羅興鈞，黃靜月，張 榮

（贛南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 贛州 341000）

第一類Fredholm 積分方程常被用來(lái)模擬科學(xué)和工程中出現(xiàn)的一些實(shí)際問(wèn)題，包括從遙測(cè)數(shù)據(jù)確定大氣溫度剖面、系統(tǒng)識(shí)別、計(jì)算機(jī)斷層攝影定位腫瘤、地震勘探等[1-5].這些問(wèn)題中大部分是不適定的，在某種意義上，給定數(shù)據(jù)中的小擾動(dòng)可能導(dǎo)致相應(yīng)解的大擾動(dòng).不適定問(wèn)題通常用正則化方法來(lái)處理，如Tikhonov 正則化方法、Landweber 迭代等方法.

正則化方法大致有兩種，變分法以及迭代法.由于變分法求解會(huì)導(dǎo)致逆運(yùn)算，所以，迭代法是最受歡迎的正則化方法，且得到了大量的討論[6-7]. 1951 年，Landweber 提出了求解不適定積分方程的Landweber迭代法，但該方法是在無(wú)限維空間研究的，而人們感興趣的是有限維空間的求解[8].有限維空間求解數(shù)值解，廣泛采用的方法是投影法，例如Hilbert 空間上的Galerkin 投影法以及Banach 空間上的配置法[9-10].投影法的核心思想就是用有限維空間中的投影算子來(lái)逼近無(wú)限維空間上的算子，利用有限維空間中的基底函數(shù)近似表示近似解，轉(zhuǎn)化為有限維空間上的求解.具體做法第二節(jié)有詳細(xì)的描述.

Scherzer 提出了一種基于非線性Landweber 迭代的多級(jí)迭代算法，該算法在每一層都需要一個(gè)終止準(zhǔn)則來(lái)終止迭代，并提出了若干條終止準(zhǔn)則[11].當(dāng)這種方法應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題時(shí)，由于其終止準(zhǔn)則在很大程度上依賴于對(duì)解的了解，會(huì)產(chǎn)生一些困難.為了克服這一缺點(diǎn)，Hou 和Jin 對(duì)Landweber 迭代的有限維近似進(jìn)行了研究，提出了全投影算法以及與全投影算法匹配的迭代停止準(zhǔn)則[12]. 這些方法是一種傳統(tǒng)的投影算法，涉及大量的內(nèi)積計(jì)算，計(jì)算量較大.例如，如果有限維空間的維數(shù)是2n，那么，投影算法涉及到的內(nèi)積的計(jì)算個(gè)數(shù)是22n，如果采用多尺度壓縮投影算法，內(nèi)積的計(jì)算個(gè)數(shù)是（n+1）2n，當(dāng)n比較大時(shí)，顯然減少了內(nèi)積計(jì)算量，確保了近似解的收斂率.這就是我們方法的優(yōu)點(diǎn).

1 多尺度壓縮投影方法

在這一節(jié)中，提出求解線性積分方程的多尺度壓縮投影方法.

設(shè)E?Rd是一個(gè)有界閉域，其中d≥1.X是Hilbert 空間L2（E），內(nèi)積為（·，·），范數(shù)為‖·‖.定義Fredholm 積分算子A為（Ax）（s）：=∫E k（s，t）x（t）dt，s∈E，其中，核函數(shù)k為E×E上的連續(xù)函數(shù).考慮形如（1）式的第一類積分方程：

2 誤差估計(jì)

現(xiàn)在估計(jì)壓縮投影法（4）式的收斂性.為此，對(duì)某些正常數(shù)r，令η∶=2-r/d，引入假設(shè).

假設(shè)1[15-21]（1）存在正常數(shù)cr≥1，使得：‖（I-Pj）A‖≤cr ηj，且‖A（I-Pj）‖≤c r ηj；（2）緊線性積分算子A以常數(shù)1 為界，即‖A‖≤1；（3）0＜μ＜1/2.

首先，給出一個(gè)非常重要的引理[15].

接下來(lái)，提出以下修正的偏差原理來(lái)選擇終止指標(biāo)，并提出第3 點(diǎn)所需的一個(gè)預(yù)備引理.

規(guī)則1 假設(shè)1（1）～（3）成立，則有：

3 收斂性分析

接下來(lái)，先給出在后面定理的證明中會(huì)用到的一些引理.

定理得證.

4 數(shù)值算例

在本節(jié)中，用數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證所提方法的有效性.考慮用以下核函數(shù)求解線性積分方程（1），得：k（s，t）=s-t，s＞t；k（s，t）=0，s≤t.取y（s）=（6s2-4s3+s4）/24，則該問(wèn)題的唯一最小范數(shù)解為：x+（t）=（1-t）2/2[12].容易驗(yàn)證x+∈R（A*），這意味著ν=1.在這種情況下，最優(yōu)收斂率是δ1/2.

取yδ（s）=y（s）+δ·ν（s），其中ν（s）為均勻分布的隨機(jī)值且對(duì)任意的s∈[0，1]，有|ν（s）|≤1.設(shè)：δ∶=‖y‖·e/100 其中e=｛10，5，2.5，1.25，0.625｝.

其中，j=0，1，2，…，2i-1-1.

表1 包含離散Landweber 迭代（4）的結(jié)果，并利用規(guī)則1 選取迭代停止次數(shù)k（δ，n），其中cr=1，η=2-1，μ=0.46，τ=2.為了表明收斂率與擾動(dòng)水平和離散水平的關(guān)系，選取了不同的δ和n值.表1 中的收斂率估計(jì)與定理1 的結(jié)論非常吻合.這表明所提出的壓縮算法的有效性.

表1 數(shù)值結(jié)果