趙 宇, 彭珍瑞

(蘭州交通大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730070)

0 引 言

有限元模型(finite element model,FEM)可以分析不同運營條件下結(jié)構(gòu)的行為。然而，有限元分析結(jié)果和實際結(jié)構(gòu)響應存在著差異。因此，對有限元模型進行修正，減小有限元模型與實際結(jié)構(gòu)之間的差異，提高有限元分析的精確性很有必要[1]。有限元模型修正(finite element model updating,FEMU)分為基于模態(tài)參數(shù)和頻響函數(shù)的模型修正方法。其中，基于頻響函數(shù)的方法不需要進行模態(tài)分析，直接使用振動測試所得的頻響函數(shù)矩陣，修正結(jié)果較為精確。

在模型修正的過程中需要重復調(diào)用有限元模型進行響應的計算，導致修正效率低下。代理模型(surrogate model,SM)能夠建立結(jié)構(gòu)參數(shù)與響應之間的隱式關(guān)系，替代有限元模型。響應面模型(response surface model,RSM)等在模型修正中得到應用[2～4]。極限學習機(extreme learning machine,ELM)作為一種基于單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(single-hidden layer feedforward neural networks,SLFNs)的快速學習算法，以其較快的學習速度和泛化能力引起了關(guān)注[5,6]。

FEMU問題可以歸結(jié)為非線性優(yōu)化問題。傳統(tǒng)的優(yōu)化方法計算量大，會陷入局部最優(yōu)。遺傳算法(genetic algorithm,GA)等智能優(yōu)化算法被引入模型修正[7,8]。鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm,WOA)是一種新型群體智能優(yōu)化算法，模擬自然界中鯨魚的群體捕食行為[9]。文獻[10]提出基于Lévy飛行的鯨魚優(yōu)化算法(Lévy flight based whale optimization algorithm,LWOA)。目前，ELM代理模型構(gòu)建及WOA在FEMU應用中鮮有見到。

本文利用改進的鯨魚優(yōu)化算法(modified whale optimization algorithm,MWOA)優(yōu)化ELM的輸入層權(quán)值及隱層節(jié)點閾值，將MWOA-ELM作為代理模型，建立修正參數(shù)與加速度頻響函數(shù)(acceleration frequency response function,AFRF)之間的關(guān)系，替代有限元模型。并以頻域準則構(gòu)建修正目標，結(jié)合MWOA獲取修正參數(shù)實現(xiàn)FEMU。

1 改進的鯨魚優(yōu)化算法

1.1 LWOA

LWOA是在基本W(wǎng)OA搜索機制中加入了Lévy飛行行為。LWOA通過以下幾種行為更新搜索代理(座頭鯨)位置捕獲獵物。

1)獵物包圍

X(t+1)=X*(t)-A·D

(1)

D=|C·X*(t)-X(t)|

(2)

式中A=2a·r-a;a=2-2t/tmax;C=2·r;r為[0,1]間的隨機向量；t為當前迭代次數(shù)；tmax為最大迭代次數(shù)；X(t)為當前位置向量；X*(t)為當前最優(yōu)解位置向量。

2)Bubble-net狩獵

(3)

式中D′=|X*(t)-X(t)|;b為定義對數(shù)螺旋線形狀的常量；l為[-1,1]間的隨機數(shù)；p為[0,1]間的隨機數(shù)。

3)獵物搜索

X(t+1)=Xr(t)-A·D

(4)

D=|C·Xr(t)-X(t)|

(5)

式中Xr(t)為隨機搜索位置向量。

4)Lévy飛行策略

X(t+1)=X(t)+α0(X(t)-X*(t))⊕Levy

(6)

1.2 MWOA

1)Gauss混沌初始化策略

為提高算法求解效率，采用Gauss混沌初始化策略產(chǎn)生混沌初始種群

(7)

2)非線性調(diào)整策略

為加快算法收斂速度，加入非線性收斂策略

(8)

3)自適應權(quán)重系數(shù)

(9)

(10)

(11)

2 優(yōu)化ELM模型建立

2.1 ELM模型

ELM包含輸入層、隱含層和輸出層。給定N組訓練樣本集(xi,ti)，xi=[xi1,xi2,…,xin]T∈Rn，ti=[ti1,ti2,…,tim]T∈Rm，則網(wǎng)絡輸出

(12)

式中L為隱含層節(jié)點數(shù)；wi為輸入層節(jié)點與第i個隱含層節(jié)點間的權(quán)值向量；βi為第i個隱含層節(jié)點與輸出層節(jié)點間的權(quán)值向量；bi為第i個隱含層節(jié)點的閾值；g(·)為激活函數(shù)。

式(12)可表示為矩陣形式

Hβ=T

(13)

則有隱含層輸出矩陣

(14)

式中β=[β1,β2,…,βL]T為輸出權(quán)值矩陣；T=[t1,t2,…,tN]T為目標矩陣。

由文獻[5]得到式(13)的最小二乘解

(15)

式中H+為隱含層輸出矩陣H的Moore-Penrose廣義逆。

2.2 MWOA優(yōu)化ELM模型

采用MWOA優(yōu)化ELM輸入層權(quán)值和隱含層節(jié)點閾值。將ELM輸入層權(quán)值w和隱含層節(jié)點閾值b作為MWOA每一條座頭鯨，以ELM樣本集期望輸出與實際輸出的均方根誤差(root mean square error,RMSE)為適應度函數(shù)，通過更新搜索代理位置，得到優(yōu)化后的輸入權(quán)值和閾值。

3 頻響函數(shù)與頻域準則

3.1 頻響函數(shù)

對于多自由度阻尼系統(tǒng)，加速度頻響函數(shù)

(16)

式中M,C和K分別為n×n維質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；ω為激勵頻率。

3.2 頻域準則及目標函數(shù)

通過頻率響應置信準則(frequency response assurance criterion,FRAC)和頻率幅值置信準則(frequency amplitude assurance criterion,FAAC)衡量有限元模型與實際結(jié)構(gòu)AFRF之間的相關(guān)程度

FRACj=

(17)

FAACj=

(18)

式中 {HX(ωi)}j和{HA(ωi)}j分別為第j個自由度頻率ωi上的試驗和有限元模型AFRF向量；FRAC∈[0,1]；FAAC∈[0,1]。

使用MWOA-ELM預測AFRF向量替代{HA(ωi)}j。以MWOA-ELM模型與試驗AFRF頻域準則為目標函數(shù)

(19)

式中w1和w2為權(quán)重，w1+w2=1。

4 數(shù)值算例

采用圖1所示的平面桁架，材料彈性模量E=210 GPa，材料密度ρ=7 850 kg/m3。利用ANSYS建立有限元模型，桁架有26個節(jié)點和49個桿件單元。除節(jié)點1和節(jié)點25外，每個節(jié)點有x,y方向2個平動自由度，共49個自由度。

圖1 平面桁架

4.1 參數(shù)靈敏度分析

結(jié)構(gòu)在服役時剛度會降低，剛度與彈性模量和截面尺寸相關(guān)，一般截面尺寸保持不變[8]。通過降低彈性模量來模擬“試驗”值。激勵點和測點分別選取在節(jié)點19,節(jié)點4的豎向自由度上。對桿件的彈性模量擾動2%，結(jié)構(gòu)AFRF對參數(shù)的靈敏度如圖2所示。

圖2 桁架響應對參數(shù)的靈敏度

選取靈敏度最高的E15,E32,E34作為待修正參數(shù)，將E15，E32，E34的初始有限元值降低15%模擬“試驗”值，試驗值E=178.5 GPa。

4.2 MWOA-ELM模型建立與檢驗

采用拉丁超立方抽樣(Latin hypercube sampling,LHS)，對3個待修正參數(shù)抽樣100組，并代入式(16)計算AFRF。以待修正參數(shù)為樣本輸入，AFRF為輸出，建立MWOA-ELM模型。激活函數(shù)為Sigmoid函數(shù)，隱含層節(jié)點數(shù)為60。鯨魚數(shù)量為20，最大迭代次數(shù)為100。利用MATLAB編程，程序運行20次，求其平均值。WOA，LWOA及MWOA優(yōu)化ELM適應度值迭代曲線如圖3所示。

圖3 優(yōu)化ELM適應度值迭代曲線

從圖3可知，與WOA，LWOA相比，MWOA迭代速度快，計算精度高。模型的有效性通過RMSE和決定系數(shù)R2評價。RMSE趨于0，R2趨于1，意味著模型具有較好的精度。ELM及優(yōu)化ELM模型預測RMSE值如圖4所示。從圖4可知，優(yōu)化后的ELM模型，其RMSE值均有所減小。其中，MWOA-ELM模型的RMSE值最小，RMSE均值為3.098×10-6，R2為1。

圖4 ELM及優(yōu)化ELM預測RMSE值

4.3 待修正參數(shù)MWOA優(yōu)化

建立MWOA-ELM模型，采用MWOA求解式(19)。并將修正結(jié)果與GA方法進行對比。權(quán)重值取為0.5，種群大小為50，最大迭代次數(shù)為200。設(shè)定GA參數(shù)：交叉概率0.9，變異概率0.1。同時，考慮到噪聲對試驗值的影響，此處對試驗頻響函數(shù)加入3 %的噪聲。修正后的參數(shù)值對比如表1所示。由表1可知，基于MWOA-ELM的模型修正方法較GA方法可以獲得較為準確的修正結(jié)果。在考慮測量噪聲時，修正結(jié)果誤差最大值從15 %降到1 %以內(nèi)。不考慮測量噪聲時，誤差最大值為0.003 2 %。修正后的加速度頻響函數(shù)如圖5所示。從圖5可以看出，MWOA-ELM模型修正后的AFRF與試驗值有很好的吻合。

表1 修正后結(jié)果對比

圖5 修正后模型、試驗模型及有限元模型頻響函數(shù)

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于AFRF頻域準則的模型修正方法，將MWOA-ELM模型用于結(jié)構(gòu)FEMU中。MWOA較原有WOA,LWOA，尋優(yōu)效率得到了顯著提升。所建MWOA-ELM模型預測效果更好。修正結(jié)果相較于GA，尋優(yōu)精度高。算例結(jié)果表明，在3 %噪聲下修正后的參數(shù)誤差控制在1 %以內(nèi)。有效驗證了MWOA-ELM作為代理模型在FEMU中的應用可行性。