朱本浩,于立新

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

雙曲型方程組在理論和應(yīng)用上都具有重大意義。文獻(xiàn)[1]和[2]對(duì)線(xiàn)性雙曲型方程組建立了精確能控性和一致穩(wěn)定性的完整理論,文獻(xiàn)[1]和[3]分別運(yùn)用Hilbert唯一性方法和Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理提出了半線(xiàn)性波動(dòng)方程的整體(局部)精確邊界能控性。 對(duì)于擬線(xiàn)性雙曲型方程組,文獻(xiàn)[4-6]已經(jīng)建立了完備的局部精確邊界能控性理論。 基于此理論,文獻(xiàn)[7-11]建立了樹(shù)狀網(wǎng)絡(luò)中擬線(xiàn)性雙曲型方程組的精確邊界能控性理論。 之后,文獻(xiàn)[12]和[13]提出了一種名為“節(jié)點(diǎn)精確邊界控制”的精確邊界控制,并且建立相應(yīng)的完整理論。

以上所有關(guān)于擬線(xiàn)性雙曲型方程組的理論均要求該擬線(xiàn)性雙曲型方程組既具有正特征值又具有負(fù)特征值,然而,對(duì)于只含有正特征值(負(fù)特征值)擬線(xiàn)性雙曲型方程組的研究少之又少。但是該情況在理論和應(yīng)用上都有重大作用,如研究超臨界非穩(wěn)定流的精確能控性等,為研究該理論,本文將給出具有單一符號(hào)特征值的一階擬線(xiàn)性雙曲型方程組的初值問(wèn)題和具有一般非線(xiàn)性邊界條件的混合初-邊值問(wèn)題半整體解的存在唯一性,并在此基礎(chǔ)上建立具有單一符號(hào)特征值的擬線(xiàn)性雙曲型方程組的精確邊界能控性理論。并且,本文將提出一種新的精確邊界控制:在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間T>0內(nèi),存在邊界控制,使系統(tǒng)的解在給定時(shí)間內(nèi)達(dá)到終端條件和給定節(jié)點(diǎn)條件。

考慮如下一階擬線(xiàn)性雙曲型方程組

(1)

其中,u=(u1,u2,…,un)是關(guān)于(t,x)的未知向量函數(shù),A(u)是給定的具有光滑分量aij(u)(i,j=1,…,n)的n階矩陣,F(u)=(f1(u),…,fn(u))是一給定的關(guān)于u的向量函數(shù),其中fi(u)(i=1,…,n)充分光滑,并且

F(0)=0,

(2)

顯然,u=0是方程組(1)的一個(gè)平衡點(diǎn).

由雙曲型的定義知,在考慮的區(qū)域上,矩陣A(u)有n個(gè)實(shí)特征值λi(u)(i=1,…,n)和一組線(xiàn)性無(wú)關(guān)的左特征向量li(u)=(li1(u),…,lin(u))(i=1,…,n),即

li(u)A(u)=λi(u)li(u) (i=1,…,n)。

我們有

det|lij(u)|≠0,

(3)

假設(shè)在考慮的區(qū)域上,特征值滿(mǎn)足

λi(u)>0 (i=1,…,n) 。

(4)

令

vi=li(u)u(i=1,…,n)，

(5)

為了研究方程組(1)的精確邊界能控性,給定初始條件

t=0:u=φ(x),0≤x≤L，

(6)

其中L是區(qū)間長(zhǎng)度。給定如下邊界條件

x=0:vi=hi(t) (i=1,…,n)，

(7)

其中hi(t)(i=1,…,n)是在其定義域上的C1函數(shù)。

第1部分給出了具有單一符號(hào)特征值的擬線(xiàn)性雙曲型方程組(1)的柯西問(wèn)題C1解的存在唯一性結(jié)論,以及雙曲型方程組(1)混合初-邊值問(wèn)題的半整體C1解的存在唯一性結(jié)論。

在第2部分,基于具有單一符號(hào)特征值的擬線(xiàn)性雙曲型方程組的混合初-邊值問(wèn)題的半整體C1解的存在唯一性結(jié)論,得到擬線(xiàn)性雙曲型方程組(1)的經(jīng)典精確邊界能控性和一種新的精確邊界能控性結(jié)論。

1 一階擬線(xiàn)性雙曲型方程組的半整體C1解

為了得到擬線(xiàn)性雙曲型方程組(1)的精確邊界能控性,有必要考慮其在區(qū)間[0,T]上的半整體C1解,其中T>0是已知的,適當(dāng)大的數(shù)。文獻(xiàn)[14]和[15]建立了既有正特征值又有負(fù)特征值的擬線(xiàn)性雙曲型方程組混合初-邊值問(wèn)題半整體C1解的存在唯一性定理。 對(duì)于只有正特征值(負(fù)特征值)的情況,與文獻(xiàn)[14]和[15]類(lèi)似,我們有

引理1 假設(shè)aij(u),λi(u),fi(u)(i=1,…,n)和φ(x)都是關(guān)于其對(duì)應(yīng)變量的C1函數(shù),且式(2)、(3)和(4)成立。則柯西問(wèn)題(1)和(6)在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}存在唯一的C1解u=u(t,x),其中t=t(x)是過(guò)點(diǎn)(t,x)=(0,0)的最小的特征線(xiàn)

且當(dāng)||φ||C1[0,L]充分小(取決于T)時(shí),u=u(t,x)的C1模充分小。

引理2 假設(shè)aij(u),λi(u),fi(u),hi(t)(i,j=1,…,n)和φ(x)都是關(guān)于其對(duì)應(yīng)變量的C1函數(shù),式(2)、(3)和(4)成立,且在點(diǎn)(t,x)=(0,0)的C1相容性條件成立,那么對(duì)任意給定的T0>0,混合初-邊值問(wèn)題(1)、(6)和(7)在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤t(x),0≤x≤L}上存在唯一的半整體C1解u=u(t,x),其中t=t(x)是過(guò)點(diǎn)(t,x)=(0,0)的最小的特征線(xiàn)

且當(dāng)||φ||C1[0,L]和||hi||C1[0,L]充分小(取決于T0)時(shí),u=u(t,x)的C1模充分小。

2 一階擬線(xiàn)性雙曲型方程組的精確邊界能控性

本部分將討論在一般非線(xiàn)性邊界條件下,具有單一符號(hào)特征值擬線(xiàn)性雙曲型方程組的精確邊界能控性。 首先考慮任意給定初值φ∈C1[0,L]和終值ψ∈C1[0,L],能否找到時(shí)間T>0和在x=0處的邊界控制hi(t)(i=1,…,n),使得混合初-邊值問(wèn)題(1)、(6)和(7)在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的半整體C1解u=u(t,x)滿(mǎn)足終端條件

t=T:u=ψ(x), 0≤x≤L。

(8)

對(duì)此有如下定理:

定理1假設(shè)λi(u),li(u)和fi(u)都是關(guān)于其對(duì)應(yīng)變量的C1函數(shù),且式(2)、(3)和(4)成立。如果

(9)

則對(duì)任意給定C1模充分小的初值φ∈C1[0,L]和終值ψ∈C1[0,L],存在x=0處C1模充分小的邊界控制hi(t)∈C1[0,L](i=1,…,n),使得混合初-邊值問(wèn)題(1)、(6)和(7)在區(qū)域R(T)上存在唯一的C1模充分小的半整體C1解u=u(t,x)滿(mǎn)足終端條件(8)。

為了證明定理1,只需證明以下引理:

引理3在定理1的條件下,T>0由式(9)定義。對(duì)任意給定C1模充分小的初值φ∈C1[0,L]和終值ψ∈C1[0,L],方程組(1)在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的C1模充分小的半整體C1解u=u(t,x),且滿(mǎn)足初始條件(6)和終端條件(8)。

實(shí)際上,設(shè)u=u(t,x)是方程組(1)由引理3得到的一個(gè)解,令

hi(t)=vi|x=0(i=1,…,n)，

(10)

其中vi(i=1,…,n)由式(5)定義,則u=u(t,x)是混合初-邊值問(wèn)題(1)、(6)和(7)在區(qū)域R(T)上滿(mǎn)足終端條件(8)的半整體C1解。 由引理2知,此解唯一，因此我們實(shí)現(xiàn)所需的精確邊界可控性,邊界控制hi(t)(i=1,…,n)由式(10)定義。 下面來(lái)證明引理3。

證明由式(9)知,存在ε0>0使

(11)

令

(12)

(Ⅰ)首先考慮方程組(1)的后向混合初-邊值問(wèn)題:終端條件(8)和人為給定邊界條件

x=L:vi=fi(t),T1≤t≤T(i=1,…,n),

其中vi(i=1,…,n)由式(5)定義,fi(t)∈C1[T1,T](i=1,…,n)為任意給定關(guān)于t的C1模充分小的函數(shù),且在點(diǎn)(t,x)=(T,L)滿(mǎn)足C1相容性條件。 由引理2,在區(qū)域Rb={(t,x)|T1≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的C1模充分小的半整體C1解u=ub(t,x)。

特別地,有|ub(t,x)|≤ε0, ?(t,x)∈Rb。

定義ub在x=0處的值為

由式(11)和(12)知,存在定義在區(qū)間[0,T]上C1模充分小的C1函數(shù)a(t),在(t,x)=(0,0)點(diǎn)和初始條件(6)滿(mǎn)足C1相容性條件,且

(Ⅱ)考慮方程組(1)的前向混合初-邊值問(wèn)題:初始條件(6)和邊界條件

x=0:vi=li(a(t))a(t) (i=1,…,n)，

(13)

易知混合初-邊值問(wèn)題(1),(6)和(13)在(t,x)=(0,0)處滿(mǎn)足C1相容性條件。 由引理2知,在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一C1模充分小的半整體C1解u=u(t,x)。

特別地,有|u(t,x)|≤ε0, ?(t,x)∈R(T)。

(Ⅲ)為了完成引理3的證明,只需證明u=u(t,x)滿(mǎn)足終端條件(8)。 由于方程組(1)沒(méi)有零特征值,對(duì)換t和x的位置,方程組(1)可以被等價(jià)改寫(xiě)為

(14)

顯然

易知A-1(u)和A(u)具有相同的特征向量,因此對(duì)于方程組(14),vi(i=1,…,n)依然可以由式(5)定義。

由引理1,方程組(14)具初始條件

(15)

由式(5)定義函數(shù)

V=(v1,v2,…,vn)=L(u),

(16)

其中u=(u1,u2,…,un)。

當(dāng)u=0時(shí)

(17)

由反函數(shù)定理知在u=0附近存在反函數(shù)L滿(mǎn)足

L-1(V)=u,

(18)

若u=u(t,x)滿(mǎn)足邊界條件

x=0:vi=li(a(t))a(t), 0≤t≤T(i=1,…,n),

(19)

有u=u(t,x)也滿(mǎn)足

x=0:u=L-1(v)=L-1(L(a(t)))=a(t),

(20)

u(t,x)≡u(píng)b(t,x)≡u(píng)r(t,x)。

(21)

定理2假設(shè)λi(u),li(u)和fi(u)都是關(guān)于其對(duì)應(yīng)變量的C1函數(shù),且式(2)、(3)和(4)成立。如果

(22)

為了證明定理2,只需證明以下引理:

實(shí)際上,設(shè)u=u(t,x)是方程組(1)由引理4得到的一個(gè)解,令

其中vi(i=1,…,n)由式(5)定義,則u=u(t,x)是混合初-邊值問(wèn)題(1)、(6)和(7)在區(qū)域R(T)上滿(mǎn)足終端條件(8)和邊界值(21)的半整體C1解,由引理2知此解唯一。 因此我們實(shí)現(xiàn)了精確邊界可控性,且邊界控制hi(t)(i=1,…,n)由式(10)定義。 下面證明引理4。

證明由式(22)知,存在ε0>0使

(23)

令

(24)

(Ⅰ)首先考慮方程組(1)后向混合初-邊值問(wèn)題:終端條件(8)和邊界條件

其中vi(i=1,…,n)由式(5)定義,由引理2在區(qū)域Rb={(t,x)|t(x)≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的C1模充分小的半整體C1解u=ub(t,x)。

特別地,有

|ub(t,x)|≤ε0, ?(t,x)∈Rb。

定義ub在x=0處的值為

由式(23)和(24)知,存在定義在區(qū)間[0,T]上C1模充分小的C1函數(shù)a(t),在(t,x)=(0,0)點(diǎn)和初值(6)滿(mǎn)足C1相容性條件,且

(Ⅱ)考慮方程組(1)的前向混合初-邊值問(wèn)題:初始條件(6)和邊界條件

x=0:vi=li(a(t))a(t) (i=1,…,n),

(25)

易知混合初-邊值問(wèn)題(1),(6)和(25)在(t,x)=(0,0)處滿(mǎn)足C1相容性條件。 由引理2知,在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一C1模充分小的半整體C1解u=u(t,x)。

特別地,有

|u(t,x)|≤ε0, ?(t,x)∈R(T)。

(Ⅲ)為了完成引理4的證明,只需證明u=u(t,x)滿(mǎn)足終端條件(8)和邊界值(21)。 由于方程組(1)沒(méi)有零特征值,對(duì)換t和x的位置,方程組(1)可以被等價(jià)改寫(xiě)為

(26)

顯然

易知A-1(u)和A(u)具有相同的特征向量。 因此對(duì)于方程組(26),vi(i=1,…,n)依然可以由式(5)定義。

由引理1,方程組(26)具初始條件

(27)

由式(5)定義函數(shù)

V=(v1,v2,…,vn)=L(u),

其中u=(u1,u2,…,un)。

當(dāng)u=0時(shí),

由反函數(shù)定理知在u=0附近存在反函數(shù)L滿(mǎn)足

L-1(V)=u。

若u=u(t,x)滿(mǎn)足邊界條件

x=0:vi=li(a(t))a(t),

0≤t≤T(i=1,…,n),

則u=u(t,x)也滿(mǎn)足

x=0:u=L-1(V)=L-1(L(a(t)))=a(t),

u(t,x)≡u(píng)b(t,x)≡u(píng)r(t,x)。

(28)

證明首先考慮方程組(1)的前向混合初-邊值問(wèn)題:初始條件(6)和邊界條件

(29)

特別地,有

|uf(t,x)|≤ε0, ?(t,x)∈Rf。

(30)

令

則方程組(1)具初始條件(6)和邊界條件

x=0:vi=hi(t), 0≤t≤T(i=1,…,n)

的前向混合初-邊值問(wèn)題在區(qū)域R(T)={(t,x)|0≤t≤T,0≤x≤L}上存在唯一的C1模充分小的半整體C1解u=u(t,x)且滿(mǎn)足終端條件(8)。 由于u=u(t,x)滿(mǎn)足式(29),與式(16)-(20)的證明類(lèi)似,易知u=u(t,x)滿(mǎn)足邊界值(28)。 定理3得證。

由定理2和定理3,顯然有如下定理: