相中啟, 肖祥春

(1.新余學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院, 江西 新余 338004;2.廈門理工學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 福建 廈門 361024)

1.引言

1952年, Duffin和Schaeffer[1]正式定義了框架的概念.1986年, Daubechies等[2]發(fā)現(xiàn)了框架理論和小波理論之間的密切聯(lián)系, 自此框架開始成為研究的熱點(diǎn).因許多好的性質(zhì), 目前框架已在量子力學(xué)、抽樣理論、聲學(xué)、信號(hào)處理等諸多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.

另一方面, 框架概念被類比到了HilbertC*-模的情形[3], 這為我們提供了框架理論研究的新途徑.值得注意的是, 由于C*-代數(shù)的復(fù)雜性以及HilbertC*-模與Hilbert空間的本質(zhì)差異,致使HilbertC*-模中的框架問題要遠(yuǎn)比Hilbert空間來得復(fù)雜.此外, 已有研究表明, HilbertC*-模理論與小波特別是框架理論在許多方面都有著緊密的聯(lián)系, 這促使越來越多的學(xué)者將關(guān)注點(diǎn)投向HilbertC*-模中框架的研究[4-7].

作為框架的拓廣,K-框架的概念最早出現(xiàn)在關(guān)于算子的原子分解的工作中[8].因與框架在許多性質(zhì)上的顯著差異性以及潛在的重要應(yīng)用,K-框架已得到了國內(nèi)外眾多學(xué)者廣泛而深入的研究[9-11].最近, 文[12]將K-框架的概念推廣到了HilbertC*-模中并研究了K-框架在新的架構(gòu)下的一些性質(zhì).

在研究信號(hào)重構(gòu)的有效算法時(shí), Balan等[13]發(fā)現(xiàn)了著名的Parseval框架恒等式.在對(duì)這些恒等式做進(jìn)一步研究時(shí), 他們得到了Parseval框架的一個(gè)有趣的不等式.隨后, G?avrut?a[14]將該不等式推廣到一般框架和交替對(duì)偶框架的情形.借助于文[13-14]的思想, 最近一些學(xué)者又建立了Hilbert空間和HilbertC*-模中廣義框架的一些不等式[15-18].受上述工作的啟發(fā), 本文利用K-對(duì)偶給出了HilbertC*-模的閉子模中K-框架的一些新的不等式, 所得結(jié)果可自然推導(dǎo)或類比產(chǎn)生文[13-14,18]中的相應(yīng)結(jié)果.

2.定義和引理

本節(jié)回顧證明主要結(jié)論所要用到的一些定義, 以及可伴算子的一些基本事實(shí).

如果C=D= 1, 則稱F是Parseval框架.如果只有(2.1)式右端的不等式成立, 則稱F是界為D的Bessel序列.

設(shè)F={fj}j∈J是H的框架, 則它可以誘導(dǎo)一個(gè)自伴的正可逆算子, 稱為F的框架算子,定義如下

則稱G是F的K-對(duì)偶.此時(shí)稱(F,G)是一K-對(duì)偶框架對(duì).

3.定理及其證明

因此

由于Range(K)是閉的, 聯(lián)合引理2.1和(3.3)式可得

其中PRange(K)表示Range(K)上的正交投影.故此

任意f ∈Range(K)和λ ∈R, 由引理2.2可得

由此可知

于是

這表明

下證(3.1)式中的不等式.再次利用引理2.2有

于是

這就完成了證明.

任意I?J, 直接計(jì)算可得

類似地, 有

因此在(3.7)式中取aj=即得結(jié)論.

由推論3.1立即可得

推論3.2設(shè)F={fj}j∈J是H的Parseval框架, 則對(duì)任意的I?J,f ∈H及λ ∈R, 有

再次利用引理2.2, 則“此外”部分的結(jié)論由下述不等式可得:

推論3.3設(shè)F={fj}j∈J是H的框架, 則對(duì)任意的I?J,f ∈H及λ ∈[1,+∞), 有

由此式及(3.8)、(3.9)式可得(3.10)式右側(cè)的不等式.(3.10)式左側(cè)的不等式可以通過類似的討論得到.

現(xiàn)在, 由(3.5)式可得“此外”部分的結(jié)論:

推論3.4設(shè)F={fj}j∈J是H的框架, 則對(duì)任意的I?J,f ∈H及λ ∈[1,+∞), 有

證 證明類似于推論3.3, 故略去.

由引理2.3可知

另一側(cè)的不等式由下式給出: