潘榮婷，高云柱

(北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，吉林 吉林 132013)

0 引 言

本文考慮如下非局部初邊值問題

(1)

方程(1)描述的是流體通過多孔介質(zhì)的數(shù)學(xué)模型.許多物理現(xiàn)象被表述為非局部數(shù)學(xué)模型，包括不含吸收項的多孔介質(zhì)模型[1-2]，以及含有吸收項的多孔介質(zhì)模型[3-7].

本文做如下假設(shè)：

(2)

本文研究了問題(1)的上解、整體解的存在性和解在有限時刻的爆破性.

1 預(yù)備知識

定義1稱非負函數(shù)u是問題(1)在QT上的一個上解，如果u∈C2，1(QT)∩C(QT∪ΓT)，并滿足

(3)

類似地，若u≥0且滿足式(3)不等號相反的順序，則稱u∈C2，1(QT)∩C(QT∪ΓT)是問題(1)的一個下解.如果u既是問題(1)在QT上的下解，也是問題(1)在QT上的上解，則稱u是問題(1)在QT上的一個解.進一步地，對任意T>0，如果u是問題(1)在QT中的一個上解，則稱u是問題(1)的一個整體解.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)l≤1，max{m，r+p}≤1 且假設(shè)(2)成立，則問題(1)存在上解.

證明：設(shè)T是任意正數(shù).由假設(shè)(2)成立，我們在QT中構(gòu)造問題(1)的一個正上解.對于l<1，只需取

則其為(1)的一個上解.

對于l=1 的情況，考慮如下的特征值問題

設(shè)λ1表示它的第一特征值，選擇相應(yīng)的特征函數(shù)φ滿足(0<ε<1)：

則不難得到

是問題(1)的一個上解.

事實上，由于

其中，

則易知v(x，t)是問題(1)在QT上的一個上解.證畢.

定理2設(shè)r+p>q，0

證明：設(shè)φ(x)是如下橢圓問題的解：

要使上式大于等于零，只需

(4)

進而

于是有

從而式(4)成立.

綜上所述，取

考慮下列常微分方程

(5)

通過解上述簡單的常微分方程，容易得到下面的引理：

引理2(ⅰ)如果r+p

(ⅰ)如果1≤r+p

證明：考慮如下微分方程

(6)

顯然方程(1)的解u(x，t)=v(t)是方程(6)的下解，而由引理2可得，v(t)是方程(6)的整體解，故由引理1比較原理即得證.證畢.

證明：考慮如下微分方程

(7)

顯然方程(1)的解u(x，t)=v(t)是方程(7)的上解，而由引理2，方程(7)的解v(t)在有限時刻爆破，故由引理1比較原理即得證.證畢.

由引理2不難推得如下定理5：