曾耀平， 劉 洋

(西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，陜西 西安 710121)

0 引 言

波達(dá)方向(direction of arrival,DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的關(guān)鍵技術(shù)之一，在雷達(dá)、通信、衛(wèi)星導(dǎo)航等都發(fā)揮著重要作用[1]。近年來(lái)，由于稀疏陣列[2]更大陣列孔徑和自由度，基于稀疏陣列的DOA估計(jì)逐漸受到廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)[3]提出一種嵌套陣列，通過(guò)N個(gè)陣元最多可獲得o(n2)的陣列自由度，但是互耦效應(yīng)會(huì)影響波達(dá)方向估計(jì)的結(jié)果。文獻(xiàn)[4]提出一種互質(zhì)陣列，用M+N-1個(gè)陣元可獲得o(mn)自由度，但虛擬域的孔洞缺失導(dǎo)致最大可用自由度減少。文獻(xiàn)[5]提出一種虛擬陣列協(xié)方差矩陣稀疏重建的DOA估計(jì)算法，重構(gòu)虛擬域協(xié)方差矩陣來(lái)提高陣列自由度，但算法復(fù)雜度略高。文獻(xiàn)[6]研究了基于壓縮感知的互質(zhì)陣列DOA估計(jì)，降低計(jì)算復(fù)雜度，但非均勻虛擬域中信息缺失以及預(yù)定義空間網(wǎng)格點(diǎn)造成估計(jì)偏差問(wèn)題有待解決。文獻(xiàn)[7]提出一種基于互質(zhì)陣列內(nèi)插無(wú)網(wǎng)格化DOA估計(jì)算法，利用了全部接收信號(hào)信息，利用所有虛擬陣元，尋找最接近內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣的協(xié)方差矩陣來(lái)進(jìn)行DOA估計(jì)。

本文提出一種移位互質(zhì)陣列虛擬內(nèi)插的無(wú)網(wǎng)格化DOA估計(jì)研究，首先對(duì)互質(zhì)陣列改進(jìn)形成移位互質(zhì)陣列，其次對(duì)虛擬域缺失孔洞填充形成連續(xù)虛擬線陣，最后通過(guò)原子范數(shù)最小化的優(yōu)化設(shè)計(jì)和內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣稀疏重建進(jìn)行DOA估計(jì)。所提出的方法進(jìn)一步提高陣列孔徑和自由度，解決虛擬域信息缺失和預(yù)定義網(wǎng)格點(diǎn)產(chǎn)生的誤差，仿真結(jié)果體現(xiàn)了算法的有效性。

1 移位互質(zhì)陣列與信號(hào)模型

簡(jiǎn)單互質(zhì)陣列模型，由一對(duì)滿足互質(zhì)條件的均勻線性陣列以首個(gè)陣元重疊的方式構(gòu)成。設(shè)子陣列1有M個(gè)陣元，間距是Nd；子陣列2有N個(gè)陣元，間距為Md；d=λ/2，共包含M+N-1個(gè)陣元如圖1。本文對(duì)簡(jiǎn)單互質(zhì)陣列的兩個(gè)均勻線陣進(jìn)行錯(cuò)位偏移，令陣元數(shù)為M的陣列相對(duì)于陣列數(shù)為N的陣列向后偏移M的整數(shù)倍，稱(chēng)之為移位互質(zhì)陣列如圖2。通過(guò)差集數(shù)組擴(kuò)展到虛擬域，當(dāng)M+N>7時(shí)，互質(zhì)陣列至少含有MN個(gè)虛擬陣元,其中2(M+N-1)+1個(gè)連續(xù)均勻虛擬陣元，移位互質(zhì)陣列至少含有MN+M-1個(gè)虛擬陣元，其中2(M+N-1)+2M個(gè)連續(xù)均勻虛擬陣元。在保證陣元個(gè)數(shù)不變的情況下，移位互質(zhì)陣列構(gòu)成的虛擬域中增加了陣元數(shù)量，提高陣列自由度。

圖1 互質(zhì)陣列

圖2 移位互質(zhì)陣列

假設(shè)目標(biāo)空間有K個(gè)目標(biāo)信號(hào)入射到移位互質(zhì)陣列上，入射信號(hào)方位角為θ=[θ1,θ2,…,θk]T，[·]T為轉(zhuǎn)置操作，則在t時(shí)刻接收信號(hào)的模型為

(1)

對(duì)于第k個(gè)入射信號(hào)的方向向量a(θk)可以表示為

(2)

(3)

式中pk為第k個(gè)入射信號(hào)的功率，E[·]為期望，(·)H為共軛轉(zhuǎn)置操作，理想?yún)f(xié)方差通常取采樣協(xié)方差進(jìn)行近似代替，則采樣協(xié)方差可由采樣快拍數(shù)據(jù)表示為

(4)

當(dāng)采樣快拍數(shù)在平穩(wěn)遍歷的情況下趨于無(wú)窮時(shí)，采樣協(xié)方差矩陣趨近于理想?yún)f(xié)方差矩陣，但是當(dāng)采樣快拍數(shù)受限時(shí)，二者之間的差異會(huì)影響DOA估計(jì)。

2 移位互質(zhì)陣列虛擬域孔洞填充

為了提升陣列自由度，現(xiàn)將互質(zhì)陣列和移位互質(zhì)陣列推廣至虛擬域如圖3、圖4。

圖3 M=3，N=5的簡(jiǎn)單互質(zhì)陣列的非均勻虛擬陣列

圖4 M=3，N=5的移位互質(zhì)陣列的非均勻虛擬陣列

虛擬陣列等價(jià)信號(hào)可以通過(guò)向量化接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣R得到

yv=vec(R)=Avp+σ2i

(5)

式中Av=[a*(θ1)?a(θ1),a*(θ2)?a(θ2),…,a*(θk)?a(θk)]∈C(M+N-1)2×K,p=[p1,p2,…,pk]T包含k個(gè)入射信號(hào)的功率，i=vec(I),?為克羅內(nèi)克積，vec(·)是對(duì)矩陣進(jìn)行向量化，(·)*為取共軛，Av對(duì)應(yīng)于虛擬陣列的導(dǎo)引向量。其中虛擬陣元位置可以定義為

V={ui-uj|，ui,uj∈S,i,j=0,1,…,M+N-1}

(6)

差集數(shù)組中有大量重復(fù)元素，非均勻虛擬陣列通過(guò)取差集數(shù)組中的唯一值得到：Sv?{±(Mn-Nm)|m=0,1,…,M-1,n=0,1,…,N-1}，對(duì)應(yīng)的等價(jià)虛擬信號(hào)通過(guò)選取yv中相對(duì)應(yīng)位置的元素獲得

(7)

一對(duì)m=3，n=5的互質(zhì)整數(shù)，物理陣元個(gè)數(shù)不變的情況下，互質(zhì)陣列包含21個(gè)陣元位置差，其中連續(xù)陣元位置差的范圍是[-7,7]，共有15個(gè)連續(xù)陣元位置差；移位互質(zhì)陣列包含23個(gè)陣元位置差，其中連續(xù)陣元位置差的范圍是[-10,10]，共有21個(gè)連續(xù)陣元位置差。移位互質(zhì)陣列使虛擬域中陣元個(gè)數(shù)增加，自由度提高。

以上虛擬陣列均存在若干缺失元素，如果將奈奎斯特采樣定理的統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理方法直接引入非均勻虛擬域中，將會(huì)引起信號(hào)模型失配[8]?，F(xiàn)有普遍做法是僅提取其中一段均勻連續(xù)虛擬陣列進(jìn)行信號(hào)處理，將非連續(xù)部分丟棄[9]，非連續(xù)部分虛擬陣元所包含的有效信息未得到充分利用，導(dǎo)致DOA估計(jì)性能出現(xiàn)一定的衰減。為了利用虛擬域的全部有效信息，本文使用矩陣填充的方法，主要針對(duì)數(shù)據(jù)缺失的情況下重建矩陣[10]，具體為在孔洞位置插入虛擬陣元，將內(nèi)插虛擬陣元視為未工作狀態(tài)的天線陣元，將其對(duì)應(yīng)的接受信號(hào)初始化為零，內(nèi)插虛擬陣列初始化為

(8)

因此,得到移位互質(zhì)陣列虛擬域連續(xù)的內(nèi)插虛擬陣列V如圖5，內(nèi)插虛擬陣列為包含2(M-1)N+2M+1個(gè)虛擬陣元的虛擬均勻線陣。其中有兩種虛擬陣元，一種是原始非連續(xù)虛擬陣元，一種是內(nèi)插虛擬陣元。內(nèi)插虛擬陣列的等價(jià)接收信號(hào)yI包含虛擬域的全部有效信息，可用于奈奎斯特采樣限制的統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理，式(8)中假設(shè)內(nèi)插虛擬位置初始信號(hào)為0，為了實(shí)現(xiàn)有效DOA估計(jì)，需要優(yōu)化方法恢復(fù)內(nèi)插虛擬陣元位置的信號(hào)。

圖5 移位互質(zhì)陣列虛擬內(nèi)插V

3 重構(gòu)算法

首先將理想狀態(tài)下內(nèi)插虛擬陣列等價(jià)接收信號(hào)表示為

yC=ACp

(9)

式中AC=[aC(θ1),aC(θ2),…,aC(θk)]∈C|V|×K為內(nèi)插虛擬陣列的導(dǎo)引矩陣。

將內(nèi)插虛擬陣列分成每份含L=(|V+1|)/2個(gè)子向量，則理想條件下內(nèi)插虛擬陣列等價(jià)接收信號(hào)向量可表示為Y={yc1,y2c,…,ycL}，為了進(jìn)行連續(xù)化參數(shù)表示，Y的原子集合可定義為

Ω={ac(θ)eH(θ)|θ∈[-90°,90°]}

(10)

式中e(θ)=[1,e-jπsin(θ),…,e-jπ(L-1)sin(θ)]T為L(zhǎng)個(gè)虛擬陣列和首個(gè)參考虛擬陣列之間的相位偏移，Y的原子范數(shù)表示為

‖Y‖=inf{h>0︰Y∈hconv(Ω)}

(11)

式中 conv(Ω)為原子集合的凸包，式(11)中是多采樣理想虛擬信號(hào)原子范數(shù)的定義，需要做到通過(guò)最少的個(gè)數(shù)的原子對(duì)Y進(jìn)行原子分解。內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣R(z)為T(mén)oeplitz矩陣，矩陣中的所有元素可以通過(guò)其首列構(gòu)造。因此，內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣R(z)的重構(gòu)可以轉(zhuǎn)化為首列向量z的重構(gòu)[11]。內(nèi)插協(xié)方差矩陣首列z與首個(gè)參考虛擬陣列yc1所對(duì)應(yīng)的等價(jià)接收信號(hào)相同，其原子范數(shù)可表示為

(12)

(13)

(14)

式中 〈·〉為向量中第l個(gè)元素。

通過(guò)最小化向量z原子范數(shù)的優(yōu)化來(lái)重構(gòu)內(nèi)插虛擬陣列的協(xié)方差矩陣。需要定義一個(gè)二值向量g∈RL區(qū)分參考矩陣中的原始陣元與內(nèi)插陣元，各元素值與參考虛擬陣列中的陣元一一對(duì)應(yīng)，原始陣元對(duì)應(yīng)的值為1，內(nèi)插陣元對(duì)應(yīng)的值為0。移位內(nèi)插虛擬虛陣列協(xié)方差矩陣Toeplitz重構(gòu)方法可表示為

subject to‖R(z)

(15)

式中G=ggT∈RL×L為構(gòu)造的二值矩陣，區(qū)分Rv中的內(nèi)插陣元初始化等價(jià)信號(hào)和原始非均勻陣列等價(jià)信號(hào)。為哈達(dá)馬積，‖·‖F(xiàn)為Frobenius范數(shù)，ε為閾值參數(shù)，用于約束擬合誤差。式(15)可用于凸優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解，等價(jià)表示形式為

subject toR(z)≥0

(16)

式中ξ為權(quán)衡原子范數(shù)和擬合誤差的正則化參數(shù)。同時(shí)原子范數(shù)最小化問(wèn)題可以進(jìn)一步表示成矩陣求跡最小化問(wèn)題

subject toR(z)≥0

(17)

μ=ξ/L通過(guò)內(nèi)點(diǎn)法可得到內(nèi)插虛擬陣列重建的協(xié)方差矩陣R(z)。

對(duì)移位互質(zhì)陣列內(nèi)插協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，由于信號(hào)子空間和噪聲子空間正交，可采用譜峰搜索進(jìn)行DOA估計(jì)。MUSIC算法的空間譜可以表示為

(18)

本文所提的移位互質(zhì)陣列虛擬陣元內(nèi)插的DOA估計(jì)算法流程。如下：

1)一對(duì)滿足互質(zhì)條件的均勻線陣；2)移位互質(zhì)陣列；3)通過(guò)式(4)求移位互質(zhì)陣列采樣協(xié)方差陣列；4)通過(guò)式(7)移位互質(zhì)陣列虛擬域等價(jià)接收信號(hào)；5)通過(guò)式(8)內(nèi)插虛擬陣列信號(hào)初始值；6)通過(guò)式(9)～式(12)對(duì)理想虛擬信號(hào)的研究，實(shí)現(xiàn)DOA估計(jì)連續(xù)參數(shù)表示；7)通過(guò)式(13)、式(14)構(gòu)建內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣的參考矩陣；8)通過(guò)式(15)～式(17)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，求重建的內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣；9)通過(guò)式(18)進(jìn)行譜峰搜索，獲得DOA估計(jì)值。

4 仿真實(shí)驗(yàn)

利用MATLAB仿真實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)算法性能，實(shí)驗(yàn)采用一對(duì)m=3,n=5的互質(zhì)整數(shù)。

實(shí)驗(yàn)1不同信源數(shù)算法的仿真性能

假設(shè)空間中有7個(gè)均勻分布于[-60,60]的信源，信噪比為20 dB，采樣快拍數(shù)為T(mén)=200，互質(zhì)陣列和移位互質(zhì)陣列均可以對(duì)7個(gè)信源進(jìn)行有效實(shí)現(xiàn)如圖6(a)；當(dāng)信源增加到10個(gè)時(shí)，互質(zhì)陣列空間譜估計(jì)存在信源缺失情況，移位互質(zhì)陣列可以對(duì)這10個(gè)均勻分布于[-45,45]的信號(hào)進(jìn)行有效估計(jì)如圖6(b)；通過(guò)本文算法，虛擬域連續(xù)陣元范圍是[-13,13]，從而可以對(duì)13個(gè)均勻分布于[-60,60]的信源有效實(shí)現(xiàn)如圖7。說(shuō)明虛擬陣列內(nèi)插能夠有效利用虛擬陣列所提供的全部陣列自由度。

圖6 自由度性能對(duì)比

圖7 虛擬內(nèi)插下的自由度性能

實(shí)驗(yàn)2 不同信噪比和快拍數(shù)下算法精度性能估計(jì)

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的估計(jì)精度，定義均方誤差數(shù)學(xué)表達(dá)式如下

(19)

式中K為波達(dá)方向個(gè)數(shù)，Q為蒙特—卡羅次數(shù)，θk,q為第q次蒙特—卡羅實(shí)驗(yàn)的第k個(gè)信號(hào)的估計(jì)角度，θk為第k個(gè)DOA。取Q=200的實(shí)驗(yàn)平均值為最終結(jié)果。本文算法對(duì)比于簡(jiǎn)單互質(zhì)陣列MUSIC算法和移位互質(zhì)陣列SS-MUSIC算法如圖8所示。根據(jù)仿真結(jié)果表明，隨著信噪比的不斷增大和快拍數(shù)的不斷增加，本文算法均方根誤差最小，因此本文算法性能優(yōu)于原互質(zhì)陣列算法和移位互質(zhì)陣列空間平滑算法。

圖8 算法精度估計(jì)性能對(duì)比

5 結(jié) 論

針對(duì)互質(zhì)陣列可估計(jì)信源數(shù)不足，自由度仍低的問(wèn)題。本文提出一種移位互質(zhì)陣列內(nèi)插虛擬陣列協(xié)方差矩陣無(wú)網(wǎng)格化重建算法，對(duì)互質(zhì)陣列進(jìn)行移位處理，明顯增加虛擬陣列陣元數(shù)量，提高陣列自由度；采用虛擬陣元內(nèi)插的方法，將非均勻虛擬陣列轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)均勻虛擬陣列，增大虛擬陣列孔徑；最后，通過(guò)對(duì)原子范數(shù)最小化的優(yōu)化設(shè)計(jì)和協(xié)方差矩陣稀疏重建來(lái)進(jìn)行DOA估計(jì)。仿真結(jié)果表明：本文算法將虛擬域信息全部有效用于DOA估計(jì)中，極大地獲得自由度的提高，并且無(wú)網(wǎng)格化重建算法使估計(jì)精度等性能也有較大提高。