吳 曉

(海南醫(yī)學院物理教研室，海口 571199)

復雜網(wǎng)絡的研究一直以來都是人們關注的重要課題[1-2]，如復雜網(wǎng)絡模型、復雜網(wǎng)絡的疾病傳播[3-4]與控制、復雜網(wǎng)絡的同步[5]等。設計與實際網(wǎng)絡更為接近的網(wǎng)絡模型是復雜網(wǎng)絡的基礎。目前，規(guī)則網(wǎng)絡、ER隨機網(wǎng)絡、NW小世界網(wǎng)絡、Scale-free無標度網(wǎng)絡、衰減網(wǎng)絡[6]、等級網(wǎng)絡[7]等都是比較實際的網(wǎng)絡模型。從這些網(wǎng)絡特點可以看出，其具有與實際相符的內在演化機制，如規(guī)則、隨機、偏好、衰減、等級等，因此提出與實際人群關系網(wǎng)絡更為接近的網(wǎng)絡模型，更能準確反映實際網(wǎng)絡的拓撲特性和相關動力學?，F(xiàn)實生活中，人群交往在一個小的人群范圍內，人與人彼此都認識，他們之間的交往可能按照偏好機制，當人群范圍擴大，人與人之間就不可能都認識，那么他們的交往就可能部分是隨機的、偶然的，也可以理解為現(xiàn)實網(wǎng)絡不僅有節(jié)點的偏好連接，當節(jié)點增加到一定范圍后，也有內部節(jié)點的隨機連接。

1 網(wǎng)絡模型

開始時網(wǎng)絡中有m個節(jié)點，彼此任意連接(不重連，m=3)。

當節(jié)點數(shù)量大于N0=1000，以p的概率節(jié)點增加的偏好連接，以1-p概率節(jié)點內部隨機連邊(不重連)，連邊數(shù)量與偏好連接數(shù)量相等。

網(wǎng)絡按步驟循環(huán)，直到達到規(guī)定節(jié)點數(shù)量N。

為了與實際網(wǎng)絡吻合，內部連邊概率不宜過大(p≤0.5)，否則網(wǎng)絡會趨近隨機網(wǎng)絡(也就是p=0)。

2 數(shù)值模擬結果與討論

2.1 度分布與平均度

在有限尺度的均勻網(wǎng)絡(隨機網(wǎng)絡)和非均勻網(wǎng)絡(無標度網(wǎng)絡)中，平均度與度分布P(k)是網(wǎng)絡拓撲結構的重要參數(shù)，也是對流行病傳播動力學影響比較大的因素[8-9]。從圖1來看，當概率p=1時，網(wǎng)絡是BA網(wǎng)絡，度分布呈冪率分布γ=-3，當概率p=0.7和p=0.5時，偏好連接減小，隨機內部連邊增加時，度分布P(k)冪率分布的情況不再保持，曲線尾部開始轉向隨機網(wǎng)絡的度分布—泊松分布，也是網(wǎng)絡由非均勻網(wǎng)絡向均勻網(wǎng)絡過渡，其中p=0.7時，網(wǎng)絡度分布呈現(xiàn)與實證合作網(wǎng)相同的度分布，由此可以推斷實際網(wǎng)絡應該是這兩種機制共存的混合網(wǎng)絡。圖2中，當概率p=1時，平均度=6，隨著概率p減小，隨機內部連邊增加，平均度也逐漸增加，且呈非線性變化。

圖1 不同概率p下的度分布P(k)Fig.1 P(k) under different p

圖2 平均度隨概率p變化曲線Fig.2 Curve of the changes of with p

2.2 傳播動力學

復雜網(wǎng)絡上流行病傳播動力學基于流行病模型，常見的流行病模型有：SI、SIS、SIR(S 代表易感人群 ，I 代表感染人群，R 為免疫人群)，選取了這三種經典流行病模型進行模擬研究。

2.2.1 SI模型

在SI模型中，總人數(shù)N(也就是網(wǎng)絡的尺度)被認為是常數(shù)，S(t)和I(t)是易感染個體和染病個體的數(shù)量，相應的N=S(t)+I(t)。在SI模型中，傳播概率被定義為λ, 易感染個體通過其染病近鄰個體而被感染，同時，模型中的染病個體始終保持染病狀態(tài)，不能康復。在SI流行病模型的模擬中，選取了N=10 000，隨機選擇初始染病節(jié)點50個，傳播概率λ=0.01進行模擬，ρI代表染病節(jié)點數(shù)占總數(shù)的比例(染病節(jié)點的密度)。

從圖3來看，隨著概率p的減小，隨機連邊增加，節(jié)點染病密度ρI隨時間演化曲線保持一致，但流行病蔓延整個網(wǎng)絡的時間縮短，p=1,t≈150；p=0.5,t≈100。從三者曲線比較來看，在每一個時間步，p=0.5的概率所占據(jù)的染病節(jié)點密度最大。因此，此類流行病爆發(fā)后，盡量減少與陌生人接觸(節(jié)點的隨機加邊)，是控制此類疾病傳播范圍的有效措施。

圖3 節(jié)點染病密度ρ(I)隨時間t的變化曲線Fig.3 Changing curve of ρ(I) with t

2.2.2 SIS模型

在SIS傳播模型中，個體在網(wǎng)絡中的狀態(tài)是一個循環(huán)的過程：易感染態(tài)—感染態(tài)—易感染態(tài)。在每一個時間步，每一個易感染節(jié)點被其一個或多個染病近鄰以概率ν感染，同時染病的個體以δ(一般情況下，取δ=1)的概率被治愈或再次變成易感染的狀態(tài)。SIS模型中，有效的傳播概率定義為：λ=ν/δ，染病個體的密度(染病個體數(shù)目占總人數(shù)的比例)ρI。在SIS流行病模型的模擬中，選取N=10 000，隨機選擇初始染病節(jié)點為 50個，感染概率ν，康復概率δ=1進行模擬，有效的傳播概率為：λ=ν/δ=ν/1=ν,ρI代表感染節(jié)點數(shù)占總數(shù)的比例(染病節(jié)點的密度)。

從圖4整體上可以看出，流行病傳播到一定時間會形成穩(wěn)態(tài)，疾病以一定的密度ρI維持在人群網(wǎng)絡中，不會消失。概率p的變化不影響染病節(jié)點密度ρI隨時間變化的曲線形態(tài)。在有效傳播概率λ一定，隨著概率p的減小，染病節(jié)點形成穩(wěn)態(tài)的密度會逐步增加，從p=1,ρ(I)≈0.08增加到p=0.5,ρ(I)≈0.28。在圖5中發(fā)現(xiàn)，當概率p減小，隨機加邊增加，不同疾病傳播概率(λ=0.5)情況下，穩(wěn)態(tài)密度隨概率p存在近似的線性變化。

圖4 有效傳播概率λ=0.1，不同概率p下穩(wěn)態(tài)密度ρ(I)變化曲線Fig.4 Changing curve of steady state density ρ(I) under the condition of effective communication λ=0.1 and different p

圖5 不同概率p下，傳播概率λ與穩(wěn)態(tài)密度ρ(I)變化曲線Fig.5 Changing curve of steady state density ρ(I) under the condition of different p and communication probability λ

圖6 傳播臨界值λC隨概率p變化曲線Fig.6 Curve of spread critical value λC with p

2.2.3 SIR模型

在SIR傳播模型中，R為免疫態(tài)，即治愈后并獲得免疫能力的個體，這類節(jié)點不具有傳染能力。實際生活中，水痘這類治愈后獲得免疫的傳染病，往往可以用SIR模型來描述。在每一個時間步，每一個易感染節(jié)點被其一個或多個染病近鄰以概率ν感染，同時染病的個體以δ的概率被治愈并不再被傳染。三種狀態(tài)個體的密度S(t)，R(t)，I(t)隨時間變化的曲線如圖7、8所示。選取N=10 000，隨機選擇初始染病節(jié)點為 50個，(1)感染概率ν=0.1，康復概率較小δ=0.02進行模擬，見圖7。(2)感染概率ν=0.1，康復概率較小δ=0.3進行模擬，見圖8。兩者圖像整體比較，康復概率較小和康復概率較大，R態(tài)呈現(xiàn)出不同的變化曲線。從圖7來看，S態(tài)節(jié)點最終在網(wǎng)絡中不存在，網(wǎng)絡節(jié)點只存在I態(tài)和R態(tài)，當康復概率較小時，概率p減小，隨機連邊增加，三種狀態(tài)整體曲線形態(tài)沒有改變，S態(tài)節(jié)點密度在相對消亡時間上有所延長(p=1,t=9；p=0.5,t=25)，I態(tài)節(jié)點密度減小，R態(tài)節(jié)點密度近似線性增加。從圖8來看，有小部分S態(tài)節(jié)點存在網(wǎng)絡中，當概率p減小，隨機連邊增加，I態(tài)節(jié)點消亡時間上縮短，S態(tài)節(jié)點密度會減小(p=1,ρ(S)≈0.39；p=0.5,ρ(S)≈0.19)，R態(tài)節(jié)點密度增加，I態(tài)節(jié)點最終在網(wǎng)絡中消亡，網(wǎng)絡中只存在S態(tài)和R態(tài)的節(jié)點?？梢哉f，大的康復概率對疾病的消亡更有利，當然這取決于更有效的免疫藥物、更好的醫(yī)療水平能讓病人在短時間內康復。

圖7 感染概率ν=0.1，康復概率δ=0.02不同概率p下S、I、R態(tài)密度隨時間變化曲線Fig.7 Changing curve of S, I and R density state with time under the condition of infection probability ν=0.1, recovery probability δ=0.02 and different p

圖8 感染概率ν=0.1 康復概率 δ=0.3不同概率p下S、I、R態(tài)密度隨時間變化曲線Fig.8 Changing curve of S, I and R density state with time under the condition of infection probability ν=0.1, recovery probability δ=0.3 and different p

3 總結

提出隨機和偏好機制共存的網(wǎng)絡-混合網(wǎng)絡，并在此網(wǎng)絡上數(shù)值模擬流行病傳播的相關過程，發(fā)現(xiàn)概率p減小，隨機連邊增加，會帶來SI型疾病傳播時間縮短、SIS型疾病中節(jié)點染病密度增加、傳播閾值λC減小等相關不利影響，但在SIR型疾病中會有相反的變化：感染概率一定，較小的恢復概率中，I態(tài)密度減?。惠^大的恢復概率中，I態(tài)消亡時間縮短，依此理論來指導實際的疾病預防工作，具有一定的參考價值。