性矩陣，得可控性秩條件：

于是，模型在上下平衡點(diǎn)都是可控的。即外力F可以控制行車狀態(tài)。

其次，構(gòu)造模型（5）和輸出方程（7）的可觀性矩陣?？捎^性秩條件為：

線性模型在上（下）平衡點(diǎn)都是可觀的，即基于行車位置測量可推算狀態(tài)。

最后，構(gòu)造模型（6）和輸出方程（8）的可觀性矩陣。于是，可觀性秩條件為：

線性模型在上（下）平衡點(diǎn)都不是可觀的，基于擺角測量無法推算狀態(tài)。

3 數(shù)值仿真與結(jié)果驗(yàn)證

利用Matlab仿真驗(yàn)證。對圖1系統(tǒng)設(shè)定：M=1kg；m=0.1 kg；g=9.8 m/s2；l=0.5 m；F=A sinωt，A=0.2，ω=0.04 rad/s；初始位置ρ（0）=0，θ（0）為[-10°，10°]的隨機(jī)值。各圖實(shí)線為原始模型行車位置（綠），速度（紅），擺角（黑）和角速度（藍(lán)），線性模型的相應(yīng)狀態(tài)量為虛線，顏色含義相同。

由圖2和圖3可知，對于上（下）平衡點(diǎn)處的線性模型都能在一定時間范圍內(nèi)準(zhǔn)確反映原始模型的響應(yīng)特性。比較而言，下平衡點(diǎn)的線性模型（6）對原始模型動態(tài)近似度更好，偏差較小的時間區(qū)間更長。與此相對，上平衡點(diǎn)的線性模型（5）只能在平衡點(diǎn)擺角很小，短時間內(nèi)有很好近似。

圖2 上平衡點(diǎn)附近原模型與線性模型（5）的響應(yīng)對比

圖3 下平衡點(diǎn)附近原模型與線性模型（6）的響應(yīng)對比

圖4說明，在上平衡點(diǎn)附近，擺臂一開始左右擺動，之后繞軸旋轉(zhuǎn)；行車速度漸大，離開初始位置也漸遠(yuǎn)，擺角進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后周期變動；與此相對，行車位置和速度無周期性；換句話說，利用擺角測量無法確定行車位置和速度。這是上平衡點(diǎn)線性模型不可觀的物理原因。

圖4 上平衡點(diǎn)附近非線性系統(tǒng)的響應(yīng)

圖5說明，在下平衡點(diǎn)附近，擺臂始終左右擺動，沒有發(fā)生繞軸旋轉(zhuǎn)；同時行車速度漸大，離初始位置漸遠(yuǎn)。擺角曲線具周期性而行車位置與速度無周期性，即擺角速度與行車位置和速度無直接關(guān)系。這是下平衡點(diǎn)線性模型不可觀的物理原因。

圖5 下平衡點(diǎn)附近非線性系統(tǒng)的響應(yīng)

仿真反映的模型穩(wěn)定性、可控性、可觀性與行車垂直圓擺系統(tǒng)的物象關(guān)系一目了然。對原始模型線性化，二次模型及其特性討論，有助于學(xué)生對建模工程意義與模型數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解與認(rèn)識。

4 教學(xué)方法探討

通過對行車垂直圓擺系統(tǒng)的機(jī)理建模、模型后處理及二次模型導(dǎo)出與性質(zhì)討論，本文試圖明晰建模與仿真課程教學(xué)中，補(bǔ)充和完善模型后處理和二次模型的必要性和重要性。建議教學(xué)過程如下：

（1）基于已有建模案例補(bǔ)充與完善，無須使用全新案例。對后處理技術(shù)和二次建模，以滿足后續(xù)專業(yè)課程對數(shù)學(xué)模型基本要求為準(zhǔn)，以便學(xué)生建立從工程實(shí)際到專業(yè)基礎(chǔ)的系統(tǒng)和有機(jī)的理解。

（2）模型后處理應(yīng)結(jié)合復(fù)雜控制工程問題示例。就自動化專業(yè)而言，線性化和模型簡化是最起碼的知識點(diǎn)。

（3）二次模型應(yīng)集中于后續(xù)課程的標(biāo)準(zhǔn)模型上，以便學(xué)生學(xué)習(xí)從實(shí)際中提煉理論，在各專業(yè)課建立知識點(diǎn)聯(lián)系與融合，強(qiáng)化學(xué)習(xí)效果。就控制系統(tǒng)建模而言，應(yīng)講解線性定常微分方程或傳遞函數(shù)模型。

（4）二次模型涉及的模型概念應(yīng)以形象化，工程化的感性說明為主，而非數(shù)學(xué)定義與意義闡述。比如，對穩(wěn)定性、可控性、可觀性概念，并不建議在建模與仿真課程中講授，而是教師基于先驗(yàn)知識，從物象和實(shí)驗(yàn)角度，引導(dǎo)學(xué)生的物理常識的理解。

教學(xué)實(shí)踐表明，建模與仿真課程中若只講授機(jī)理建模的方法與步驟，學(xué)生可熟悉和理解機(jī)理與原始模型的關(guān)系。一旦脫離實(shí)際對象，學(xué)生依然會被抽象數(shù)學(xué)模型困惑。通過模型后處理技術(shù)和二次模型的學(xué)習(xí)，學(xué)生才有機(jī)會理解原始模型的類型，性質(zhì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能體會二次模型的數(shù)學(xué)概念的工程意義，才能理解機(jī)理與數(shù)學(xué)模型的聯(lián)系與區(qū)別。本文希望能對建模與仿真課程的教學(xué)與研究有新的啟發(fā)。