孫歆, 段譽(yù), 鄧慧琳

(貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院, 貴州 畢節(jié) 551700)

1.引言

近年來(lái)如下Kirchhoff型方程

解的存在性和多解性引起眾多學(xué)者的興趣, 眾多關(guān)于非線性項(xiàng)g在無(wú)窮遠(yuǎn)處的可解性條件被陸續(xù)給出, 如超線性條件[1-9]; 漸進(jìn)線性條件[10-14]; 次線性條件[15-17].據(jù)了解, 當(dāng)非線性項(xiàng)g是由線性有界項(xiàng)和次線性項(xiàng)組成的混合非線性項(xiàng)時(shí)上述問(wèn)題的三個(gè)非平凡解的存在性研究暫時(shí)還沒(méi)有結(jié)果.本文的主要目的是考慮如下帶有組合非線性項(xiàng)的Kirchhoff型方程

其中λ ＞0是一個(gè)參數(shù),N ≥3, 1＜s ＜2.當(dāng)非線性項(xiàng)f在滿足比漸進(jìn)線性條件更弱的線性有界條件下, 利用變分法給出了問(wèn)題(1.1)解的多解性結(jié)果, 并討論了次線性非線性項(xiàng)對(duì)問(wèn)題(1.1)解的多重性的具體影響.針對(duì)V,K,f, 本文做如下假設(shè):

若問(wèn)題(1.1)無(wú)次線性項(xiàng)K(x)|u|s-2u, 本文第一個(gè)結(jié)果如下:

注1.2雖然文[13-14]也考慮了Kirchhoff型方程(1.1)三個(gè)非平凡解的存在性問(wèn)題, 但是本文在非線性項(xiàng)滿足更弱的條件下獲得了同樣的結(jié)論并且還研究了一列負(fù)能量解的多重性問(wèn)題.因此, 本文的結(jié)論可看作是上述已有文獻(xiàn)的相關(guān)結(jié)果的推廣和補(bǔ)充.

注1.3定理1.2和定理1.3給出了凹項(xiàng)非線性項(xiàng)K(x)|u|s-2u對(duì)問(wèn)題(1.1)解的多重性的具體影響.

2.預(yù)備知識(shí)

顯然在條件(V)下, 對(duì)任意的2≤p ≤2*, 嵌入映射(R3)是連續(xù)的, 故存在Sp ＞0,使得

‖u‖p ≤Sp‖u‖ ?u ∈H.

問(wèn)題(1.1)所對(duì)應(yīng)的能量泛函定義如下：

引理2.1[18]假設(shè)X是一個(gè)Banach空間,I ∈C1(X,R)是偶泛函、下方有界且滿足(PS)條件,I(0)=0.若對(duì)任意的k ∈N, 存在有限維子空間Xk及ρk ＞0使得

其中Sρ={u ∈X:‖u‖=ρ}, 則I有一列臨界值ck ＜0且滿足ck →0,k →∞.

3.主要結(jié)果的證明

為了證明定理1.1-1.3, 下面給出幾個(gè)引理.

引理3.1假設(shè)(V), (K1)及(F3)(或(V)及(F3))成立, 則Jλ(u)(或Iλ(u))在H中是下方有界的.

證由(F3)知, 對(duì)任意的(x,t)∈RN ×R

由條件(3.1)及Sobolev不等式知, 對(duì)任意的u ∈H

因此結(jié)合條件(K1)知

這意味著：在空間H中, 泛函Jλ(u)是強(qiáng)制的.故在空間H中,Jλ是下方有界的.顯然,Iλ(u))在H中也是下方有界的.

引理3.2假設(shè)(V), (F1)及(F3)-(F4)成立, 則泛函Iλ(u)滿足如下山路結(jié)構(gòu)：

(i) 存在α ＞0,ρ ＞0使得0;

(ii) 存在λ* ＞0及e ∈H滿足‖e‖＞ρ使得對(duì)任意的λ ∈(0,λ*),Iλ(e)＜0.

證(i) 由(F1)知, 對(duì)充分小的ε ＞0, 存在δ=δ(ε)＞0使得對(duì)任意的|t|≤δ,x ∈RN,

故結(jié)合Fatou引理知

及

其中C1＞0是某個(gè)與R無(wú)關(guān)的常數(shù).類似于文[19]中引理3.4的證明知, 對(duì)任意的ε ＞0, 存在n(ε)＞0,R1(ε)＞R0使得當(dāng)n ≥n(ε),R ≥R1(ε)時(shí)分別有

故根據(jù)條件(3.7) 得

由(3.13)知,

由于

即

〈un,un-u〉→0, n →∞.

易知〈u,un-u〉→0, n →∞.故〈un-u,un-u〉→0, n →∞.即un →u.

引理3.5假設(shè)(V)及(F1)-(F3)成立, 則泛函Iλ(u)滿足(PS)條件.

證同引理3.4的證明過(guò)程, 略去證明.

定理1.1的證明下面分三步證明此定理.

1) 證明問(wèn)題(1.1)存在一個(gè)具有正能量的山路解.由引理3.2知,Iλ具有山路結(jié)構(gòu); 再由引理3.5知,Iλ滿足(PS)條件.故由山路定理(見(jiàn)文[20]中的定理2.2) 知, 問(wèn)題(1.1)存在一個(gè)非平凡解u ∈H且Iλ(u)＞0.

2) 證明問(wèn)題(1.1)存在一個(gè)具有負(fù)能量的全局極小解.由引理3.1知, 在空間H中,Iλ是下方有界的, 故可定義其下確界如下:cλ:=Iλ; 由引理3.2知,cλ ＜0; 再由引理3.5知,Iλ滿足(PS)條件.故由文[20]中的定理2.7知,cλ是泛函Iλ的一個(gè)臨界值.即, 存在v ∈H滿足Iλ(v)=cλ ＜0使得v是泛函Iλ的一個(gè)非零臨界點(diǎn).因此, 問(wèn)題(1.1)存在一個(gè)負(fù)能量的全局極小解.

3) 證明當(dāng)參數(shù)λ充分大時(shí), 問(wèn)題(1.1)無(wú)非平凡解.由于此證明過(guò)程類似于文[12]中定理1的相關(guān)結(jié)論的證明, 故在此略去證明過(guò)程.

定理1.2的證明下面分四步證明此定理.

1) 證明問(wèn)題(1.1)存在一個(gè)具有正能量的山路解.由引理3.3知,Jλ具有山路結(jié)構(gòu); 再由引理3.4知,Jλ滿足(PS)條件.故由山路定理(見(jiàn)文[20]中的定理2.2)知, 問(wèn)題(1.1)存在一個(gè)非平凡解u1∈H且Jλ(u1)＞0.

2) 證明問(wèn)題(1.1)存在一個(gè)具有負(fù)能量的全局極小解.由引理3.1知, 在空間H中,Jλ是下方有界的, 故可定義其下確界如下:dλ:=Jλ; 由引理3.3知,dλ ＜0; 再由引理3.4知,Jλ滿足(PS)條件.故由文[20]中的定理2.7知,dλ是泛函Jλ的一個(gè)臨界值.即, 存在u2∈H滿足Jλ(u2)=dλ ＜0使得u2是泛函Jλ的一個(gè)非零臨界點(diǎn).因此, 問(wèn)題(1.1)存在一個(gè)負(fù)能量的全局極小解.

因此

定理1.3的證明由(F5)知,Jλ是偶泛函.由引理3.1知, 在空間H中,Jλ是下方有界的, 再由引理3.4知,Jλ滿足(PS)條件.由引理2.1知, 下面只需證明存在有限維子空間Xk及ρk ＞0使得