甄 龍,周 楠,王 嵐,袁小勇
(1.中國電力工程顧問集團中南電力設計院有限公司,湖北 武漢 430071;2.國網(wǎng)新疆電力有限公司建設分公司,新疆 烏魯木齊 830063)
2)丹麥法
式中,C是根據(jù)經(jīng)驗模型而設定調(diào)和參數(shù)。丹麥法也是以最小二乘平差準則為基準,而后通過對第一次的殘差進行逐次迭代,來實現(xiàn)觀測數(shù)據(jù)中粗差的檢驗。
3)Huber 函數(shù)法
1)模型的建立。對于M估計而言[2],所構(gòu)造的ρ函數(shù)應滿足:
式中,k0的取值一般在1.5~3.0 之間,而
顯然,該函數(shù)模型具有如下特點:
1)該模型是隨機模型的一種體現(xiàn),它實際上是將方差進行了膨脹處理。
分別于種植體植入后即刻及術(shù)后第12周,由同一測量者用OstellTM ISQ種植體穩(wěn)定性測量儀(BiolinScientifc,瑞典)對種植體的穩(wěn)定性進行測量,該儀器可將測量結(jié)果自動換算為ISQ值(0~100),分別計為ISQ0(即刻)、ISQ12(12周);每個種植體各測量兩次,取平均值。通過ISQ值比較種植體穩(wěn)定性變化,分析種植體穩(wěn)定性與頜骨HU值、性別、種植體型號間的差異。
2)該模型所構(gòu)造的等價方差-協(xié)方差矩陣是具有嚴格對稱性的。
3)在處理獨立觀測值時,該模型與等價權(quán)函數(shù)模型計算所得到的結(jié)果是相同的;在處理相關(guān)觀測值時,該模型確保了相關(guān)系數(shù)大小不變,且所建立的模型與實際情況一致。
在保持相關(guān)系數(shù)ρ不變的條件下
將粗差歸為隨機模型時,粗差觀測量的先驗方差δii2與其實際方差δ^ii2相比較,存在著很大的差異,此時即表現(xiàn)為方差膨脹模型。那么我們可以通過對含粗差觀測值的方差進行擴大,從而控制異常觀測值的影響[5]。因此提出改進后的穩(wěn)健最小二乘估計方法,它是在等價方差-協(xié)方差陣的基礎(chǔ)上建立起來的,可以有效避免等價權(quán)穩(wěn)健最小二乘估計的缺陷。其實質(zhì)是通過逐次迭代平差計算,并根據(jù)所得結(jié)果不斷將觀測值的方差-協(xié)方差進行膨脹,直到使異常觀測量的先驗方差與實際方差相符合,從而達到削弱粗差影響的目的。
觀測量的協(xié)方差矩陣作為評定觀測量精度的指標,能夠非??陀^地反映出所有觀測量的離散程度[6]。若觀測值的精度比較高,且可靠性也較好,則其對應的方差也較小,此時賦予該觀測量的權(quán)重將大,反之則方差大,對應參數(shù)估計權(quán)重小。
對含粗差觀測值的方差進行不斷擴大,可以降低其在參數(shù)估計中所帶來的影響。但由于相關(guān)觀測量是一個整體,因此僅考慮對方差元素進行膨脹是不夠的,還應調(diào)整協(xié)方差元素?;诟髟刂g是相互關(guān)聯(lián)的,應該保證在對方差和協(xié)方差進行膨脹之后,其原有的相關(guān)系數(shù)保持不變。
2)方差膨脹模型的相關(guān)觀測穩(wěn)健估計算法特點
①上述模型中的方差膨脹因子函數(shù)是連續(xù)不間斷的,它可以很好地控制含粗差觀測值所帶來的影響。因為方差膨脹函數(shù)的取值一般不會為∞,故基于該模型求解時不會刪除任何異常觀測信息。同時,當方差膨脹系數(shù)非常大時,異常觀測信息對參數(shù)估值將散失作用[7]。
②該模型構(gòu)造的等價協(xié)方差矩陣沒有改變觀測向量原來就具有的相關(guān)性,而且還保證了方差-協(xié)方差的對稱性。
在構(gòu)造方差膨脹因子rii時,若觀測值誤差大于所設定的某種限差,此時相應的方差應該被膨脹。否則令rii取值為1,即是保持原有方差固定不變[8]。所以,rii的構(gòu)造形式如下:
對于M估計的選權(quán)迭代法,當進行k次迭代時,將方差膨脹因子rii取值如下:
上式類似于IGGIII 權(quán)函數(shù)的倒數(shù),但為了保證方差膨脹因子更加平穩(wěn)化,去掉了降權(quán)因子上的平方,即有上式中:
基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計方法與巴爾達數(shù)據(jù)探測有所不同,其需要再次使用上一次平差的成果,而且對于存在粗差的觀測值進行降權(quán)而不是刪除。首先在處理權(quán)陣時,首次平差采用基線文件中提供的方差陣來計算,之后就使用平差所得的方差陣和單位權(quán)中誤差來計算。
平差過后,需要計算出改正數(shù)的方差陣,然后根據(jù)公式,計算出新的方差陣,最后再進行迭代。其關(guān)鍵代碼如下:
結(jié)合某高速鐵路的GPS 控制網(wǎng),選取其中一部分,共8 個控制點,20 條基線,其中0360P21 是已知點,原始基線數(shù)據(jù)如表1 所示。
表1 GPS 向量網(wǎng)各基線向量的觀測值
直接對上述不含任何粗差的觀測數(shù)據(jù)進行最小二乘平差計算,各基線向量的改正數(shù)結(jié)果如表2 所示。
表2 無粗差時各基線向量分量的改正數(shù)
現(xiàn)將重復基線CPI1066-0361P21 所在2 個時段觀測值的Y方向上均分別加入0.05 m 的粗差,然后分別基于選權(quán)迭代法和改進的穩(wěn)健最小二乘估計法利用已編程序進行計算,其探測的結(jié)果如表3~7 所示。
表3 改進的穩(wěn)健最小二乘估計法粗差探測結(jié)果
表4 殘差絕對值之和最小法粗差探測結(jié)果
表5 丹麥法粗差探測結(jié)果
表6 Huber 函數(shù)法粗差探測結(jié)果
表7 相關(guān)性的IGG 法粗差探測結(jié)果
根據(jù)表3~7 中的粗差探測結(jié)果可知:
1)當重復基線上含有粗差時,殘差絕對值之和最小法雖然探測到了含粗差的基線向量,但其殘差值與實際加入的粗差值相差非常大,均相差近13 cm,同時把原本不含粗差的其余12 條基線向量也認定為含有粗差,沒能避免粗差的掩蓋和轉(zhuǎn)移現(xiàn)象,探測效果非常差。
2)相關(guān)性IGG 法沒有探測到超限的基線觀測值,且在基線向量的Y方向上,其余原本不含粗差的基線向量改正數(shù)均受到不同程度的污染,基本失去抵抗粗差能力。
3)在此次粗差探測中,改進的穩(wěn)健最小二乘估計法不僅成功定位到了含有粗差基線向量所在的位置,而且對粗差定值也非常準確。然而丹麥法,huber 函數(shù)法也均較為準確的探測到了粗差所在位置,但其平差所得單位權(quán)中誤差均不同程度地大于改進后的單位權(quán)中誤差,即平差精度不如改進后方法的精度高。
綜上,基于重復基線時,改進后的方法無論從定位,定值還是平差精度等方面均優(yōu)于選權(quán)迭代法中的其他幾種方法。