孟曉玲, 毛北行, 王東曉, 陳 燦

(鄭州航空工業(yè)管理學院數(shù)學學院, 鄭州 450046)

混沌是非線性系統(tǒng)所獨有的現(xiàn)象,具有獨特的性質(zhì), 如有界性、敏感性、隨機性、不可預(yù)測性等,而分數(shù)階系統(tǒng)大量存在且更貼近于實際情況．同時,分數(shù)階金融混沌系統(tǒng)同步問題引起了眾多學者的關(guān)注[1-4],并取得了一些有價值的結(jié)果[5-7]．徐瑞萍等[8]研究了三維金融系統(tǒng)的有限時間同步問題,在外部擾動和不確定性都是未知的情況下,通過非奇異終端滑?？刂品椒?設(shè)計合適的終端滑模面和控制律使混沌金融系統(tǒng)在有限時間內(nèi)實現(xiàn)了同步;毛北行等[9-11]研究了分數(shù)階具有不確定項和外擾的三維、四維金融混沌系統(tǒng)的滑模同步,指出在設(shè)計合理的滑模面和控制器下,金融混沌系統(tǒng)是可以取得同步的．本文擬在極限理論與分數(shù)階穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上,設(shè)計分數(shù)階滑模面和控制器,并給出分數(shù)階金融超混沌系統(tǒng)滑模同步的充分條件．

1 金融超混沌系統(tǒng)

定義1[12]連續(xù)函數(shù)x(t)的Caputo分數(shù)階導數(shù)定義為

設(shè)計主系統(tǒng)為

(1)

其中x,y,z,ω分別為利率、投資需求、價格指數(shù)和經(jīng)濟模型的財政赤字．當a=0.9,b=0.1,c=1.5,d=0.2,k=0.17,q=0.97時, 系統(tǒng)(1)呈混沌態(tài), 結(jié)果如圖1所示．

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子相圖Fig.1 Chaotic attraction diagram of system (1)

將系統(tǒng)(1)看作主系統(tǒng),從系統(tǒng)設(shè)計為

(2)

其中Δf(φ(t))為不確定項,d(t)為外部擾動, 且φ(t)=(x1,y1,z1,ω1)T．定義主從系統(tǒng)的誤差分量為e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω,則有

(3)

引理1[13]若x(t)為連續(xù)可微的函數(shù), 則有

假設(shè)1|Δf(φ(t))|≤m, |d(t)|≤n, 且m,n為正的未知常數(shù)．

2 三維金融混沌系統(tǒng)

上述方法對三維金融混沌系統(tǒng)同樣適用．設(shè)主系統(tǒng)為

(4)

其中0

(5)

其中Δf(φ(t))為不確定項,d(t)為外部擾動, 且φ(t)=(x1,y1,z1)T．定義主從系統(tǒng)的誤差分量為e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z則有

(6)

3 數(shù)值仿真

設(shè)四維金融系統(tǒng)參數(shù)為a=0.9,b=0.1,c=1.5,d=0.2,k=0.17,q=0.97,初始值(x(0),y(0),z(0),ω(0))=(2.2,6.5,2.5,1.5), (x1(0),y1(0),z1(0),ω1(0))=(3,4,3,4.5), 三維金融系統(tǒng)參數(shù)為a=0.9,b=0.1,c=1.2,q=0.93, 初始值(x(0),y(0),z(0))=(2.2,6.5,2.5), (x1(0),y1(0),z1(0))=(3,4,3), 不確定項和外部擾動為Δf(φ(t))+d(t)=0.1sin(tx1)+0.1cos(t)．

圖2～3是兩個定理的誤差曲線．結(jié)果顯示, 兩者初始時誤差均較大, 但隨著時間的推移, 系統(tǒng)誤差越來越小, 并最終趨近于0, 說明2個系統(tǒng)均取得了混沌同步．

圖2 定理1中的誤差系統(tǒng)曲線Fig.2 The system error curves of theorem 1

圖3 定理2中的誤差系統(tǒng)曲線Fig.3 The system error curves of theorem 2