史文譜,閆家正,王 浩

(煙臺(tái)大學(xué)機(jī)電汽車工程學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

多跨梁的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)問(wèn)題屬于動(dòng)態(tài)靜不定問(wèn)題,在橋梁工程、海港碼頭、土木建筑、航空航天等領(lǐng)域普遍存在,文獻(xiàn)[1]中介紹的解除約束法、三彎矩法和力法以及文獻(xiàn)[2]中提出的積分法僅能用于求解多跨梁的靜態(tài)問(wèn)題,在機(jī)械振動(dòng)或結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中探討的彈性體的振動(dòng)問(wèn)題也只是限于沒(méi)有多余約束的情形。王海林等[3]對(duì)超靜定梁的變形計(jì)算提出的階躍函數(shù)和拉普拉斯變換相結(jié)合的一種方法,對(duì)于梁上作用有集中載荷的場(chǎng)合處理起來(lái)較為方便;此外還有精細(xì)傳遞矩陣法[4]。周叮[5]針對(duì)多跨梁和板結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題提出了廣義梁函數(shù),并結(jié)合應(yīng)用李茲法進(jìn)行了近似分析和計(jì)算;王真等[6]利用有限元法和車橋單元建立了車橋耦合系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,采用獨(dú)立模態(tài)空間控制法可實(shí)現(xiàn)對(duì)移動(dòng)載荷作用下多跨梁振動(dòng)的少數(shù)模態(tài)主動(dòng)控制的目標(biāo);熊劍鋒等[7]利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)、哈密頓原理和伽遼金方法研究了輪印載荷下多跨梁最危險(xiǎn)工況的計(jì)算,相比有限元法有較高的收斂速度;文獻(xiàn)[8]中作者基于多跨梁彎矩理論建立的船舶管道系統(tǒng)的五跨沖擊響應(yīng)模型,對(duì)于研究大型復(fù)雜管道系統(tǒng)的抗沖擊性能具有較高的近似精度;針對(duì)多跨梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)計(jì)算問(wèn)題還有文獻(xiàn)[9]中提出的沃爾特拉積分方程法、文獻(xiàn)[10]提出的動(dòng)態(tài)格林函數(shù)公式法以及文獻(xiàn)[11]提出的假設(shè)模態(tài)法。有別于上述文獻(xiàn)中的方法,本文針對(duì)鉸支多跨梁在穩(wěn)態(tài)載荷作用下的動(dòng)態(tài)撓度計(jì)算問(wèn)題提出的正弦級(jí)數(shù)解法,推導(dǎo)簡(jiǎn)單,算法統(tǒng)一,編程簡(jiǎn)單,易于電算,收斂速度快,給出的2個(gè)算例說(shuō)明了方法的可行性。

1 問(wèn)題模型及分析

圖1是一根鉸支多跨梁A0An,承受穩(wěn)態(tài)分布載荷q(x,t)=Q(x)e-iωt的作用。多跨梁共有n+1個(gè)鉸支,中間鉸支分別標(biāo)記為Aj(j=1,2,…,n-1),第j個(gè)鉸支到左端鉸支點(diǎn)A0的距離為L(zhǎng)j(j=1,2,…,n),梁材質(zhì)的楊氏模量為E,截面慣性矩為J,建立圖示坐標(biāo)系xA0y。

圖1 鉸支多跨梁的受力Fig.1 Loaded force of hinged beams with multiple spans

從梁上任意位置x處選取單元體dx,并進(jìn)行受力分析如圖2。

圖2 梁?jiǎn)卧芰Ψ治鯢ig.2 Force analysis of beam element

根據(jù)材料力學(xué)和牛頓第二定律有

(1)

其中：w(x,t)是梁的撓度函數(shù),wtt(x,t)是撓度關(guān)于時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù),wxx(x,t)是撓度關(guān)于變量x的二階導(dǎo)數(shù),ρ和S分別是梁的質(zhì)量體積密度和橫截面積。

整理式(1)得

(2)

其中：wxxxx是梁的撓度函數(shù)w(x,t)關(guān)于坐標(biāo)x的四階導(dǎo)數(shù)。

穩(wěn)態(tài)振動(dòng)時(shí),假設(shè)w(x,t)=W(x)e-iωt,同時(shí)將q(x,t)=Q(x)e-iωt一并代入式(2)中有

Wxxxx-K2W=Q/EJ,

(3)

根據(jù)問(wèn)題的邊界條件,多跨梁在鉸支點(diǎn)A0,A1,…,An處的撓度均為零,并假設(shè)中間多余約束支撐點(diǎn)A1,A2,…,An-1處的支反力分別為p1,p2,…,pn-1,方向向下,同時(shí)假設(shè)預(yù)先滿足兩端鉸支點(diǎn)A0和An處撓度為零邊界條件的撓度函數(shù)幅值取如下正弦級(jí)數(shù)形式

(4)

其中,ak(k=1,2,…)是待定系數(shù)。

由于在中間鉸支點(diǎn)A1,A2,…,An-1處的撓度也為零,故式(4)還需滿足下列方程組

(5)

假設(shè)支反力p1,p2,…,pn-1分別取Pje-iωt,(j=1,2,…,n-1),考慮上支反力,且利用廣義函數(shù)δ的定義和性質(zhì),方程(3)改寫為

(6)

其中,廣義函數(shù)δ(x-Lj)定義為

其中,式(6)中的Pj(j=1,2,…,n-1)是第j個(gè)鉸支點(diǎn)處支反力的幅值。

(7)

(8)

因而

j=1,2,…,n-1;k=1,2,…,

將式(9)代入式(5)中有

(10)

r=1,2,…,n-1,

(11)

式(11)是關(guān)于Pj(j=1,2,…,n-1)的線性方程組,求得Pj(j=1,2,…,n-1)后,即可求得cjk(j=1,2,…,n-1;k=1,2,…)和ak(k=1,2,…),最后可確定出梁的撓度函數(shù)幅值W(x)。

此外,從式(6)容易看出,當(dāng)載荷頻率ω→0,即K→0時(shí),它將退化為多跨梁的靜態(tài)變形問(wèn)題,且靜態(tài)撓度w(0)(x)滿足下列方程

(12)

為了說(shuō)明文中方法的可行性,對(duì)于方程(12)的求解是采用文獻(xiàn)[1]中的解除約束法完成的,并用于算例的驗(yàn)算。

2 算例與分析

算例1考慮只有一個(gè)中間鉸支A1的情形,已知L1=3 m,L2=7 m。梁采用方管制作,方管截面外部寬高分別為b=0.21 m和h=0.41 m;內(nèi)部寬高分別為b1=0.19 m和h1=0.39 m;方管材質(zhì)楊氏模量為E=2.5×109N/m2;外載線分布密度為Q=260 N/m,方向向下;式(4)級(jí)數(shù)中的項(xiàng)數(shù)取N=100,計(jì)算精度取ε=10-5。外載荷頻率ω為1,6,11,16 rad/s時(shí)計(jì)算結(jié)果如圖3(a);載荷頻率ω為10,20,30,40 rad/s時(shí),計(jì)算結(jié)果如圖3(b);載荷頻率ω為100,200,300,400 rad/s時(shí)計(jì)算結(jié)果如圖3(c)。為了說(shuō)明本文方法的可行性,特別令外載荷頻率ω很小,比如ω為0.01,0.06,0.11,0.16 rad/s時(shí),動(dòng)靜撓度之差的計(jì)算結(jié)果如圖4;當(dāng)頻率ω為100,200,300,400 rad/s時(shí),動(dòng)靜撓度之差的計(jì)算結(jié)果如圖3(c),梁的動(dòng)力響應(yīng)性質(zhì)已很明顯了。從圖3(a)—(c)容易看出,梁在A0點(diǎn)、A1點(diǎn)和A2點(diǎn)撓度始終為零,滿足邊界條件;隨著載荷頻率ω的增加(比如圖3(b)的ω≤40 rad/s),梁的撓度幅度逐步增加,但在外載頻率較大時(shí)(比如圖3(c)的ω≥100 rad/s),梁的撓度幅值響應(yīng)不再具有明顯的規(guī)律性。從圖4(a)看出,當(dāng)載荷頻率很小(比如10-2量級(jí)),梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)已不明顯,靜態(tài)特性較為顯著,這也說(shuō)明了本文方法計(jì)算結(jié)果的正確性。從圖4(b)看出,當(dāng)載荷頻率較大時(shí)(比如102量級(jí)),梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)已很明顯,靜動(dòng)撓度之差較為顯著。由于本例多跨梁結(jié)構(gòu)支撐不對(duì)稱,中間支撐偏于左端,故其靜動(dòng)態(tài)撓度響應(yīng)也是不對(duì)稱的;當(dāng)外載荷頻率較小時(shí)(比如10-2量級(jí))撓度偏差在中間支撐處有較強(qiáng)波動(dòng),但波動(dòng)幅度在10-9量級(jí),說(shuō)明原動(dòng)態(tài)問(wèn)題已經(jīng)接近于靜態(tài)問(wèn)題,動(dòng)力效應(yīng)不明顯,這也說(shuō)明了本文方法的可行性。

圖3 雙跨梁的撓度響應(yīng)幅值隨載荷頻率的變化Fig.3 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the double-span beam with different loading frequencies

圖4 雙跨梁的靜動(dòng)撓度響應(yīng)幅值差隨載荷頻率的變化Fig.4 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the double-span beam with different loading frequencies

算例2考慮有3個(gè)中間支撐的鉸支多跨梁情形,L1=3 m,L2=6 m,L3=9 m,L4=12 m,其他條件同算例1。當(dāng)穩(wěn)態(tài)擾動(dòng)頻率ω為1,6,11,16 rad/s時(shí),計(jì)算結(jié)果如圖5(a);擾動(dòng)頻率ω為10,20,30,40 rad/s時(shí),計(jì)算結(jié)果如圖5(b);擾動(dòng)頻率ω為100,200,300,400 rad/s時(shí)計(jì)算結(jié)果如圖5(c)。當(dāng)擾動(dòng)頻率ω為0.01,0.06,0.11,0.16 rad/s時(shí),動(dòng)靜撓度幅值之差的計(jì)算結(jié)果如圖6(a);擾動(dòng)頻率ω為100,200,300,400 rad/s時(shí),動(dòng)靜撓度幅值之差的計(jì)算結(jié)果如圖6(b)。從這些結(jié)果可以看出,由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱、約束對(duì)稱和受載對(duì)稱,故多跨梁的撓度變形也是對(duì)稱的。

圖5 4跨梁的撓度響應(yīng)幅值隨載荷頻率的變化Fig.5 Variations of the deflection amplitude of the four-span beam with different loading frequencies

圖6 4跨梁的靜動(dòng)撓度響應(yīng)幅值差隨載荷頻率的變化Fig.6 Variations of the difference of the static and dynamic deflection amplitude of the four-span beam withdifferent loading frequencies

從圖6(a)看出,載荷頻率較小時(shí)(比如10-2量級(jí)),梁的動(dòng)靜撓度幅值之差在10-9量級(jí)變化范圍內(nèi),說(shuō)明兩者相差不大,可當(dāng)作靜力學(xué)問(wèn)題處理;當(dāng)然,本文方法和解除約束法的計(jì)算結(jié)果在梁的中間3個(gè)支撐處的波動(dòng)較為強(qiáng)烈,但波動(dòng)幅度都在10-9～10-8量級(jí)變化范圍內(nèi),完全可以忽略。

從上述2個(gè)算例的實(shí)際計(jì)算過(guò)程來(lái)看,算例1是雙跨梁,算例2是四跨梁,級(jí)數(shù)(4)中都取了N=100,但兩者的計(jì)算收斂速度和精度幾乎完全一樣,這說(shuō)明本文算法對(duì)于多跨梁中間支撐的數(shù)量是不敏感的;此外,改變分布載荷線密度的大小進(jìn)行試算,本文算法仍然收斂,收斂情況同文中算例,這里不再列出。

3 結(jié) 論

從理論分析和數(shù)值算例結(jié)果看,有如下結(jié)論

(1)當(dāng)載荷頻率為10-2量級(jí)時(shí),結(jié)構(gòu)的靜動(dòng)態(tài)響應(yīng)差別很小,基本上可以忽略;

(2)當(dāng)載荷頻率為101量級(jí)時(shí),隨著頻率的增加,梁的撓度響應(yīng)幅值也逐步增大;

(3)當(dāng)載荷頻率為102量級(jí)時(shí),梁的撓度響應(yīng)幅值的變化失去規(guī)律性;

(4)隨著多跨梁中間支撐數(shù)量的增加,解除約束法的繁瑣過(guò)程已很明顯,而本文算法因?yàn)榫幊倘菀?、易于電算且收斂速度快的特點(diǎn)在算例計(jì)算過(guò)程中已具優(yōu)勢(shì);

(5)從本文理論分析看出,文中算法對(duì)于梁上作用的載荷種類和數(shù)量沒(méi)有限制,其處理過(guò)程的簡(jiǎn)易性和統(tǒng)一性不受多大影響,但對(duì)于解除約束法來(lái)說(shuō),這種影響會(huì)非常明顯。