雷 芳，方澤圣，徐勇軍，秦 紅，呂京昭

(重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065)

0 引 言

多輸入多輸出(Multi-Input Multi-Output，MIMO)技術(shù)通過(guò)增加天線數(shù)目帶來(lái)了較高的頻譜效率[1]。在結(jié)合正交頻分復(fù)用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM)的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，信道參數(shù)的增加為信道估計(jì)帶來(lái)了挑戰(zhàn)。線性最小均方誤差(Linear Minimum Mean Square Error，LMMSE)算法因其復(fù)雜度適中和良好的估計(jì)性能被廣泛用于無(wú)線通信系統(tǒng)中。在稀疏信道下獲得良好的估計(jì)性能至關(guān)重要, 但在大規(guī)模MIMO稀疏信道中使用LMMSE算法難以獲得較好性能。

傳統(tǒng)信道估計(jì)算法，如最小二乘 (Least Squares，LS)和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error, MMSE)算法，必須基于經(jīng)典的香農(nóng)采樣理論[2]并事先獲得信道統(tǒng)計(jì)特性，這將導(dǎo)致頻譜資源利用率的減少。文獻(xiàn)[3]中提出的壓縮感知(Compressed Sensing, CS)理論可以用于稀疏信號(hào)的恢復(fù)，大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明信道具有稀疏性[4-5]，因此信道的稀疏性和CS理論可用于獲得良好信道估計(jì)效果。

大量CS重構(gòu)算法基于貪婪算法思想，例如正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)[6]和壓縮采樣匹配追蹤(Compressed Sampling Matching Pursuit,CoSaMP)[7]算法。這類貪婪算法在傳感矩陣中尋找與接收信號(hào)最相關(guān)的列，再通過(guò)多次迭代更新殘差最后恢復(fù)出稀疏信道。但這類貪婪迭代算法的缺點(diǎn)是,在計(jì)算殘差時(shí)所用的LS算法忽略了噪聲的影響。本文提出的算法在CoSaMP算法基礎(chǔ)上對(duì)傳感矩陣所選支撐集進(jìn)行LMMSE估計(jì)，最后再進(jìn)一步進(jìn)行稀疏信道估計(jì)。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法比原算法誤碼率(Bit Error Ratio,BER)性能提升約1～2 dB。

1 系統(tǒng)模型

考慮一個(gè)L條多徑的OFDM系統(tǒng)，其單位沖激響應(yīng)為

式中：t和τ分別為時(shí)間和延遲；τq(t)∈R和αq(t)∈

C分別為路徑q的延遲和幅度，R和C分別為實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域；δ為單位沖激響應(yīng)。假設(shè)在持續(xù)塊衰落信道中，而且忽略符號(hào)同步，則離散信道沖激響應(yīng)為

式中：Tq為采樣間隔；L為信道抽頭數(shù)，即OFDM系統(tǒng)的徑數(shù)。在L個(gè)信道抽頭數(shù)中有Q(Q?L)個(gè)非零值，稱為Q稀疏信道。

考慮M個(gè)子載波的OFDM系統(tǒng)，其中包含MP個(gè)導(dǎo)頻和MD個(gè)數(shù)據(jù)(M=MP+MD)。{X(t1),X(t2),…,X(tMP)}和{Y(t1),Y(t2),…,Y(tMP)}分別為導(dǎo)頻位置處的發(fā)送符號(hào)和接收符號(hào)，tMP為第MP個(gè)導(dǎo)頻所在的位置。導(dǎo)頻子載波在頻域中估計(jì)的傳遞函數(shù)為

式中：h=[h(1),h(2),…,h(L)]T、X=diag{X(t1),X(t2),…,X(tMP)}和N=[n(1),n(2),…,n(Mp)]T分別為矩陣的單位沖激響應(yīng)、對(duì)角矩陣和高斯白噪聲；Y=[Y(t1),Y(t2),…,Y(tMP)]T為接收到的信號(hào)矩陣；F為離散傅里葉變換(Discrete Fourier transform, DFT)矩陣，可表示為

式中，w=e-i2π/M，i為虛數(shù)單位。

令A(yù)d=XF，由式(4)得：

在信道稀疏大于導(dǎo)頻(MP>L)的情況下有助于減少導(dǎo)頻，因此可以提高頻譜效率。在實(shí)際環(huán)境中，一般很少有MP=L的情況，在此不做討論。對(duì)于稀疏信道的恢復(fù)問(wèn)題[3]，如果向量h大部分分量等于或接近零(Q?L)，則存在一個(gè)可行的解決方案。

2 CS算法

2.1 CS

CS技術(shù)通過(guò)使用合適的字典或基，可以用最少數(shù)量的非零系數(shù)對(duì)多個(gè)信號(hào)進(jìn)行分類。這種信號(hào)可以利用稀疏度的估計(jì)和非線性優(yōu)化進(jìn)行恢復(fù)。由式(5)可知Q稀疏向量h可通過(guò)求解I0范數(shù)最小化得到[9]：

式中：‖h‖0為h非零項(xiàng)個(gè)數(shù)；σn為噪聲方差。該問(wèn)題為非確定性多項(xiàng)式難(Nondeterministic Polynomially-Hard, NP-Hard)問(wèn)題，但可以由凸優(yōu)化問(wèn)題替代[4,10]，即轉(zhuǎn)化為

通常這類問(wèn)題如文獻(xiàn)[11]所述，有兩類解決方案，即凸優(yōu)化和貪婪算法[9]。由于凸優(yōu)化算法并不適合時(shí)變信道中的信道估計(jì)[12]，且貪婪算法相比凸優(yōu)化算法具有更低的復(fù)雜度，因此本文主要研究貪婪算法。

在一個(gè)完整的冗余字典計(jì)算信號(hào)的最佳非線性估計(jì)是通過(guò)一個(gè)基本的貪婪算法匹配追蹤(Matching Pursuit, MP)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。MP通過(guò)對(duì)信號(hào)的逐步篩選，建立了一個(gè)最接近矩陣列的線性組合信號(hào)。在非正交MP中，測(cè)量矩陣在原子間不具有正交性,繼續(xù)從先前的殘差中減去后續(xù)的殘差，可以重新引入與先前包含原子跨度不正交的成分。因此對(duì)于下一次迭代，只考慮留數(shù)的正交分量[12]。與傳統(tǒng)LS算法相比，MP具有更好的性能。然而，OMP算法的時(shí)間復(fù)雜度要高于其他貪婪算法，如CoSaMP算法，這是因?yàn)槠涿恳徊街贿x擇一個(gè)原子。因此，本文考慮CoSaMP的改進(jìn)算法。

2.2 基于LMMSE估計(jì)的CoSaMP算法用于信道估計(jì)

在CoSaMP算法中，首先選取2Q個(gè)原子用于迭代估計(jì)。再?gòu)?Q個(gè)原子中，使用LS算法識(shí)別出新的Q維子空間，從而減少了錯(cuò)誤的識(shí)別。

在傳統(tǒng)CoSaMP算法中，求解支撐集的偽逆為

式中：A(LS)為L(zhǎng)S 算法下所求支撐集的偽逆；At為每次迭代選出的矩陣A的列集合。

LS算法沒考慮噪聲的影響，實(shí)際通信系統(tǒng)信道中有高斯白噪聲的影響。為了改善性能，在算法復(fù)雜度和性能之間進(jìn)行權(quán)衡，通常使用LMMSE算法。因此，本文提出了一種基于LMMSE估計(jì)的CoSaMP算法。

由式(4)可知，傳感矩陣Ad=XF由導(dǎo)頻和DFT矩陣構(gòu)成，每次迭代取其中一列，則均方誤差(Mean Square Error, MSE)為

對(duì)MSE求關(guān)于WH的導(dǎo)數(shù)，可得：

式中：Rhh、RhY和RYY分別為h的自相關(guān)矩陣、h與Y的互相關(guān)矩陣和Y的自相關(guān)矩陣；σ和I分別為噪聲和單位矩陣。

本文中發(fā)送功率為1，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，將式(9)和(10)代入式(8)，可得LMMSE估計(jì)后的偽逆矩陣A(LMMSE,AWGN)為

式中，SNR為信噪比(Signal-to-Noise Ratio，SNR)。將式(11)代入CoSaMP算法，則改進(jìn)后的CoSaMP算法如下。以下流程中，rt為殘差，t為迭代次數(shù)；?為空集；J0為每次迭代找到的索引；Λt為t次迭代的索引集合；aj為矩陣A的第j列；At為按索引Λt選出的矩陣A的列集合;〈·,·〉為求向量?jī)?nèi)積;abs[·]為求模值。

輸入：接收信號(hào)Y,觀測(cè)矩陣A=XF,稀疏度為Q；

第1步：初始化：r0=Y；Λ0=?；A0=?；t=1；

第2步：計(jì)算u=abs[ATrt-1](即〈rt-1,aj〉,1≤j≤N)，選擇u中2Q個(gè)最大值，將這些值對(duì)應(yīng)A的列序號(hào)j構(gòu)成集合J0(列序號(hào)集合)；

第3步：令Λt=Λt-1∪J0,At-1=At-1∪aj，j∈J0；

第7步：t=t+1，若t≤Q，則返回第2步繼續(xù)迭代，若t>Q或殘差rt=0，則停止迭代進(jìn)入第8步；

3 仿真分析

3.1 仿真參數(shù)設(shè)置

在本節(jié)中，使用Matlab仿真平臺(tái)對(duì)本文改進(jìn)CoSaMP、傳統(tǒng)CoSaMP和OMP算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。導(dǎo)頻位置是等間隔導(dǎo)頻。信號(hào)采用16-正交振幅調(diào)制(Quadrature Amplitude Modulation, QAM)調(diào)制，信道噪聲為高斯白噪聲。仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)設(shè)置

3.2 仿真結(jié)果分析

本文中，假設(shè)已知信道稀疏度為8，即只有8條主徑用來(lái)傳輸信號(hào)，其他徑認(rèn)為無(wú)限接近或等于零。圖1所示為信道在時(shí)延域的信道響應(yīng)。CS能夠用于信道估計(jì)的原因正是因?yàn)樵诘谖宕苿?dòng)通信技術(shù)(5th Generation Mobile Communication Technolo-gy,5G)中使用的高頻段毫米波相比于長(zhǎng)期演進(jìn)(Long Term Evolution, LTE)中低頻信號(hào)更容易受到環(huán)境的干擾，所以在信號(hào)傳輸過(guò)程中，只有極少數(shù)徑能傳輸信號(hào)，這時(shí)可認(rèn)為信道在時(shí)延域上表現(xiàn)出稀疏性，因此可以使用CS進(jìn)行信道估計(jì)。

圖1 時(shí)延域稀疏信道

圖2所示為不同信道估計(jì)算法的歸一化均方誤差(Normalized Mean Squared Error, NMSE)隨著SNR的變化關(guān)系。由圖可知，在低SNR的情況下，改進(jìn)后的LMMSE-CoSaMP算法性能優(yōu)于CoSaMP算法。在SNR=5 dB時(shí)，LMMSE-CoSaMP算法的NMSE相比于CoSaMP算法約有2 dB的性能提升。整體性能提升在低SNR時(shí)要好于高SNR時(shí)。這是由于LMMSE-CoSaMP算法在迭代過(guò)程中，對(duì)從傳感矩陣中取出的相關(guān)列進(jìn)行了LMMSE估計(jì)，可近似看成在CoSaMP算法的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)維納濾波器，減小了噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。隨著SNR的提高，噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響隨之降低，使得LMMSE-CoSaMP算法的性能逐漸接近CoSaMP算法的性能。相比于LMMSE算法， LMMSE-CoSaMP算法復(fù)雜度略高，但算法中只對(duì)少量K列進(jìn)行LMMSE估計(jì)，而相比于在性能上帶來(lái)的提升，增加的算法復(fù)雜度可接受。

圖2 不同算法的NMSE隨SNR的變化關(guān)系

圖3所示為不同算法的BER隨SNR的變化關(guān)系，當(dāng)SNR=5 dB時(shí)，LMMSE-CoSaMP算法相比于CoSaMP算法的BER降低了約34.7%。當(dāng)BER=10-1時(shí)，LMMSE-CoSaMP算法相比于CoSaMP算法的性能提升了約2 dB。在理論上，本文的LMMSE-CoSaMP算法相比于CS理論的CoSaMP算法取得了更好的系統(tǒng)性能。圖4所示為不同算法的NMSE隨導(dǎo)頻數(shù)量的變化關(guān)系。相比于傳統(tǒng)的LMMSE算法，在具有相同系統(tǒng)性能時(shí)，LMMSE-CoSaMP算法使用更少的導(dǎo)頻，有效解決了5G 大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中帶來(lái)的導(dǎo)頻污染。

圖3 不同算法的BER隨SNR的變化關(guān)系

圖4 不同算法的NMSE隨導(dǎo)頻數(shù)量變化的關(guān)系

4 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種OFDM系統(tǒng)中的信道估計(jì)算法，該算法結(jié)合了傳統(tǒng)的CS重構(gòu)CoSaMP和LMMSE算法。利用信道在延遲域上的稀疏特性，基于先驗(yàn)支撐集對(duì)稀疏信道進(jìn)行重構(gòu)。傳統(tǒng)CS重構(gòu)算法中貪婪迭代算法是通過(guò)LS更新殘差，沒有考慮噪聲影響。通過(guò)對(duì)支撐集進(jìn)行LMMSE估計(jì)，降低了噪聲對(duì)系統(tǒng)的影響。相比于傳統(tǒng)CoSaMP算法，LMMSE-CoSaMP算法在低SNR時(shí)，BER提升約1～2 dB，具有更好的抗噪聲性能。因此其他貪婪迭代算法也可以結(jié)合LMMSE估計(jì)以獲取更好系統(tǒng)性能，同時(shí)還有效減少了導(dǎo)頻開銷。