夏巨興 于普良 胡 回 姜 慶 鮮小東

(1.武漢科技大學(xué)冶金裝備及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖北武漢 430081;2.武漢科技大學(xué)機(jī)械傳動(dòng)與制造工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖北武漢 430081;3.武漢科技大學(xué)精密制造研究院 湖北武漢 430081)

氣浮支承具有工作精度高、無磨損等特點(diǎn)，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于精密測(cè)量設(shè)備、精密機(jī)床及光刻機(jī)等制造裝備中[1-3]。目前，研究氣浮支承的方法主要包括解析計(jì)算和數(shù)值模擬。解析計(jì)算[4-7]使用方便，但求解精度不足，數(shù)值模擬[8-10]求解精度高但計(jì)算規(guī)模大，求解時(shí)間長(zhǎng)。如何快速獲取氣浮支承力學(xué)性能并應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)已成為氣浮支承的重點(diǎn)研究方向。

LI和DING[11]提出一種多孔氣浮支承簡(jiǎn)化計(jì)算方法，從理論上解釋了氣浮支承各參數(shù)之間的相互關(guān)系。HUANG等[12]提出一種迭代算法來分析真空預(yù)加載多孔氣浮支承靜態(tài)特性，該算法可減小有限差分法的迭代步數(shù)。于普良等[13]利用CFD研究了橢圓截面均壓槽對(duì)氣浮支承靜態(tài)特性影響，楊濤等人[14]通過建立氣膜壓力分布等效電路模型來計(jì)算陣列節(jié)流器氣膜承載力。李加福、CHENG等[15-16]利用阻抗法分析多微通道氣浮支承的承載特性，利用實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證其方法的可靠性。CHEN等[17-18]利用網(wǎng)絡(luò)阻抗法和牛頓迭代法分析了矩形氣浮支承的靜、動(dòng)態(tài)特性。

綜上，目前國內(nèi)外對(duì)于表面布置均壓槽結(jié)構(gòu)氣浮支承承載力的計(jì)算方法較為復(fù)雜、計(jì)算效率低。為此，本文作者提出了阻抗法來簡(jiǎn)化氣浮支承承載力的計(jì)算，通過建立徑向均壓槽氣浮支承阻抗模型來求解其承載力，研究均壓槽結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)氣浮支承阻抗模型的影響，為簡(jiǎn)化氣浮支承計(jì)算并應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)提供參考。

1 阻抗模型

1.1 氣浮支承物理模型

氣體軸承采用小孔節(jié)流，并增加均壓腔節(jié)流，同時(shí)在氣膜表面布有均壓槽節(jié)流，徑向方向截面為扇形，周向方向截面為矩形，其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 氣浮支承結(jié)構(gòu)示意Fig 1 Schematic of aerostatic bearing

供氣壓力ps通過半徑為Rt，長(zhǎng)為ht的小孔節(jié)流器后,在節(jié)流孔末端產(chǎn)生壓降pd。氣體沿均壓腔徑向擴(kuò)散，均壓腔中形成壓力pd1，均壓腔半徑為Rp，深為hp。pd1沿著徑向槽和支承面徑向方向擴(kuò)散，在均壓槽末端處形成壓力pd2，均壓槽的槽半徑為Rg，均壓槽高度為hg，均壓槽的數(shù)量為n,pd2沿著均壓槽以外區(qū)域的氣膜的徑向方向逐漸降低，直至氣浮支承出口壓力變?yōu)榄h(huán)境壓力pa,其中氣膜厚度為hf，軸承外徑為Rf。

1.2 阻抗模型的提出

流體流過節(jié)流器時(shí)，節(jié)流器對(duì)流體會(huì)產(chǎn)生阻抗。因此，在設(shè)計(jì)節(jié)流器時(shí)要確定各節(jié)流器阻抗大小，使之與靜壓系統(tǒng)阻抗相匹配。在電路中存在歐姆定律，在氣路中也存在類似規(guī)律，其關(guān)系式如下：

(1)

式中：Rex為氣體阻抗；Δp為氣體流過節(jié)流器兩端壓力差;q為體積流量。

根據(jù)矩形均壓槽氣體軸承結(jié)構(gòu)，可將氣體軸承分為小孔、均壓腔、等效均壓槽及氣膜等四部分，每一部分建立其阻抗模型。在不考慮節(jié)流器中氣體的周向運(yùn)動(dòng)的前提下，徑向均壓槽氣浮支承的阻抗分布如圖2所示。

圖2 氣浮支承阻抗分布Fig 2 Impedance distribution of aerostatic bearing

圖2中R1為節(jié)流孔阻抗，R21～R2n相等，R31～R3n相等，R41～R4n相等。

1.3 氣浮支承阻抗模型的建立1.3.1 節(jié)流孔阻抗的建立

根據(jù)氣體理論力學(xué),氣體流過小孔可認(rèn)為是等熵流動(dòng)，氣體流過節(jié)流器間隙視為等溫流動(dòng)。根據(jù)小孔流動(dòng)假設(shè)，流過小孔的質(zhì)量流量可簡(jiǎn)化[4]為

(2)

式中:φ為流量函數(shù);k為等熵指數(shù)，對(duì)于空氣而言，k=1.4;Cd為小孔的流量系數(shù);A為節(jié)流孔截面積;p為氣體壓力；ρ為氣體密度。

對(duì)于不可壓縮流體，質(zhì)量流量計(jì)算公式[4]為

(3)

體積流量計(jì)算公式為

(4)

式中：α為膨脹系數(shù)；Δp為節(jié)流孔前后壓力差。

對(duì)于不可壓縮流體ρ為常數(shù)，α值為1。

對(duì)于理想氣體狀態(tài)方程如下：

p=ρRT

(5)

式中：R為氣體常數(shù)；T為溫度。

將氣體視為等溫、絕熱流動(dòng)狀態(tài)，流過節(jié)流孔的體積流量可簡(jiǎn)化為

(6)

故節(jié)流孔阻抗為

(7)

1.3.2 均壓腔阻抗的建立

對(duì)于圓形氣浮支承，其壓力p與θ和z無關(guān),故壓力與半徑關(guān)系[1]為

(8)

對(duì)式(8)進(jìn)行積分，由邊界速度條件便可得氣體流動(dòng)速度表達(dá)式：

(9)

由式(9)可得均壓腔向外流動(dòng)的體積流量：

(10)

(11)

故均壓腔的阻抗為

(12)

1.3.3 等效均壓槽區(qū)域阻抗的建立

均壓槽布置在氣膜表面改變了氣膜表面壓力分布，同時(shí)也給求解氣膜表面壓力分布帶來困難。在求解帶有均壓槽的氣膜壓力分布，文中采用將氣膜分塊的方法。以均壓槽末端為劃分邊界，將氣膜劃分為兩部分，有均壓槽區(qū)域氣膜和無均壓槽區(qū)域氣膜。將均壓槽和有均壓槽區(qū)域氣膜進(jìn)行等效處理，求解等效均壓槽的阻抗。等效均壓槽的質(zhì)量流量為m，流過有均壓槽下方氣膜區(qū)域的質(zhì)量流量為m1，流過均壓槽的質(zhì)量流量為m2。由氣體流入流出質(zhì)量守恒知：

m=m1+m2

(13)

利用邊界條件：r=Rp處p=pd1和r=Rg處p=pd2,可求得m1的質(zhì)量流量：

(14)

同理可推導(dǎo)出流過均壓槽的質(zhì)量流量m2的表達(dá)式。根據(jù)式(13)可推導(dǎo)出：

(15)

由式(15)得等效氣膜he的表達(dá)式：

(16)

等效均壓槽體積流量表達(dá)式如下：

(Rp≤r≤Rg)

(17)

故均壓槽等效阻抗為

(18)

1.3.4 氣膜阻抗的建立

由邊界速度條件可求得均壓槽以外區(qū)域的氣膜的體積流量：

(Rg≤r≤Rf)

(19)

均壓槽以外區(qū)域氣膜阻抗的表達(dá)式：

(20)

1.4 氣浮支承阻抗模型承載力的計(jì)算

氣體經(jīng)過各節(jié)流器后在氣浮支承間隙間流動(dòng)，節(jié)流器間各節(jié)點(diǎn)的壓力和阻抗關(guān)系可用圖3表示。

根據(jù)流體靜壓原理及電學(xué)歐姆定律知：

(21)

由式(21)可得節(jié)流孔的出口壓力:

(22)

則均壓腔和等效均壓槽出口壓力：

(23)

(24)

利用阻抗模型求解承載力，需要求出氣體流過各節(jié)流器的壓力分布，利用壓力在承載面積上積分求解氣浮支承承載力，氣體流過各個(gè)節(jié)流器其壓力分布如圖4所示。

圖4 氣浮支承壓力分布Fig 4 Aerostatic bearing pressure distribution

圖4中p2、p3表達(dá)式為

(25)

根據(jù)徑向均壓槽氣浮支承壓力分布及邊界條件可推導(dǎo)出承載力表達(dá)式為

(26)

對(duì)式(26)化簡(jiǎn)得：

(27)

(28)

式中：s1，s2分別為等效均壓槽和氣膜的有效節(jié)流面積;Rza和Rzb為系統(tǒng)的阻抗比。

2 阻抗模型理論驗(yàn)證及結(jié)果分析

2.1 阻抗模型承載力驗(yàn)證2.1.1 矩形截面均壓槽模型的驗(yàn)證

利用阻抗模型求解了氣浮支承承載力，為驗(yàn)證阻抗法所求的承載力的準(zhǔn)確性，同時(shí)利用CFD求解了相同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的氣浮支承承載力，比較2種方法所得結(jié)果。氣浮支承的主體結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：Rt=0.1 mm，ht=0.3 mm，Rp=2.5 mm，hp=0.1 mm ,Rf=50 mm。均壓槽結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：Rg=35 mm，hg=0.1 mm,θg=4°,n=4。ps分別為0.3和0.5 MPa，pa=0.1 MPa，hf為10～40 μm。由于文中對(duì)流量函數(shù)進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，當(dāng)hf低于10 μm及hf為10～40 μm時(shí)，流量函數(shù)中分別加入0.41和0.62的修正系數(shù)。利用阻抗模型所計(jì)算的結(jié)果與CFD數(shù)值仿真的結(jié)果對(duì)比如圖5所示。

由圖5可知，利用阻抗法求解出的承載力與CFD數(shù)值仿真方法求解出的承載力具有較好的一致性，承載力隨氣膜厚度增大而逐漸減小，最后趨于平穩(wěn)，且誤差逐漸減小。當(dāng)ps為0.3 MPa時(shí)阻抗法所得結(jié)果與CFD數(shù)值仿真結(jié)果最大誤差為7.43%。當(dāng)ps為0.5 MPa時(shí)其最大誤差為4.23%，總體誤差均在允許范圍內(nèi)，說明利用阻抗模型計(jì)算氣浮支承承載力是具有可行性的。

圖5 不同供氣壓力下的有均壓槽氣浮支承承載力對(duì)比Fig 5 The bearing capacity comparison of aerostatic bearing with pressure groove under different air supply pressure (a) ps=0.3 MPa;(b) ps=0.5 MPa

2.1.2 三角形截面均壓槽模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證文中所建立的阻抗模型對(duì)其他截面形式均壓槽具有通用性，以三角形截面均壓槽為例，利用公式(13)—(15)的方法推導(dǎo)三角形截面均壓槽的等效氣膜厚度：

(29)

三角形截面均壓槽等效阻抗：

(30)

利用上述同樣方法可求出三角形截面均壓槽氣浮支承的承載力。選擇驗(yàn)證的氣浮支承主體結(jié)構(gòu)參數(shù)與上述相同，均壓槽的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：Rg=35 mm，hg=0.1 mm,θg=6°,n=4。ps為0.5 MPa，pa=0.1 MPa，hf為10～40 μm。流量函數(shù)的取值與上述相同，利用阻抗模型所計(jì)算的結(jié)果與CFD數(shù)值仿真的結(jié)果對(duì)比如圖6所示。

圖6 三角形截面均壓槽氣浮支承承載力對(duì)比Fig 6 The bearing capacity comparison of aerostatic bearing with triangle section pressure groove

由圖6可知，利用阻抗模型計(jì)算三角形截面均壓槽與CFD數(shù)值仿真的結(jié)果具有較好的一致性，說明文中所建立阻抗模型對(duì)其他截面形式均壓槽仍然具有適用性。

2.2 阻抗模型的適用性驗(yàn)證

為驗(yàn)證阻抗模型對(duì)無均壓槽具有普適性，文中采用文獻(xiàn)[10]中氣浮支承模型，將阻抗模型和CFD數(shù)值仿真得出數(shù)據(jù)與之進(jìn)行對(duì)比分析。文獻(xiàn)[10]所研究的氣浮支承模型如圖7(a)所示，節(jié)流孔直徑dt為0.2 mm，節(jié)流孔長(zhǎng)度L為1 mm，均壓腔的直徑dp為2 mm，均壓腔高度hp為0.1 mm，軸承外徑為Rf為90 mm，氣膜厚度hf為4～22 μm。進(jìn)氣壓力ps為0.6 MPa，外部環(huán)境壓力pa為0.1 MPa。圖7(b)為分別采用阻抗法和CFD數(shù)值仿真得到氣浮支承承載力對(duì)比圖，可以發(fā)現(xiàn)利用阻抗法和CFD數(shù)值仿真方法計(jì)算出承載力與文獻(xiàn)實(shí)驗(yàn)中得出的數(shù)據(jù)具有一致性，CFD數(shù)值仿真方法結(jié)果與文獻(xiàn)[10]的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最大誤差分別為4.24%和3.36%，阻抗法的結(jié)果與文獻(xiàn)[10]的仿真結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最大誤差分別為9.81%和7.41%。由此可說明，文中所提出的阻抗模型對(duì)無均壓槽模型也適用。

圖7 氣浮支承結(jié)構(gòu)示意和承載力對(duì)比Fig 7 Schematic of aerostatic bearing structure (a) and bearing capacity comparison (b)

2.3 阻抗模型的計(jì)算效率

分別利用阻抗法和CFD數(shù)值仿真計(jì)算以上3種氣浮支承模型，其計(jì)算時(shí)間對(duì)比如表1所示。

由表1可知，利用阻抗法計(jì)算3種不同氣浮支承模型的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于CFD計(jì)算時(shí)間，故利用阻抗法來求解氣浮支承的承載力可大大縮減其計(jì)算周期。

2.4 阻抗模型結(jié)果分析

為探究均壓槽結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)氣浮支承阻抗模型的影響，以矩形截面均壓槽為例，分析不同均壓槽深度、角度及半徑等參數(shù)對(duì)阻抗模型的影響。

2.4.1 均壓槽深度對(duì)阻抗模型的影響分析

取Rg=35 mm，θg=4°，n=4，ps=0.5 MPa，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，hg分別為0.02、0.04、0.06、0.08、0.1 μm時(shí)，探究均壓槽深度對(duì)阻抗系數(shù)的影響，結(jié)果如圖8所示?？芍?，當(dāng)均壓槽深度一定時(shí)，阻抗系數(shù)隨氣膜厚度增大而逐漸減??；當(dāng)氣膜厚度在10～18 μm時(shí)，均壓槽深度增大，阻抗系數(shù)增大；當(dāng)氣膜厚度高于18 μm時(shí)，均壓槽深度增大，阻抗系數(shù)逐漸減小。由公式(18)可知，均壓槽深度增大，阻抗R3減小，阻抗比Rza增大，Rzb減??；由公式 (28)可知，阻抗系數(shù)取決于Rza、Rzb及有效節(jié)流面積的大小，而承載力取決于阻抗系數(shù)的大小。故當(dāng)氣膜厚度較小時(shí)，減小阻抗R3可提高系統(tǒng)阻抗系數(shù)，進(jìn)而提高承載力。

圖8 均壓槽深度對(duì)阻抗系數(shù)的影響Fig 8 The influence of the depth of pressure groove on impedance factor

2.4.2 均壓槽半徑對(duì)阻抗模型的影響分析

取hg=0.1 mm，θg=4°，n=4，ps=0.5 MPa，其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，Rg分別為5、15、25、35 mm時(shí)，探究均壓槽半徑對(duì)阻抗系數(shù)的影響，結(jié)果如圖9所示?？芍?，當(dāng)均壓槽的半徑一定時(shí)，阻抗系數(shù)隨氣膜厚度增大而逐漸減小;當(dāng)氣膜厚度在10～25 μm時(shí)，均壓槽的半徑增大，阻抗系數(shù)先增大后減?。辉跉饽ず穸葹?0 μm，均壓槽半徑為25 mm時(shí)，阻抗系數(shù)能取到最大值。由公式 (18)、 (20)及 (28)可知，均壓槽半徑增大，Rza、Rzb及對(duì)應(yīng)的節(jié)流面積發(fā)生變化，所對(duì)應(yīng)的阻抗系數(shù)存在最佳值使得氣浮支承獲得最大承載力。

圖9 均壓槽半徑對(duì)阻抗系數(shù)的影響Fig 9 The influence of the radius of pressure groove on impedance factor

2.4.3 均壓槽角度對(duì)阻抗模型的影響分析

取hg=0.1 mm，n=4，ps=0.5 MPa，Rg=35 μm,其他結(jié)構(gòu)參數(shù)不變，θg分別為2°、4°、6°、8°、10°時(shí)，探究不同均壓槽角度對(duì)阻抗系數(shù)的影響，結(jié)果如圖10所示?？芍?，當(dāng)均壓槽角度一定時(shí)，阻抗系數(shù)隨氣膜厚度增大而逐漸減??；當(dāng)氣膜厚度一定時(shí)，不同均壓槽角度對(duì)阻抗系數(shù)影響較小。由公式 (18)、(28)知，均壓槽角度增大，阻抗R3增大，但對(duì)阻抗比Rza、Rzb影響較小，故對(duì)阻抗系數(shù)影響較小，進(jìn)而對(duì)其承載力影響較小。

圖10 均壓槽角度對(duì)阻抗系數(shù)的影響Fig 10 The influence of the angle of pressure groove on impedance factor

3 結(jié)論

(1)提出一種計(jì)算氣浮表面布置徑向均壓槽的氣浮支承承載力的阻抗模型，與CFD數(shù)值仿真相比，簡(jiǎn)化了氣浮支承承載力的計(jì)算過程，提高了計(jì)算效率。

(2)提出一種阻抗模型適用表面布置徑向槽結(jié)構(gòu)模型，同時(shí)也適用于無均壓槽模型。

(3)在氣膜厚度較小時(shí),氣浮支承表面布置均壓槽結(jié)構(gòu)可減小等效均壓槽的阻抗，能提高節(jié)流系統(tǒng)的阻抗系數(shù)，進(jìn)而可有效提高氣浮支承的承載力。此外，均壓槽深度、半徑對(duì)系統(tǒng)的阻抗系數(shù)影響較大，均壓槽角度對(duì)其影響不明顯。