湖南 王躍軍

帶電粒子(不計(jì)重力)在圓形有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題，在高考及物理競(jìng)賽中頻繁出現(xiàn)，該類題型通常情境新穎，較好地綜合了物理、數(shù)學(xué)知識(shí)，著重考查學(xué)生的綜合分析能力，邏輯推理能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力。而當(dāng)磁場(chǎng)圓半徑等于軌跡圓半徑時(shí)，有如下兩條規(guī)律。磁發(fā)散規(guī)律：如圖1所示，若帶電粒子從圓形有界磁場(chǎng)邊界某點(diǎn)沿不同方向射入磁場(chǎng)，則粒子射出磁場(chǎng)時(shí)速度方向都相同，且與入射點(diǎn)處的切線方向平行。磁聚焦規(guī)律：如圖2所示，平行射入圓形有界磁場(chǎng)的帶電粒子，都將從磁場(chǎng)邊界的同一點(diǎn)射出磁場(chǎng)，且粒子的入射速度方向一定與出射點(diǎn)處的切線方向平行。

圖1 圖2

磁發(fā)散規(guī)律的證明：

如圖3所示帶負(fù)電的粒子(不計(jì)重力)從圓形有界磁場(chǎng)O1邊界上的A點(diǎn)射入磁場(chǎng)，AD為過A點(diǎn)的切線，已知粒子在磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓O2的半徑與磁場(chǎng)圓O1的半徑相等。若粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從磁場(chǎng)邊界的C點(diǎn)沿CE方向射出。下面來證明CE∥AD。

圖3

連接O1A、O1C、O2A、O2C，由于磁場(chǎng)圓半徑等于粒子軌跡圓半徑，故四邊形AO1CO2為菱形，因而可得：

O1A∥O2C①

AD為磁場(chǎng)圓過A點(diǎn)的切線，則有：AD⊥O1A②

由①和②可得：AD⊥O2C③

CE為粒子在磁場(chǎng)邊界C點(diǎn)的出射方向

CE⊥O2C④

由③和④可得：CE∥AD

由于粒子從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的方向是任意的，而A點(diǎn)的切線方向是確定的，故從A點(diǎn)射入磁場(chǎng)的所有粒子都會(huì)平行于AD方向射出，如圖1所示，粒子的入射方向是分散的，但經(jīng)過圓形有界磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，轉(zhuǎn)變成平行方向射出，這類比于光學(xué)中，經(jīng)過凸透鏡焦點(diǎn)的入射光線經(jīng)凸透鏡折射后變成平行光線。同理亦可證明磁聚焦規(guī)律。

下面筆者通過三個(gè)例題探析規(guī)律的應(yīng)用。

【例1】電子質(zhì)量為m，電荷量為e，從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，速度大小均為v0，如圖4(甲)所示。現(xiàn)在某區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，若這些電子穿過磁場(chǎng)后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏與y軸平行，求：

(1)熒光屏上亮線的長度；

(2)所加磁場(chǎng)范圍的最小面積。

甲

乙

【點(diǎn)評(píng)】本題用到了磁發(fā)散規(guī)律，解題的關(guān)鍵是畫好初速度沿x軸正方向及沿y軸正方向的電子運(yùn)動(dòng)軌跡，利用幾何知識(shí)確定好磁場(chǎng)圓的圓心及半徑。學(xué)生要準(zhǔn)備好圓規(guī)、尺子、鉛筆等作圖工具進(jìn)行規(guī)范作圖，這有利于直觀呈現(xiàn)題目，快捷準(zhǔn)確找出數(shù)理關(guān)系。

【例2】如圖5，ABCD是邊長為a的正方形。質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：

(1)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向和大小；

(2)此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。

圖5

圖6

【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)典型的磁聚焦考題，該題考查了學(xué)生對(duì)于帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的綜合分析能力，重點(diǎn)考查了粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡。這要求我們不僅要熟悉磁發(fā)散和磁聚焦規(guī)律中粒子在整個(gè)圓磁場(chǎng)區(qū)域運(yùn)動(dòng)情況，也要能在圓磁場(chǎng)局部區(qū)域運(yùn)用所學(xué)規(guī)律。這要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要善于分析，見微知著。

【例3】(2021·湖南卷第13題)帶電粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制備的關(guān)鍵技術(shù)之一。帶電粒子流(每個(gè)粒子的質(zhì)量為m、電荷量為+q)以初速度v垂直進(jìn)入磁場(chǎng)，不計(jì)重力及帶電粒子之間的相互作用。對(duì)處在xOy平面內(nèi)的粒子，求解以下問題。

(1)如圖7，寬度為2r1的帶電粒子流沿x軸正方向射入圓心為A(0，r1)、半徑為r1的圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，若帶電粒子流經(jīng)過磁場(chǎng)后都匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大??；

圖7

(2)如圖7，虛線框?yàn)檫呴L等于2r2的正方形，其幾何中心位于C(0，-r2)。在虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使匯聚到O點(diǎn)的帶電粒子流經(jīng)過該區(qū)域后寬度變?yōu)?r2，并沿x軸正方向射出。求該磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B2的大小和方向，以及該磁場(chǎng)區(qū)域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)；

(3)如圖8，虛線框Ⅰ和Ⅱ均為邊長等于r3的正方形，虛線框Ⅲ和Ⅳ均為邊長等于r4的正方形。在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ中分別設(shè)計(jì)一個(gè)區(qū)域面積最小的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，使寬度為2r3的帶電粒子流沿x軸正方向射入Ⅰ和Ⅱ后匯聚到坐標(biāo)原點(diǎn)O，再經(jīng)過Ⅲ和Ⅳ后寬度變?yōu)?r4，并沿x軸正方向射出，從而實(shí)現(xiàn)帶電粒子流的同軸控束。求Ⅰ和Ⅲ中磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，以及Ⅱ和Ⅳ中勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的面積(無需寫出面積最小的證明過程)。

圖8

圖9

圖10

【點(diǎn)評(píng)】本題是湖南省2021年高考計(jì)算題，本套試卷整體難度較大，學(xué)生作答的時(shí)間緊，而本題又有近五百字和兩個(gè)圖，學(xué)生閱讀理解也需花費(fèi)較多時(shí)間，題目綜合用到了磁發(fā)散和磁聚焦兩個(gè)規(guī)律，解題時(shí)既要用到物理中的洛倫茲力、圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)，又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，學(xué)生容易失分，但如果有了例題1和例題2的鋪墊，學(xué)生解題時(shí)會(huì)游刃有余，從容面對(duì)，在緊張而緊湊的高考中節(jié)省寶貴時(shí)間，提升信心、穩(wěn)定心態(tài)。