俞智慧,張慧慧

(上饒師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西 上饒 334001)

1 引言及主要結(jié)論

分?jǐn)?shù)次積分算子在調(diào)和分析領(lǐng)域扮演著重要的角色,此類(lèi)算子在微分方程,Sobolev嵌入定理等方面有著重要的應(yīng)用。1999年,Kenig和Stein[1]研究了一類(lèi)多線性分?jǐn)?shù)次積分算子并且得到了這類(lèi)算子在乘積Lp空間中的有界性。

與此同時(shí),積分算子的加權(quán)理論也引起了數(shù)學(xué)工作者的極大重視。上世紀(jì)70年代,Muckenhoupt和Wheeden[2－3]分別引入了Ap和A(p,q)權(quán)函數(shù)類(lèi)并且證明了奇異積分與分?jǐn)?shù)次積分的加權(quán)模不等式。

Chen和Xue[4]中引入了一類(lèi)多線性矢量權(quán)函數(shù)類(lèi)AP→,q權(quán)函數(shù)類(lèi)并且證明了多線性分?jǐn)?shù)次積分算子的加權(quán)模不等式。接下來(lái)給出AP→,q權(quán)函數(shù)類(lèi)的定義。

定義1.1[4]令其中wi均為Rn中的非負(fù)可積函數(shù)。如果下列條件成立:

積分算子交換子作為調(diào)和分析領(lǐng)域的一類(lèi)重要算子,其在偏微分方程領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。讀者可以參

見(jiàn)[5]等文獻(xiàn)。2001年,Ding[6]研究了如下一類(lèi)分?jǐn)?shù)次積分算子廣義交換子并且Ω為一個(gè)零次齊次函數(shù)。這里Rm(A;x,y)的定義為:

顯然當(dāng)m＝1時(shí),算子即為Chanillo于1982年在文獻(xiàn)[5]中研究的分?jǐn)?shù)次積分算子交換子,因此可以看成是經(jīng)典分?jǐn)?shù)次積分算子交換子的推廣。

1938年,Morrey[7]引入了如下一類(lèi)以其名字命名的Morrey空間Mp,λ(Rn)(0≤λ＜n,1≤p＜∞):

Morrey空間引起了數(shù)學(xué)工作者的極大興趣并且也對(duì)此類(lèi)空間做了推廣。Guliyev[8]研究了如下一類(lèi)廣義加權(quán)Morrey空間:

定義1.2[8]假設(shè)φ(x,r)為Rn×(0,∞)上的一個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)。如果一個(gè)非負(fù)局部Lp(p≥1)可積函數(shù)f滿(mǎn)足:

則稱(chēng)f屬于廣義加權(quán)Morrey空間

受到上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文將研究如下一類(lèi)具有粗糙核的多線性算子廣義交換子,其定義為:

其中0＜α＜mn,Ni≥2,Ωi∈Ls(Sn－1)(s＞1)。

本文主要結(jié)果如下:

引理1.2 顯然,定理1.1推廣了文獻(xiàn)[8－10]中的主要結(jié)論。

2 主要引理

引理2.1[11]假設(shè)b的m階導(dǎo)數(shù)屬于空間,則有:

3 主要的證明

故可得:

接下來(lái)估計(jì)Ii。利用Holder不等式,可得:

所以有:

于是有:

接下來(lái)估計(jì)IIij,可將IIij分解為:

令:

分解其為:

接下來(lái)利用文獻(xiàn)[9]中的相關(guān)估計(jì),可得:

綜合A1和A2的估計(jì),有:

根據(jù)上述估計(jì)以及類(lèi)似于Ii的估計(jì)過(guò)程,可得:

再次使用引理2.3,有:

分析II的估計(jì)過(guò)程,易得:

再次利用(3),有:

即:

根據(jù)(4)～(6),有:

最后,根據(jù)引理2.3,可得:

根據(jù)條件(1),以及文獻(xiàn)[10]中的相關(guān)證明方法與估計(jì),可以通過(guò)(7)得到(2),故定理1得證。