孫一凡，崔 杰，張寧寧，王天宇，趙乾宇，代雨辰

（沈陽航空航天大學(xué)理學(xué)院，遼寧 沈陽 110136）

0 引言

本文圍繞實(shí)際生活中的水箱問題進(jìn)行相關(guān)的研究。已知長方體以及兩固定水箱的長度、寬度等幾何參數(shù)，給定長方體始態(tài)“平放”和終態(tài)“豎放”的放置方式。探究注入水箱中水的比例不同（兩水箱的比例是相同的）對于長方體的形心與重心位置變化關(guān)系的影響[1-2]。同時(shí)為了能使長方體在“平放”到“豎放”過程中，形心與重心之間的距離最小，分別探究兩個(gè)固定水箱共同的傾斜角度和兩個(gè)水箱斜放角度不同時(shí)的情況，找到最合適的傾斜角度。

1 重心軌跡模型構(gòu)建

左下水箱邊長長度關(guān)系：

將左下水箱向上轉(zhuǎn)動(dòng)φ 角度，主視圖如圖1、圖2 所示，水箱內(nèi)虛線為最開始的水平面，黑色實(shí)線為水平面，高于初始水平面的水量為初始虛線下的黑色實(shí)線上的水量的移動(dòng)[3-5]，選取原始水平面中點(diǎn)，通過研究該點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡來反映整個(gè)水箱轉(zhuǎn)動(dòng)過程的運(yùn)動(dòng)方程。

圖1 左下水箱轉(zhuǎn)動(dòng)φ 角度

圖2 右上水箱轉(zhuǎn)動(dòng)φ 角度

半徑長度一定得到的條件，見式（1）、式（2）。

其中：h1——初始水位；Δx——代表點(diǎn)x 軸坐標(biāo)增量。

利用角度得到的條件，見式（3）、式（4）。

右上水箱邊長長度關(guān)系，見式（5）。

半徑長度一定得到的條件，見式（6）。

利用初始水平面得到的條件，見式（7）、式（8）。

初始水位不同會(huì)導(dǎo)致粒子數(shù)不同，如表1、表2 所示。

表1 左上水箱水位不同情況下的粒子數(shù)

表2 右上水箱水位不同情況下的粒子數(shù)

長方體重心坐標(biāo)，見式（9）。

2 模型求解

通過對上下水箱的橫縱坐標(biāo)改變量的整理可以得到左右各水箱的Δx，Δy 結(jié)果，并得到重心軌跡變化曲線。

這里以比例0.25 為例，如圖3 所示。

圖3 比例0.25 時(shí)重心的軌跡

3 形心軌跡模型

3.1 模型建立

形心軌跡如圖4 所示。

圖4 形心軌跡

根據(jù)形心相對位置不變條件得到半徑，見式（10）。

根據(jù)角度的條件得到式（11）。

3.2 模型的求解

根據(jù)兩點(diǎn)間距離見式（12）～式（14）。

d=-0.002046θ4+0.07112θ3-0.992θ2+6.172θ-11.91； （12）

d=-0.003081θ4+0.1028θ3-1.351θ2+8.509θ-1.51； （13）

d=-0.001418θ4+0.05115θ3-0.7564θ2+5.48θ-9.602。 （14）

重心與形心間隔隨φ 的變化如圖5～圖7 所示。根據(jù)圖像來看，在比例為0.25 時(shí)，兩心之間的距離都是隨著角度φ 的增大先減小后增大；在比例為0.5 時(shí)，兩心之間的距離都是隨著角度φ的增大先增大后減??；在比例為0.75 時(shí)，兩心之間的距離都是隨著角度φ 的增大持續(xù)減小。

圖5 比例0.25 時(shí)重心與形心間隔隨φ 的變化

圖6 比例0.5 時(shí)重心與形心間隔隨φ 的變化

圖7 比例0.75 時(shí)重心與形心間隔隨φ 的變化

4 結(jié)論

本文圍繞實(shí)際生活中的水箱重心變化問題進(jìn)行建模分析研究，基于SPH 粒子化思想和曲線擬合手段，將液體水看做若干等大等距的粒子來模擬了水流動(dòng)過程。首先研究水箱中水比例相同時(shí)隨長方體反轉(zhuǎn)角度不同增大時(shí)該比例對重心與形心之間距離的影響，在求取距離同角度變化的函數(shù)時(shí)，以粒子的運(yùn)動(dòng)來代替流體的運(yùn)動(dòng)。最后對所有點(diǎn)進(jìn)行求和操作，得到最終的重心運(yùn)動(dòng)軌跡。