付曉慧 李彥哲

(1.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣西 南寧 530004;2.廣西大學(xué)廣西數(shù)學(xué)研究中心, 廣西 南寧 530004)

1.引言

擬對稱映射是一類重要的映射, 它比雙Lipschitz映射更廣泛, 與雙Lipschitz映射最本質(zhì)的區(qū)別是它可以改變分形維數(shù), 擬對稱極小集是關(guān)于擬對稱映射如何影響和改變分形集合的分形維數(shù)這個課題的一個重點研究對象.關(guān)于擬對稱Hausdorff極小性, 國內(nèi)外學(xué)者得到了大量的經(jīng)典結(jié)果.[1-9]相比較擬對稱Hausdorff極小性, 關(guān)于擬對稱packing極小性的結(jié)論就要少一些, 主要的結(jié)論都是在實直線上, 特別是Moran集上完成的.Kovalev[4]證明了實直線上擬對稱packing極小集的packing維數(shù)要么為0, 要么為1; LI、WU和XI[10]證明了實直線上兩類特殊的packing維數(shù)為1的Moran集是擬對稱packing極小集; WANG, WEN[8]證明了所有packing維數(shù)為1的齊次Cantor集是擬對稱packing極小集; YANG, WU和LI[9]將文[8]中的結(jié)果推廣到一類packing維數(shù)為1的齊次完全集上.

本文利用質(zhì)量分布原理, 證明了實直線上一類特殊的Moran集為擬對稱packing極小集, 在一定條件下推廣了文[10]的結(jié)果.

本文在第二節(jié)介紹一些預(yù)備知識, 包括擬對稱映射、Moran集與遞減Moran集的定義; 第三節(jié)給出本文的主要結(jié)果; 第四節(jié)對主要結(jié)果進行了證明.

2.預(yù)備知識

定義2.1[11](擬對稱映射) 設(shè)X,Y為兩個度量空間, 稱同胚f:X →Y為(η- )擬對稱映射.若存在一個同胚η:[0,∞)→[0,∞)使得對X中任意三個不同的點a,b,x都有

如果X=Y= Rn, 則稱f為n維擬對稱映射.對于集合E ?Rn, 如果對于任意n維擬對稱映射f,都有dimHf(E)≥dimHE(dimPf(E)≥dimPE),則稱E具有擬對稱Hausdorff(packing)極小性, 稱E為擬對稱Hausdorff(packing)極小集.

本文研究Moran集的擬對稱極小性, Moran集是一類重要的分形集, 被國內(nèi)外分形幾何學(xué)者廣泛研究, 下面給出Moran集的定義.

令Fk={Iσ:σ ∈Ωk}, 則F=k≥0Fk={Iσ:σ ∈Ω}, 稱Fk中的元素Iσ為E的k階基本區(qū)間.

注2.1不失一般性, 本文總假設(shè)對?k ≥1,σ ∈Ωk-1, 閉區(qū)間Iσ*1,Iσ*2,··· ,Iσ*nk是從左往右排列的.

對Moran集的基本區(qū)間長度做一定的要求, 可以定義遞減Moran集.

定義2.3[13](遞減Moran集) 設(shè)E ∈M(I,{nk},{ck,j}), 如果存在正整數(shù)a使得對任意k ≥1都有k+a階基本區(qū)間的長度小于k階基本區(qū)間的長度, 則稱E為遞減Moran集.

注2.2齊次Moran集[12]是滿足a=1的遞減Moran集.

關(guān)于Moran集更多經(jīng)典結(jié)論見文[14-16].

3.主要結(jié)果

從而若E為滿足c* ＞0和dimP E= 1的遞減Moran集, 則由定理3.1得到對任意1維擬對稱映射f都有dimP f(E)=1.由上面的討論知定理3.1在遞減Moran集的條件下推廣了文[10]中定理2的結(jié)論.

4.主要結(jié)果的證明

定理3.1證明的關(guān)鍵是用質(zhì)量分布原理對支撐在擬對稱映射像集上的概率測度做估計, 質(zhì)量分布原理如下.

為了使用質(zhì)量分布原理來估計擬對稱映射像集的packing維數(shù), 需要定義一個支撐在擬對稱映射像集上的概率測度μd, 下面定義μd并利用引理對其做估計.

設(shè)E ∈M(I,{nk},{ck,j}),Iσ為E的k階基本區(qū)間.由f是同胚映射知f(Iσ)是R的一個區(qū)間.類似地, 也稱f(Iσ)為f(E)的k階基本區(qū)間.令Jσ=f(Iσ).

固定d ∈(0,1), 定義μd(f([0,1]))=1, 對任意k ≥1,f(E)的任意基本區(qū)間Jσ(σ ∈Ωk), 定義

由測度擴張定理知,μd可唯一擴張成支撐在f(E)上的概率測度.

設(shè)k ＞1,σ ∈Ωk-1, 記

當(dāng)σ=φ時, 記

下面4個引理來源于文[10], 在后面的證明中將會被使用到.

其中λ,p,q是引理4.2中的常數(shù),α2是依賴于f,nk的常數(shù).

對?k ≥1, 令

根據(jù)引理4.6可得

從而要證明(4.5), 只需證當(dāng)t →∞時, I→0, II→0, 且III→0.

由引理4.7結(jié)論(B)知, 當(dāng)t →∞時

由引理4.7結(jié)論(A)知, 當(dāng)t →∞時

由引理4.7結(jié)論(C)知, 當(dāng)t →∞時

在醇類燃料中氧分含量較高，因此，燃燒更加充分，燃燒的效率也更高，另外在燃燒過程中不會出現(xiàn)大量排放一氧化碳的狀況，但是甲醇本身具有較大的危害性，同時還有腐蝕性，故而甲醇汽車在現(xiàn)階段很難得到廣泛的應(yīng)用。

其中第二個不等號利用了不等式log(1-t)≥-2t對任意t ∈[0,1/2)成立.

由(4.6), (4.7)和(4.8)可得(4.5)成立, 從而完成了引理4.8的證明.

利用引理4.8可得到下面這個重要命題.

命題4.1設(shè)E ∈M(I,{nk},{ck,j})為滿足supk{nk} ＜+∞的遞減Moran集, 且存在常數(shù)α ∈(0,1)和滿足=s*的子序列{kt}t≥1, 使得

成立.若s*=1, 則對于任意1維擬對稱映射f, 都有dimP f(E)=1.

證任取x ∈f(E).?k ≥1, 令Jk表示滿足x ∈Jk的f(E)的k階基本區(qū)間, 則J1?J2?J3?···.由于E為遞減Moran集, 從而存在正整數(shù)a使得對?k ≥1, 都有k+a階的基本區(qū)間長度小于k階的基本區(qū)間長度.令P=min{t:kt ＞2a-1},Tt=t+1-P.

對?k ≥1, 用Mk,i(i= 1,2,··· ,Nk)表示E的k階基本區(qū)間的長度, 其中Nk=n1n2···nk,注意到gx(α)=|f-1(B(x,α))|是連續(xù)映射, 所以存在序列{rTt}t≥P, 使得

從而

所以f-1(B(x,rTt))與E的kt-2a-1階基本區(qū)間至多相交2個, 這意味著f-1(B(x,rTt))與E的kt階基本區(qū)間至多相交2(supknk)2a-1個, 即B(x,rTt)與f(E)的kt階基本區(qū)間至多相交2(supknk)2a-1個.

記與B(x,rTt)相交的f(E)的kt階基本區(qū)間為則

由引理4.8得

注意到對?1≤i ≤h都有

從而有

其中3f-1(B(x,rTt))是與f-1(B(x,rTt))同心、長度為3|f-1(B(x,rTt))|的區(qū)間.由引理4.2得

其中K ＞0為常數(shù).聯(lián)立(4.9)可得

注意到當(dāng)t →∞時,rTt →0.所以對?x ∈f(E), 存在常數(shù)C ＞0, 使得

由引理4.1和(4.11)可得

再由d的任意性得到dimPf(E)=1.

有了命題4.1, 就可以快速完成定理3.1的證明.

定理3.1的證明設(shè)E ∈M(I,{nk},{ck,j})為滿足定理3.1的條件的遞減Moran集, 則E顯然滿足命題4.1的條件.又因為從而若dimPE= 1, 則由引理4.3可得s*= 1,這樣由命題4.1就可以得到, 對于任意1維擬對稱映射f, 都有dimPf(E)=1.