亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        最優(yōu)少重量二元碼的構(gòu)造

        2022-01-19 11:50:14廖群英
        關鍵詞:碼長碼字復合體

        任 磊,廖群英

        (四川師范大學 數(shù)學科學學院,四川 成都 610066)

        其中Ai(1≤i≤n)為碼中漢明重量為i的碼字個數(shù).序列(1,A1,A2,…,An)為碼的重量分布.若序列(A1,A2,…,An)中非零Ai(1≤i≤n)的個數(shù)為t,則稱碼為t權(quán)重二元碼.

        設p為素數(shù),q =pn,q是q 元有限域,qk為有限域q的k 次有限擴張.令D ={d1,d2,…,dn}?qk,記Tr(x)=x +xq+… +xqk-1為有限域qk到q上的跡映射,則可得到q上碼長為n 的線性碼

        Ding 等[1-2]第一次給出利用定義集構(gòu)造線性碼的一般方法,隨后眾多學者通過選取合適的定義集構(gòu)造了許多碼[3-6],并且這些碼能夠應用于密鑰共享方案[7]和身份認證[8].

        設R是有限交換環(huán),Rm是環(huán)R的m(m≥2)次擴張,是Rm的乘法群.定義

        上的跡碼為

        其中Tr(·)是Rm到R的一個R-線性函數(shù).基于上述構(gòu)造方法,學者們給出許多定義在環(huán)上的少重量線性碼[9-17].

        設m(m≥2)是正整數(shù),向量v =(v1,v2,…,vm)∈的支撐集定義為

        則向量v的漢明重量為wt(v)=|Supp(v)|.2[m]為[m]={1,2,…,m}的冪集.定義到2[m]的一個映射如下:

        且|A/B|表示集合A/B中元素的個數(shù).

        對于參數(shù)為[n,k,d]2的一個二元碼,若參數(shù)滿足Griesmer界,即

        2019 年,Hyun等[17-18]利用簡單復合體構(gòu)造了最優(yōu)二元有限族和極小線性碼;隨后,2020 年,Wu等[19]運用簡單復合體,構(gòu)造了環(huán)2+u2上2 類少重量線性碼.基于他們的工作,本文在有限域2上利用簡單復合體構(gòu)造了2 類最優(yōu)少重量二元碼,給出了2 類碼的重量分布,并證明了它們的參數(shù)都滿足Griesmer界.

        1 預備知識

        其中u =(u1,u2,…,um),且Z是整數(shù)環(huán).

        為計算碼的重量分布,先給出如下引理.

        引理1.1[17]設Δ?是中的一個簡單

        復合體,則

        在本文中,2 個簡單復合體

        設a =(α,β),l =(t1,t2),其中α =(α1,α2,…,αm),β =(β1,β2,…,βm)∈,t1∈ΔA,t2∈.若a =0,則ωH(ca)=0.因此,不妨設a≠0,此時由L1的定義可得

        定理2.1設A,B?[m]且0 <|B| <m.若ΔA、ΔB是m2的2 個簡單復合體,,則碼L1的碼長為2|A|(2m-2|B|),碼字個數(shù)為2m+|A|,且重量分布如表1 所示.

        表1 碼L 1的重量分布Tab.1 Weight distribution of code L 1

        表1 碼L 1的重量分布Tab.1 Weight distribution of code L 1

        再由(1)式可得

        其中δ是符號函數(shù).

        設X =Supp(α),Y =Supp(β),下面分2 種情形討論.

        情形1若β ≠0,此時由(2)式可得

        1)若χ(α|A)χ(β|B)=1,則

        又由χ(α|A)χ(β|B)=1,可知X∩A =Y(jié)∩B =?.而Y≠?,故X∩A =?,Y∩B =?,Y≠?.記

        故碼字個數(shù)為|T0| =2m-|A|(2m-|B|-1).

        2)若χ(α|A)χ(β|B)=0,則

        又χ(α|A)χ(β|B)=0,故X∩A≠?或Y∩A≠?且Y≠?.記

        從而T1∪T2∪T3=2[m]×2[m].又

        從而|T1| =22m-|T2| -|T3|,故碼字個數(shù)為

        情形2若β =0,此時由(2)式可得

        1)若χ(α|A)=1,則ωH(ca)=0.又χ(α|A)=1,故X∩A =?.再由Y =?以及X,Y≠?,可知X≠?.記

        故碼字個數(shù)為|T1| =2m-|A|-1.

        2)若χ(α|A)=0,則

        又χ(α|A)=0,故X∩A≠?,從而X∩A≠?,Y =?.記T0={(X,Y)|X∩A≠?,Y =?},故碼字個數(shù)為2m-2m-|A|.

        定理2.2碼L1是最優(yōu)二元碼.

        證明由定理2.1 可知,碼L1的參數(shù)為[2|A|(2m-2|B|),m+|A|,2|A|-1(2m-2|B|)]2,故

        2.2 碼L2的重量分布設a =(α,β),l =(t1,t2),其中α =(α1,α2,…,αm),β =(β1,β2,…,βm)∈,t1∈,t2∈.若a =0,則ωH(ca)=0.因此,不妨設a≠0,此時由L2的定義可得

        定理2.3設A,B?[m]且0 <|A|,|B| <m.若ΔA、ΔB是的2 個簡單復合體,,則碼L2的碼長為(2m-2|A|)(2m-2|B|),碼字個數(shù)為22m,且重量分布如表2 所示.

        表2 碼L 2的重量分布Tab.2 Weight distribution of code L 2

        表2 碼L 2的重量分布Tab.2 Weight distribution of code L 2

        證明由定義容易知道碼L2的碼長為|L2| =(2m-2|A|)(2m-2|B|).設0≠a =(α,β),其中α =(α1,α2,…,αm),β =(β1,β2,…,βm)∈.由(3)式可得

        設X =Supp(α),Y =Supp(β),下面分4 種情形討論.

        情形1若α =0且β ≠0,則由(4)式可得[| L2| +(2m-2|A|)2|B|χ(β| B)].

        1)若χ(β|B)=1,則

        由χ(β| B)=1,可知Y ∩B =?.又α =0,β ≠0,故X =?,Y ≠?,從而Y ∩B =?,Y ≠?且X =?.若記

        T1={(X,Y)| Y ∩B =?,Y ≠?,X =?},故碼字個數(shù)為|T1| =2m-|B|-1.

        2)若χ(β|B)=0,則

        由χ(β| B)=0,可知Y ∩B ≠?.又α =0,β ≠0,故X =?,Y ≠?,從而Y ∩B ≠?且X =?.若記

        故碼字個數(shù)為|T0| =2m-2m-|B|.

        情形2若α ≠0且β =0,則由(4)式可得

        1)若χ(α|A)=1,則

        由χ(α|A)=1,可知X∩A =?.又α≠0,β =0,故X≠?,Y =?,從而X∩A =?,X≠?且Y =?.若記

        T1={(X,Y)| X ∩A =?,X ≠?,Y =?},故碼字個數(shù)為|T1| =2m-|A|-1.

        2)若χ(α|A)=0,則

        由χ(α|A)=0,可知X∩A≠?.又α≠0,β =0,故X≠?,Y =?,從而X∩A≠?且Y =?.若記

        故碼字個數(shù)為|T0| =2m-2m-|A|.

        情形3若α =β≠0,則由(4)式可得

        1)若χ(α|A)χ(β|B)=1,則

        由χ(α|A)χ(β|B)=1,可知X∩A =?,Y∩B =?.又α =β≠0,故X =Y(jié)≠?,從而X∩(A∪B)=?且X≠?.若記

        故碼字個數(shù)為|T1| =2m-|A∪B|-1.

        2)若χ(α|A)χ(β|B)=0,則

        由χ(α|A)χ(β|B)=0,可知X∩A≠?,Y∩B≠?.又α =β≠0,故X =Y(jié)≠?,從而X∩(A∪B)≠?且X≠?.若記

        故碼字個數(shù)為|T0| =2m-2m-|A∪B|.

        情形4若α ≠β,α ≠0,β ≠0,則由(4)式得

        1)若χ(α|A)χ(β|B)=1,則

        由χ(α| A)χ(β| B)=1,知X ∩A =Y(jié) ∩B =?.又α ≠β,α ≠0,β ≠0故X ≠Y,X ≠?且Y ≠?.令

        則由T2=T1∪T0及| T2| =| T1|+| T0|,可得|T0| =|T2| -|T1|.故碼字個數(shù)為

        2)若χ(α|A)χ(β|B)=0,則

        由χ(α|A)χ(β|B)=0,可知χ(α|A)=0,χ(β|B)=1或χ(α|A)=1,χ(β|B)=0或χ(α|A)=0,χ(β|B)=0.

        當χ(α| A)=1,χ(β| B)=0時,可得X ∩A =?,Y ∩B ≠?.又α ≠β,α ≠0,β ≠0,故X ≠Y,X ≠?,Y ≠?.令

        則由T2=T0∪T1及|T2| =|T0|+|T1|,可知|T0| =|T2| -|T1|.又|T2| =(2m-|A|-1)(2m-2|B|),|T1| =2m-|A|(2|B/A|-1),從而

        當χ(α| A)=0,χ(β | B)=1 時,易得X ∩A ≠?,Y ∩B =?.又α ≠β,α ≠0,β ≠0,故X ≠Y,X ≠?,Y ≠?.令

        當χ(α| A)=0,χ(β | B)=0 時,可得X ∩A ≠?,Y ∩B ≠?.又α ≠β,α ≠0,β ≠0可知X ≠Y,X ≠?,Y ≠?.令

        故當χ(α| A)χ(β | B)=0 時,可得碼字個數(shù)為|T0|+||+||,即

        根據(jù)上述證明可知,當A =B時,有如下推論.

        推論2.4若A =B,則碼L2是3 權(quán)重碼,其重量分布如表3 所示.

        表3 碼L 2(A =B)的重量分布Tab.3 Weight distribution of the code L 2 with A =B

        表3 碼L 2(A =B)的重量分布Tab.3 Weight distribution of the code L 2 with A =B

        定理2.5若A =B且|A| =m-1,則碼L2為最優(yōu)二元碼.

        證明由定理2.3 可知,若A =B,|A| =m-1,則碼L2的參數(shù)為[22m-2,2m-1,22m-3]2,從而有

        3 應用舉例

        下面給出2 個具體例子.

        例3.1取m =3,ΔA={(0,0,0),(0,0,1)},ΔB={(0,0,0),(0,1,0)},則

        進而,由定義可得

        另一方面,由m =3,|A| =|B| =1,以及定理2.1,可知碼L1的碼長為12、碼字個數(shù)為16,以及重量分布如表4 所示,故可得碼L1的參數(shù)為[12,4,6]2,以及重量計數(shù)器為

        表4 碼L 1(|A| =|B| =1)的重量分布Tab.4 Weight distribution of the code L 1 with |A| =|B| =1

        表4 碼L 1(|A| =|B| =1)的重量分布Tab.4 Weight distribution of the code L 1 with |A| =|B| =1

        容易驗證其參數(shù)[24,5,12]2滿足Griesmer 界,故L1為最優(yōu)二元碼.

        表5 碼L 1的重量分布Tab.5 Weight distribution of the code L 1

        表5 碼L 1的重量分布Tab.5 Weight distribution of the code L 1

        表6 碼L 1的重量分布Tab.6 Weight distribution of the code L 1

        表6 碼L 1的重量分布Tab.6 Weight distribution of the code L 1

        例3.2取m =3,A =B且|A| =2.按照例3.1的方法,則可得碼L2的全體碼字,從而可以直接計算出碼的參數(shù)為[16,5,8]2,以及重量計數(shù)器為

        容易驗證其參數(shù)[16,5,8]2滿足Griesmer 界,故L2為最優(yōu)二元碼.

        碼字個數(shù)為22m,且重量分布如表7 所示.

        表7 碼L 2的重量分布Tab.7 Weight distribution of the code L 2

        表7 碼L 2的重量分布Tab.7 Weight distribution of the code L 2

        碼字個數(shù)為22m,且重量分布如表8 所示.

        表8 碼L 2的重量分布Tab.8 Weight distribution of the code L 2

        表8 碼L 2的重量分布Tab.8 Weight distribution of the code L 2

        猜你喜歡
        碼長碼字復合體
        構(gòu)造長度為4ps的量子重根循環(huán)碼
        基于信息矩陣估計的極化碼參數(shù)盲識別算法
        放 下
        揚子江詩刊(2018年1期)2018-11-13 12:23:04
        數(shù)據(jù)鏈系統(tǒng)中軟擴頻碼的優(yōu)選及應用
        放下
        揚子江(2018年1期)2018-01-26 02:04:06
        環(huán)Fq[v]/上循環(huán)碼的跡碼與子環(huán)子碼
        CoFe2O4/空心微球復合體的制備與吸波性能
        碼長為2nps的重根自對偶負循環(huán)碼
        長為{4,5,6}的完備刪位糾錯碼的存在性*
        3種多糖復合體外抗腫瘤協(xié)同增效作用
        食品科學(2013年15期)2013-03-11 18:25:51
        色婷婷综合久久久久中文字幕| 国产成人精品日本亚洲语音1| 精品人伦一区二区三区蜜桃麻豆 | 国产精品久久久久9999赢消| 国产精品毛片一区二区| 人妻少妇精品无码专区二区 | 久久人人爽人人爽人人av| 国产免费丝袜调教视频| 内射精品无码中文字幕| 亚洲欧美中文v日韩v在线| 国产免费无码9191精品| 精品视频在线观看一区二区有| 风韵丰满妇啪啪区老老熟女杏吧| 免费高清日本一区二区| 视频国产一区二区在线| 久久想要爱蜜臀av一区二区三区 | 一区欧美在线动漫| 视频一区视频二区亚洲| 国产精品女同一区二区免费站| 国产在线无码一区二区三区视频| 亚洲av中文无码乱人伦在线视色 | 欧美黑人xxxx性高清版| 日日噜噜夜夜狠狠久久av| 色婷婷久久99综合精品jk白丝| 女优av一区二区在线观看| 91九色成人蝌蚪首页| 和黑人邻居中文字幕在线| 国产97色在线 | 日韩| 日日碰狠狠躁久久躁96avv | 亚洲国产成人精品久久成人| 女同性恋一区二区三区av| 少妇被猛烈进入到喷白浆| 亚洲av无码乱码国产精品久久| 免费无码又黄又爽又刺激| 免费xxx在线观看| 91天堂素人精品系列全集亚洲| 亚洲人成伊人成综合网中文| 日韩精品一区二区三区乱码 | a级毛片毛片免费观看久潮喷| 亚洲毛片αv无线播放一区| 亚洲中文字幕有综合久久|