鄔開俊，閆明俊

(蘭州交通大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，蘭州 730000)

0 引 言

混沌是確定性非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生的一種復(fù)雜現(xiàn)象，其表現(xiàn)的是系統(tǒng)內(nèi)部的復(fù)雜性、隨機(jī)性和無序性?；煦缤綖榛煦缦到y(tǒng)之間的相互作用，是兩系統(tǒng)通過調(diào)節(jié)各自的行為，最后趨于一致的現(xiàn)象[1-5]。在20世紀(jì)90年代初，Pecora和Carroll通過電路實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了混沌同步，為混沌系統(tǒng)研究打開了新世界[6]；目前混沌同步的方法有驅(qū)動(dòng)-響應(yīng)同步、線性反饋同步、耦合同步和自適應(yīng)同步等[7-11]；文獻(xiàn)[12]采用反演自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑?？刂茖?shí)現(xiàn)了帶有不確定參數(shù)的耦合FitzHugh-Nagumo(FHN)神經(jīng)元系統(tǒng)的混沌同步；文獻(xiàn)[13]將自適應(yīng)同步方法與滑?？刂品椒ㄏ嘟Y(jié)合，實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)異結(jié)構(gòu)混沌系統(tǒng)的同步。

神經(jīng)元作為神經(jīng)系統(tǒng)最基本的結(jié)構(gòu)和功能單位，其能感受刺激和傳導(dǎo)興奮，大量的電生理實(shí)驗(yàn)表明，神經(jīng)元本身就是一個(gè)高度復(fù)雜的非線性獨(dú)立系統(tǒng)，在不同的離子濃度或者不同的外界刺激電流作用下，會(huì)表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為[14-15]。但在神經(jīng)系統(tǒng)中，信息的傳遞至少需要兩個(gè)以上的神經(jīng)元來完成，所以研究兩個(gè)甚至多個(gè)神經(jīng)元的同步有重要的意義。目前關(guān)于神經(jīng)元同步的研究，大都是兩個(gè)或多個(gè)相同的神經(jīng)元同步問題。因此，本文在對(duì)FHN和Morris-Lecar(ML)神經(jīng)元模型研究的基礎(chǔ)上，對(duì)兩個(gè)不同神經(jīng)元的混沌同步問題進(jìn)行了研究。

1 神經(jīng)元模型

1.1 FHN神經(jīng)元模型

FHN神經(jīng)元模型是Hodgkin-Huxley(H-H)神經(jīng)元模型的簡(jiǎn)化模型[16]，本文在簡(jiǎn)化模型的基礎(chǔ)上研究交流電刺激對(duì)神經(jīng)元產(chǎn)生的影響，其具體的微分方程如下：

式中：V1為一個(gè)快變量，為神經(jīng)元的膜電位；t為時(shí)間；W1為一個(gè)慢變量，是恢復(fù)變量，為Na+和K+通道失活的綜合效應(yīng)；Iext為外部的刺激電流；c為神經(jīng)元膜電位和恢復(fù)變量之間的時(shí)間比率；a為神經(jīng)元受到的輸入電流值；b為膜電位和恢復(fù)變量之間的影響強(qiáng)度。

對(duì)于上述模型，取參數(shù)a=0.7，b=0.8，c=3，令其外部刺激電流為交流電，即令I(lǐng)ext=0.6sin(wt)，w為角頻率，通過改變交流電頻率來改變外部刺激電流進(jìn)而研究外部刺激電流對(duì)FHN神經(jīng)元?jiǎng)恿W(xué)行為產(chǎn)生的影響。圖1所示為w對(duì)應(yīng)的峰峰間期(Inter Spike Interval, ISI)分岔圖及不同交流電刺激對(duì)應(yīng)的FHN神經(jīng)元時(shí)間歷程圖和相平面圖。保持其他參數(shù)取值不變，當(dāng)w的取值范圍為[1.2,3.0]時(shí)，對(duì)應(yīng)的ISI分岔圖如圖1(a)所示，圖1(b)所示為其局部放大圖，由圖可知，當(dāng)w=1.20時(shí)，F(xiàn)HN神經(jīng)元為周期為2的周期放電活動(dòng)，隨著參數(shù)w的增大，F(xiàn)HN神經(jīng)元的放電活動(dòng)發(fā)生了改變。為了更好地觀察FHN神經(jīng)元的放電行為，對(duì)w進(jìn)行取值，得到對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖和相平面圖。當(dāng)w=1.40時(shí)，F(xiàn)HN神經(jīng)元為周期為2的峰放電活動(dòng)，如圖1(c) 所示，同樣(V1,W1)平面上的相平面圖也表明其為周期為2的周期放電活動(dòng)，如圖1(d) 所示；當(dāng)w=1.96時(shí)，F(xiàn)HN神經(jīng)元為混沌放電狀態(tài)，如圖1(e) 所示，其(V1,W1)平面上的相平面圖為很多不封閉的曲線，表明神經(jīng)元處于混沌狀態(tài)，如圖1(f) 所示；當(dāng)w=2.40時(shí)，F(xiàn)HN神經(jīng)元為周期為3的峰放電活動(dòng)，如圖1(g) 所示，其(V1,W1)平面上的相平面圖也表明神經(jīng)元為周期為3的周期放電活動(dòng)，如圖1(h) 所示 。

圖1 w對(duì)應(yīng)的ISI分岔圖及不同交流電刺激對(duì)應(yīng)的FHN神經(jīng)元時(shí)間歷程圖和相平面圖

1.2 ML神經(jīng)元模型

ML神經(jīng)元模型是借鑒北極鵝的肌肉纖維研究結(jié)果而建立起來的一個(gè)二維模型[17-18]，本文采用改進(jìn)后的ML神經(jīng)元模型，其微分方程如下：

式中：V2為神經(jīng)元的膜電位；W2為神經(jīng)元的恢復(fù)變量；I2為慢變調(diào)節(jié)電流；gCa、gK和gL分別為Ca2+、K+和漏電流通道的最大電導(dǎo)；VCa、VK和VL分別為相應(yīng)于上述通道的反轉(zhuǎn)電壓；λ(V2)為激活時(shí)間常數(shù)；m∞(V2)和W∞(V2)分別為Ca2+和K+離子通道打開概率的穩(wěn)態(tài)值；μ為一個(gè)常數(shù)。

上述ML神經(jīng)元模型的部分參數(shù)分別取值為gCa=1.2 μF/cm2，VCa=1 mV，gK=2 μF/cm2，gL=0.5 μF/cm2，VL=-0.5 mV，μ=0.005，保持其他參數(shù)不變，研究VCa的變化對(duì)系統(tǒng)的影響，圖2所示為VCa對(duì)應(yīng)的ISI分岔圖及不同VCa對(duì)應(yīng)的ML神經(jīng)元時(shí)間歷程圖和相平面圖。當(dāng)VCa的取值范圍為[0.55,0.90]時(shí)，對(duì)應(yīng)的ISI分岔圖如圖2(a)所示，圖2(b)所示為其局部放大圖，由圖可知，隨著VCa的增大，ML神經(jīng)元的放電活動(dòng)發(fā)生了改變。為了更好地觀察ML神經(jīng)元的放電行為，對(duì)VCa進(jìn)行取值，得出對(duì)應(yīng)的時(shí)間歷程圖和相平面圖，當(dāng)VCa=0.60 mV時(shí)，ML神經(jīng)元系統(tǒng)為周期為5的簇放電活動(dòng)，如圖2(c) 所示，同樣從其(I2,V2)平面上的相平面圖觀察到神經(jīng)元為周期為5的周期放電活動(dòng)，如圖2(d) 所示；當(dāng)VCa=0.83時(shí)，ML神經(jīng)元系統(tǒng)為混沌放電狀態(tài)，如圖2(e) 所示，其(I2,V2)平面上的相平面圖也表明其處于混沌狀態(tài)，如圖2(f) 所示。

圖2 VCa對(duì)應(yīng)的ISI分岔圖及不同VCa對(duì)應(yīng)的ML神經(jīng)元時(shí)間歷程圖和相平面圖

2 異結(jié)構(gòu)神經(jīng)元模型的投影同步

2.1 投影同步數(shù)學(xué)分析

兩個(gè)結(jié)構(gòu)不同的混沌系統(tǒng)的投影同步分析過程如下[19]：

式中：y=(y1,y2,…,yn)T∈Rn為n維響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)向量，y1,y2,…,yn為響應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)變量；m(y)=(m1(y),m2(y),…,mn(y))T∈Rn，m(y)為n維非線性函數(shù)；u=(u1,u2,…,un)T∈Rn為n維控制器。

如果存在一個(gè)非零的常數(shù)對(duì)角矩陣K=diag(k1,k2,…,kn)(k1,k2,…,kn為投影同步中的比例系數(shù))，使得響應(yīng)系統(tǒng)和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的同步誤差e滿足

則兩個(gè)混沌系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)同步。

2.2 異結(jié)構(gòu)神經(jīng)元同步

令FHN神經(jīng)元系統(tǒng)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，ML神經(jīng)元系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，由于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的維數(shù)不同，且驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的維數(shù)小于響應(yīng)系統(tǒng)的維數(shù)，因此，采用縮維的方法使兩系統(tǒng)維數(shù)相同[20-21]，即可得到投影同步誤差方程如下式，式中，e1、e2和e3均為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)狀態(tài)量的同步差，

為了使同步誤差趨于零，可設(shè)計(jì)同步控制器u1、u2和u3為

將式(8)代入到式(7)中可得

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論可得

以上分析表明，本文設(shè)計(jì)的控制器可以使FHN和ML神經(jīng)元的同步誤差趨于0，能夠?qū)崿F(xiàn)兩神經(jīng)元的混沌同步，因此，可將其應(yīng)用于保密通信中。

3 仿真結(jié)果與分析

采用MATLAB軟件進(jìn)行仿真，對(duì)信號(hào)m(t)=0.4sin(3t)+0.3cos(4t)進(jìn)行加密，本文采取混沌掩蓋技術(shù)對(duì)要傳輸?shù)男畔⑿盘?hào)進(jìn)行加密，即在發(fā)送端將信息信號(hào)與混沌信號(hào)混合，得到加密后的信號(hào)，然后在接收端用同步混沌信號(hào)對(duì)加密信號(hào)進(jìn)行解密，得到原始信息信號(hào)。圖3所示為混沌保密通信仿真結(jié)果圖，圖3(a) 所示為兩個(gè)神經(jīng)元隨時(shí)間變化的時(shí)間歷程圖，其表明兩個(gè)神經(jīng)元經(jīng)歷一段時(shí)間后達(dá)到了混沌同步；圖3(b) 所示為原始信息信號(hào)；圖3(c)所示為對(duì)原始信號(hào)加密后在信道中傳輸?shù)男盘?hào)，其與原始信號(hào)相比有很大的差異；圖3(d) 所示為解密后得到的信號(hào)，在經(jīng)過一定時(shí)間后與原始信息信號(hào)趨于一致；圖3(e) 所示為誤差圖，由圖可知，解密后的信號(hào)與原始信號(hào)的誤差在經(jīng)過一段時(shí)間后為0，說明本系統(tǒng)可以很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)信息信號(hào)的加密和解密。

圖3 混沌保密通信仿真結(jié)果圖

本文的混沌保密通信系統(tǒng)對(duì)信息的加密和解密是基于驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步。在實(shí)際應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)有很多種，攻擊者很難確定發(fā)送端和接收端所使用的是哪種混沌系統(tǒng)，文中采用兩個(gè)不同的神經(jīng)元，與采用兩個(gè)相同的神經(jīng)元相比，系統(tǒng)的復(fù)雜性和參數(shù)確定的難度均得到了提高；而且由于混沌系統(tǒng)對(duì)參數(shù)極其敏感，即使很小的差異也會(huì)使兩系統(tǒng)達(dá)不到同步狀態(tài)；另外，采用投影同步的方法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)不同神經(jīng)元的混沌同步，可以靈活地選擇投影比例系數(shù)，在一定程度上增加了破譯難度，所以，本文設(shè)計(jì)的系統(tǒng)有較強(qiáng)的保密性。

4 結(jié)束語

本文研究了兩個(gè)不同神經(jīng)元系統(tǒng)混沌同步的問題，首先，對(duì)單個(gè)神經(jīng)元的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究，研究結(jié)果表明，在不同的刺激和參數(shù)條件下，神經(jīng)元會(huì)產(chǎn)生豐富的動(dòng)力學(xué)行為，如周期放電和混沌放電等狀態(tài)?；贚yapunov穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)了FHN和ML神經(jīng)元的混沌同步，理論分析表明，本文設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的混沌同步。最后，通過MATLAB軟件對(duì)其進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，將其在保密通信中進(jìn)行了簡(jiǎn)單運(yùn)用，仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的控制器能夠很好地實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的同步，且采用兩個(gè)不同的神經(jīng)元系統(tǒng)對(duì)信息信號(hào)進(jìn)行加密和解密，提高了通信的保密性，對(duì)進(jìn)一步研究保密通信有一定的意義。