范紅磊, 王朝

(南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,江蘇 南京 210044)

1.引言及預(yù)備知識(shí)

設(shè)(H,〈.,.〉)是一實(shí)Hilbert空間, 具有誘導(dǎo)范數(shù)‖.‖,C為H的一個(gè)非空閉凸子集,T:C →C是一非線性算子,x0∈C是給定的初始點(diǎn), 定義序列{xn}:

其中{an},{bn},{cn},{αn},{βn},{bn+cn},{αn+βn}?[0,1],n ≥0.若在(1.1)中取βn=cn=0,則(1.1)式被稱(chēng)為Noor迭代[1].若取βn=cn=an= 0, 則(1.1)式被稱(chēng)為Ishikawa迭代[2].若取βn=cn=an=bn= 0, 則(1.1)式被稱(chēng)為Mann迭代[3].2015年, Maruster和Maruster[4]根據(jù)半壓縮算子的定義提出了強(qiáng)半壓縮算子(SDC)的概念: 如果對(duì)于任意的x ∈C, 有

其中s?∈Fix(T) ={x ∈C:Tx=?(s?稱(chēng)為T(mén)的不動(dòng)點(diǎn)),a ∈(0,1),K ≥0, 則算子T被稱(chēng)為強(qiáng)半壓縮算子(注意到若T是一強(qiáng)半壓縮算子, 則其不動(dòng)點(diǎn)是唯一的).在此基礎(chǔ)上,文[4]研究了在強(qiáng)半壓縮算子下的Mann迭代的誤差估計(jì)和T-穩(wěn)定性.WANG[5]改進(jìn)了文[4]的結(jié)論, 得到了Mann迭代誤差估計(jì)的一個(gè)新的公式, 與文[4]中誤差估計(jì)式相比有更快的收斂速度, 并且根據(jù)所得誤差估計(jì)式得到了迭代序列強(qiáng)收斂的一個(gè)充分條件.在文[6]中, WANG等對(duì)[4-5]進(jìn)行了推廣, 建立了Ishikawa迭代的兩個(gè)誤差估計(jì)式和強(qiáng)半壓縮算子的強(qiáng)收斂定理, 并討論了Ishikawa 迭代及Mann迭代的收斂速度和誤差估計(jì), 最后證明了Ishikawa迭代的T-穩(wěn)定性.Grsoy等[7]在不同的條件下, 提出了Mann迭代的穩(wěn)定性定理.與此同時(shí), 文[7]中考慮了強(qiáng)半壓縮算子下的Mann迭代的弱ω2-穩(wěn)定性, 并討論了強(qiáng)半壓縮算子的數(shù)據(jù)依賴(lài)性.文[8-9]研究了Jungck-Khan迭代的強(qiáng)收斂性和T-穩(wěn)定性, 并給出了Jungck-type迭代的數(shù)據(jù)依賴(lài)定理.

本文將討論在強(qiáng)半壓縮算子下的迭代序列(1.1)的誤差估計(jì)及穩(wěn)定性.首先, 給出在Lipschitz條件下該迭代序列的誤差估計(jì)及強(qiáng)收斂的充分性條件, 并舉例與文[6]中所得Ishikawa迭代的誤差估計(jì)式進(jìn)行對(duì)比.其次, 在非Lipschitz條件下, 我們也討論了該迭代序列的誤差估計(jì)式及強(qiáng)收斂的充分性條件.最后, 分析了該迭代序列的T-穩(wěn)定性.所得結(jié)果推廣了文[4-9]的相關(guān)結(jié)論.

為了證明本文的主要結(jié)果, 我們需要以下定義和結(jié)論.

定義1.1[10]設(shè)X是一實(shí)Banach空間,C為X的一個(gè)非空閉凸子集,T是C上的自映射,x0∈C為任意給定的點(diǎn), 若由

生成的序列{xn}強(qiáng)收斂到T的不動(dòng)點(diǎn)s?∈Fix(T), 則稱(chēng)迭代序列(1.3)是T-穩(wěn)定的(或關(guān)于T是穩(wěn)定的)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的序列{yn}?C, 有

其中εn=‖yn+1?f(T,yn)‖.

引理1.1[10]設(shè)(H,‖.‖)是一實(shí)Hilbert空間, 對(duì)?x,y ∈H, 有

其中a是一實(shí)數(shù).

引理1.2[11]設(shè)(H,‖.‖)是一實(shí)Hilbert空間, 則對(duì)于?x,y,z ∈H, 有

其中α,β,γ ∈[0,1],α+β+γ=1.

引理1.3[10]設(shè){dn},{εn}是兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)列, 滿(mǎn)足

其中0≤α<1.若則

?

引理1.4[5]設(shè){dn}是一非負(fù)實(shí)數(shù)列, 滿(mǎn)足

其中0<α<1,β >0.若{?n}是一非負(fù)實(shí)數(shù)列, 且滿(mǎn)足

2.強(qiáng)半壓縮算子的迭代序列(1.1)的誤差估計(jì)

本節(jié)我們將給出強(qiáng)半壓縮算子下的迭代序列(1.1)的兩個(gè)誤差估計(jì)式及相應(yīng)的強(qiáng)收斂的充分性條件, 并舉例與已有的誤差估計(jì)式進(jìn)行對(duì)比.

定理2.1設(shè)T是L-Lipschitz的(即對(duì)于?x,y ∈C, 存在L, 使得‖Tx ?Ty‖ ≤L‖x ?y‖),且T是一強(qiáng)半壓縮算子, 其中0

其中Tαn,βn,bn,cn,an:=(1?αn?βn)I+αnTbn,cn,an+βnT,Tbn,cn,an:=(1?bn?cn)I+bnTan+cnT,Tan:=(1?an)I+anT.設(shè){xn}?C是由(1.1)產(chǎn)生的序列, 且滿(mǎn)足

則有如下估計(jì)式:

證由引理1.2可得

因?yàn)門(mén)是一強(qiáng)半壓縮算子, 故由(1.2)及引理1.1, 我們有

因?yàn)門(mén)是L-Lipschitz的, 所以

從而

將(2.3)-(2.6)代入到(2.2)中得

其中

此時(shí)(2.7)可轉(zhuǎn)化為

與文[6]中定理2.2的證明過(guò)程相似, 我們有

注2.1上述定理推廣了文[6]中定理2.2的相關(guān)結(jié)果.

注2.2與文[6]中類(lèi)似, 當(dāng)T為可微映射時(shí), 條件(?)是容易實(shí)現(xiàn)的.事實(shí)上, 若T是可微、Lipschitz的強(qiáng)半壓縮算子, 且由迭代過(guò)程(1.1)產(chǎn)生的序列{xn}滿(mǎn)足

則有

其中ξ=x+η(t2+t1t4+t1t3t5)(Tx ?x),0<η <1.若T的導(dǎo)數(shù)T′滿(mǎn)足

則

由定理2.1可知,{xn}強(qiáng)收斂于不動(dòng)點(diǎn)s?, 且滿(mǎn)足誤差估計(jì)式(2.1).

下面我們考慮文[6]中的例子, 將(1.1)和(2.1)與文[6]中Ishikawa迭代序列及誤差估計(jì)式進(jìn)行對(duì)比.

例2.1[6]設(shè)C=[0.5,1.5], 定義T:C →C:

T是1-Lipschitz的且是強(qiáng)半壓縮的(a=0.15,K=0.42), 其不動(dòng)點(diǎn)s?=1.

1)對(duì)于Ishikawa迭代.根據(jù)文[6]中定理2.2,因?yàn)?<θ1<θ2

我們有

因此

即滿(mǎn)足文[6]中定理2.2的所有條件.

故

即滿(mǎn)足定理2.1的所有條件.

下面我們比較Ishikawa迭代和迭代序列(1.1)的收斂速度和誤差估計(jì).分別取Ishikawa迭代序列中t1=0.8, t2=0.5和t1=0.9, t2=0.5.迭代序列(1.1)中t1=0.78, t2=0.19, t3=t4=t5= 0.4 和t1= 0.8, t2= 0.13, t3= 0.3, t4= 0.4, t5= 0.5.設(shè)終止參數(shù)為‖xn ?s?‖ ≤10?5.經(jīng)過(guò)計(jì)算, 迭代次數(shù)和誤差估計(jì)的結(jié)果分別在表2.1和圖2.1中給出.

圖2.1 初始值x0 =0.5的迭代序列(ii)、(iv)的真實(shí)誤差‖xk ?s?‖(1 ≤k ≤30) 和誤差估計(jì)

表2.1 Ishikawa迭代和迭代序列(1.1)收斂于s?=1所需的迭代次數(shù)

注2.3從表2.1我們可以看出：1) (iii)和(iv)的收斂速度是穩(wěn)定的; 2) (iv)比其他三個(gè)迭代收斂得更快.從圖2.1可以看出(ii)的誤差估計(jì)比(iv)的誤差估計(jì)更有效.但當(dāng)?shù)螖?shù)k=30時(shí), (ii)和(iv)的誤差估計(jì)都達(dá)到了10?5, 此時(shí)我們認(rèn)為誤差估計(jì)的有效性是一致的.

定理2.2設(shè)T是一強(qiáng)半壓縮算子, 其中0< a <1,K ∈[0,1),s?∈Fix(T).假設(shè)存在0≤q,s<1 及正數(shù)θ1,θ2, 0<θ1<θ2

證由文[4]中定理2知

由條件M <1及引理1.2知

此時(shí)

從而

與定理2.1的證明過(guò)程相似, 我們有

注2.4上述定理推廣了文[5]中定理2.1的相關(guān)結(jié)果.

注2.5與注2.2相似, 若T是可微的強(qiáng)半壓縮算子, 且由迭代過(guò)程(1.1)產(chǎn)生的序列{xn}滿(mǎn)足

時(shí), 條件(?)成立.由定理2.2知, 序列{xn}強(qiáng)收斂于不動(dòng)點(diǎn)s?, 且滿(mǎn)足誤差估計(jì)式(2.8).

我們考慮如下例子.

例2.2設(shè)C=[?1,1], 定義T:C →C如下

其不動(dòng)點(diǎn)s?= 0.此時(shí)T是一強(qiáng)半壓縮算子(a= 0.008, K= 0.07).令q= 0.58,s= 0.25, 因此a+q <1.由0<θ1<θ2

故t1∈[0.6801,0.8859],t2∈[0,0.25](需要注意的是t1+t2≤1),t3+t4∈[0,0.58],t5∈[0,1].若t1∈[0.877,0.8859],t2∈[0.1119,0.1141],t3=0.28,t4=0.3,t5∈[0.59,0.6], 則有

即滿(mǎn)足定理2.2的所有條件.我們可取t1=0.877, t2=0.114, t3=0.28, t4=0.3, t5=0.59, 所得迭代程序(1.1)的真實(shí)誤差和誤差估計(jì)(取迭代次數(shù)k= 60, 初始值x0= 0.6)可達(dá)到10?6, 故我們認(rèn)為真實(shí)誤差和誤差估計(jì)的有效性是一致的.

3.迭代序列(1.1)的T-穩(wěn)定性

則

將(3.2)及(3.3)代入到(3.1)中得