楊興宇, 黃斌, 徐義紅

(南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系, 江西 南昌 330031)

1.引言

集值優(yōu)化是向量?jī)?yōu)化的一種推廣, 近年來(lái), 由于集值優(yōu)化問(wèn)題在數(shù)學(xué)金融、模糊優(yōu)化、福利經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域的應(yīng)用, 它已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)蓬勃發(fā)展的分支[1-7].向量準(zhǔn)則和集合準(zhǔn)則是求解集值優(yōu)化問(wèn)題的兩個(gè)著名準(zhǔn)則.向量準(zhǔn)則只依賴于像集的單個(gè)元素, 而由Kuroiwa[8]提出的集合準(zhǔn)則則依賴于像集的每一個(gè)元素, 因?yàn)樗婕暗较窦闹苯颖容^.Kuroiwa等[9]引入了集合的六種序關(guān)系.后來(lái), Jahn和Ha[10]定義了新的序關(guān)系, 并給出了一些性質(zhì).Karaman等[11]還在Minkowski差的基:上引入了偏序集合關(guān)系.

在實(shí)際應(yīng)用中, 我們所建立的數(shù)學(xué)模型往往不夠精確, 會(huì)忽略次要因素, 且算法通常生成近似解, 因此我們得到的解通常是近似解而不是精確解.Kutateladze[12]提出的近似解在最優(yōu)化理論中起著十分重要的作用.文[13-15]中, 幾位作者研究了向量?jī)?yōu)化問(wèn)題近似解的不同概念.Dhingra和Lalitha[16]基于向量和集合準(zhǔn)則方法, 引入了集值優(yōu)化問(wèn)題的近似弱有效解的若干概念.在集合逼近的情況下, 利用集合的上下擬序關(guān)系引入了兩個(gè)近似弱有效解的概念,并進(jìn)一步討論了這些近似解的緊性和穩(wěn)定性.Meenakshi Gupta[17]針對(duì)約束集優(yōu)化問(wèn)題, 基于Karaman等提出的集序關(guān)系, 定義了一個(gè)新的近似弱最小解的概念, 得到了最小解集閉性的充分條件; 利用Painlev-Kuratowski收斂性, 討論了近似弱最小解集的穩(wěn)定性問(wèn)題.

本文擬借Minkowski差引進(jìn)集優(yōu)化問(wèn)題的一類近似Benson真有效解的概念, 并利用非線性泛函建立最優(yōu)化條件.

2.基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)X、Y和Z為實(shí)賦范線性空間,C是Y中的閉凸點(diǎn)錐且int?,D是Z中的點(diǎn)凸錐.用P(Y)表示Y的非空子集族.用B(0,ε)表示以原點(diǎn)為中心, 以ε為半徑的開(kāi)球.

設(shè)P和Q是P(Y)中任意集合.Minkowski差定義為

命題2.1[20]若P,Q ∈P(Y)且c ∈Y, 則

定義2.1[3]設(shè)元素x0∈X, 集值映射Ψ:X →2Y.

(i) 若對(duì)Y中任意包含Ψ(x0)的開(kāi)集W, 都存在一個(gè)x0的鄰域Nx0, 使得對(duì)于任意的x ∈Nx0,都有Ψ(x)?W, 則稱Ψ在x0是上半連續(xù)的;

(ii) 若對(duì)于graphΨ中滿足xn收斂于x0的每個(gè)序列(xn,yn), 都存在子序列(ynk)和y0∈Ψ(x0), 使得(ynk)收斂于y0, 則稱Ψ在x0是緊的.

若映射Ψ在T上每一點(diǎn)都是上半連續(xù)(緊)的, 則稱Ψ在T ?X上是上半連續(xù)的(緊)的.

命題2.2[3]設(shè)x0∈T, 且Ψ:X →2Y是集值映射.則Ψ在x0是緊的當(dāng)且僅當(dāng)Ψ(x0)是緊的,并且Ψ在x0是上半連續(xù)的.

3.近似Benson真有效解

考慮集值映射F:X →2Y和非空集合?設(shè)對(duì)任意的x ∈X, 有F(x)∈P(Y).

設(shè)ε為非負(fù)實(shí)數(shù),e ∈intC.考慮集優(yōu)化問(wèn)題

(PC) minF(x) s.t.x ∈T.

下面引入s-Benson真有效解和近似s-Benson真有效解的定義.

定義3.1設(shè)x0∈T,

(i)如果對(duì)于任意的x ∈T,都有clcone(C+F(x)F(x0))∩(-C)={0},則稱x0是(PC)的s-Benson真有效解, s-Benson真有效解集記為s-Ben(F,T,C);

(ii) 如果對(duì)于任意的x ∈ T, 都有clcone(εe+C+F(x)F(x0))∩(-C) ={0}, 則稱x0是(PC)的ε-s-Benson真有效解,ε-s-Benson真有效解集記為ε-s-Ben(F,T,C).

注3.1如果ε=0, 則ε-s-Benson真有效解變?yōu)閟-Benson真有效解.

定理3.1對(duì)于任意的ε≥0, 有s-Ben(F,T,C)?ε-s-Ben(F,T,C).

證若ε=0, 則s-Ben(F,T,C)?ε-s-Ben(F,T,C)顯然成立.

設(shè)ε ＞0, 且x0∈s-Ben(F,T,C).由定義知

又因?yàn)閑 ∈intC, 所以

因此,

顯然0∈clcone(εe+C+F(x)F(x0))∩(-C), 所以

得證.

因此,

所以ε-s-Ben(F,T,C)是閉的.

下面舉例說(shuō)明定理3.2中F的開(kāi)性和上半連續(xù)性不能去掉.

例3.2設(shè)ε=0.1,Y=R2,C=,e=(1,1),X=R,T=[0,2].

(i) 考慮F:T →2Y定義為

于是,T是閉的,F在T上是開(kāi)值的, 但F在x= 0和x= 1處不是上半連續(xù)的.易求得ε-s-Ben(F,T,C)=(0,1), 不是閉的.

(ii) 考慮F:T →2Y定義為

于是,T是閉的,F在T上是上半連續(xù)的, 但F在T上不是開(kāi)值的.易求得ε-s-Ben(F,T,C) ={0}∪(1,2], 不是閉的.

4.無(wú)約束優(yōu)化的近似Benson真有效解的非線性刻畫(huà)

接下來(lái), 我們討論無(wú)約束集優(yōu)化問(wèn)題的ε-s-Benson真有效解的非線性刻畫(huà).

也就是ξ(x1)≤ξ(x2).

下面舉例解釋上述定理.

5.帶約束優(yōu)化的近似Benson真有效解的非線性刻畫(huà)

接下來(lái), 我們討論帶約束集優(yōu)化問(wèn)題的ε-s-Benson真有效解的非線性刻畫(huà).

6.結(jié)論

借助Minkowski差引進(jìn)了一類Benson真有效解和近似Benson真有效解的概念, 討論了它們之間的關(guān)系.當(dāng)可行域是閉集且目標(biāo)函數(shù)是上半連續(xù)且開(kāi)值時(shí), 證明了近似Benson真有效解集是閉的.給出了集優(yōu)化問(wèn)題取得ε-s-Benson真有效解的必要條件.特別地, 當(dāng)ε= 0時(shí)得到s-Benson真有效解的若干刻畫(huà).