李明澤，李樹有，宓 穎

威布爾分布參數(shù)估計(jì)方法的比較

李明澤，李樹有，宓 穎

（遼寧工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

給出了基于威布爾分布形狀參數(shù)、尺度參數(shù)、位置參數(shù)的極大似然估計(jì)、L矩估計(jì)和矩估計(jì)的估計(jì)量，其中極大似然估計(jì)計(jì)算方法是新給出的計(jì)算方法。以偏差和均方誤差為標(biāo)準(zhǔn)，綜合比較這三種方法，運(yùn)用Matlab程序得到了三個(gè)參數(shù)的偏差和均方誤差變化的曲線圖。通過對偏差和均方誤差變化的曲線圖分析比較，得到L矩估計(jì)方法性能最好，其次是極大似然估計(jì)，矩估計(jì)方法性能最差。

威布爾分布；極大似然估計(jì)；L矩估計(jì)；矩估計(jì)

威布爾分布（Weibull Distribution）[1]，是可靠性分析和壽命檢驗(yàn)的理論基礎(chǔ)。威布爾分布在可靠性工程中被廣泛應(yīng)用，尤其適用于機(jī)電類產(chǎn)品的磨損累計(jì)失效的分布形式。由于它可以利用概率值很容易地推斷出其分布參數(shù)，故被廣泛應(yīng)用于各種壽命試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理。1927年，F(xiàn)rechet 首先給出這一分布的定義。1951年，瑞典工程師、數(shù)學(xué)家Waloddi Weibull（1887—1979）詳細(xì)解釋了這一分布，該分布便以他的名字命名為Weibull Distribution。

三參數(shù)威布爾分布的概率密度函數(shù)為：

式中，＞0，＞0，＞0，＞0，參數(shù)、和分別稱為形狀、尺度和位置參數(shù)。由于威布爾分布的重要性，許多學(xué)者提出了多種威布爾參數(shù)估計(jì)的方法。1956年Zanakis[2]對極大似然估計(jì)給出了非線性優(yōu)化算法。Menon在1963年運(yùn)用對數(shù)矩估計(jì)法對威布爾分布進(jìn)一步研究，Dubey在1967提出了百分位法，Cran在1988年定義了威布爾分布的矩估計(jì)，1996年Seki在1996運(yùn)用了最小二乘法估計(jì)雙參數(shù)威布爾分布。本文提出了運(yùn)用牛頓迭代法計(jì)算威布爾分參數(shù)的極大似然估計(jì)算法。利用偏差和均方誤差作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，對L矩估計(jì)法、極大似然估計(jì)法和對數(shù)矩估計(jì)法在計(jì)算威布爾分布形狀參數(shù)、尺度參數(shù)、位置參數(shù)的估計(jì)量進(jìn)行了比較。

1 威布爾分布的參數(shù)估計(jì)方法

1.1 L矩估計(jì)法

Hosking在1990年定義了L矩估[3-4]，L矩是用來總結(jié)概率分布形狀的統(tǒng)計(jì)序列。它們是類似于傳統(tǒng)矩的階序統(tǒng)計(jì)量（L統(tǒng)計(jì)量）的線性組合，可用于計(jì)算類似于標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度的量。L矩估計(jì)具有一些理想的參數(shù)估計(jì)性質(zhì)，當(dāng)極大似然估計(jì)不可用或具有不希望的性質(zhì)時(shí)，通?？梢允褂肔矩估計(jì)。樣本L矩可以定義為來自總體的一個(gè)樣本，并且可以作為總體L矩的估計(jì)量。

對于隨機(jī)變量，第個(gè)總體L矩為：

總體矩為：

式(2)、(3)中，=1，2，3…；=1，2，3…；為二項(xiàng)式系數(shù)。

當(dāng)=1時(shí)，

當(dāng)=2時(shí)，

當(dāng)=3時(shí)，

對于=1，2，3…中，X:n表示樣本大小為時(shí)的第階統(tǒng)計(jì)量，樣本矩定義為：

當(dāng)=1時(shí)，

當(dāng)=2時(shí)，

當(dāng)=3時(shí)，

令1、2、3與1、2、3近似等價(jià)，可以求得參數(shù)的估計(jì)量。

1.2 極大似然估計(jì)法

極大似然估計(jì)是一種十分有效且通用的參數(shù)估計(jì)的方法，在參數(shù)估計(jì)中占有非常重要的地位。下面給出威布爾分布的參數(shù)的極大似然估計(jì)一種新的計(jì)算方法，需要迭代計(jì)算。

其對數(shù)似然函數(shù)為：

當(dāng)、、未知，、、的極大似然估計(jì)，則對其對數(shù)似然函數(shù)中的、、分別求偏導(dǎo)，聯(lián)立并令其為零得到：

顯然，由式(17)～(19)可以得到：

由newton迭代法，得到以下迭代公式：

下面給出一個(gè)如何應(yīng)用上述算法的實(shí)例，考慮文獻(xiàn)[5]中的數(shù)據(jù)，文中給出了軸承疲勞壽命試驗(yàn)的時(shí)間。代表軸承進(jìn)行疲勞壽命試驗(yàn)的時(shí)間：分別為17.88、28.92、33.00、41.52、42.12、45.60、48.48、51.84、51.96、54.12、55.56、67.80、68.64、68.64、68.88、84.12、3.12、98.64、105.12、105.84、127.92、128.04、173.40，服從威布爾分布。

1.3 矩估計(jì)法

Cran在1988年計(jì)算了具有非負(fù)定位參數(shù)的三參數(shù)威布爾分布。給出了這些矩的樣本估計(jì)[6]，并且用于參數(shù)估計(jì)，而且定義了威布爾分布的矩估計(jì)：

式中：m是計(jì)算樣本觀測值的函數(shù)。

令u=m，=1、2、4，即威布爾分布3個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)如下：

2 3種算法的比較

在這里，比較3個(gè)參數(shù)威布爾分布的極大似然估計(jì)算法、矩估計(jì)算法和矩估計(jì)算法，比較的基礎(chǔ)是偏差和均方誤差作為衡量標(biāo)準(zhǔn)[7～8]。

圖1 偏差α的曲線變化

圖2 偏差β的曲線變化

圖3 偏差θ的曲線變化

圖4 均方誤差α的曲線變化

圖5 均方誤差β的曲線變化

圖6 均方誤差θ的曲線變化

3 結(jié)論

對威布爾分布3個(gè)參數(shù)利用了L矩估法、極大似然估計(jì)法和矩估計(jì)法，運(yùn)用Matlab程序進(jìn)行了仿真并對他們比較。從誤差和均方誤差方面分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)L矩估計(jì)的性能最好，其次是極大似然估計(jì)，矩估計(jì)的性能最差。

[1] 李樹有, 徐美進(jìn), 劉秀娟. 應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M]. 沈陽: 東北大學(xué)出版社, 2015.

[2] Zanakis S H, Kyparisis J. A review of maximum likelihood estimation methods for the three-parameter Weibulldistribution[J]. Journal of statistical computation and simulation, 1986, 25(1/2): 53-73.

[3] Abdul-Moniem I B. L-moments and TL-moments estimation for the exponential distribution[J]. Far East J.theor.stat, 2007, 23(1): 51-61.

[4] E.A.H. Elamir, A.H. Seheult. Trimmed L-moments[J], Comput. Statist.Data Anal. 2003, 43(1): 299-314.

[5] 戴樹森, 費(fèi)鶴良, 王玲玲. 可靠性試驗(yàn)及其統(tǒng)計(jì)分析[M]. 北京: 國防工業(yè)出版社, 1983.

[6] Murthy D N P, Xie M, Jiang R. Weibullmodels[M]. Hoboken: John Wiley & Sons, 2004.

[7] Wu S J. Estimations of the parameters of the Weibull distribution with progressively censored data[J]. Journal of the Japan Statistical Society, 2002, 32(2): 155-163.

[8] Ross R. Bias and Standard deviation due to Weibull parameter estimation for small data sets[J]. IEEE Trans. Dielectrics Electrical Insulation, 1996, 3(2): 28-42.

Comparison of Parameter Estimation Methods of Weibull Distribution

LI Ming-ze, LI Shu-you, MI Ying

（College of Science, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

The maximum likelihood estimators of shape parameters, scale parameters, position parameters, L moment estimators and the estimators of moment estimators of Weibull distribution are given. The maximum likelihood estimation method is a new calculation method. The deviation and mean square error as the standard, the three methods comprehensively compared, MATLAB software is used to get the three parameters of the deviation and mean square error changes of the curve. By comparing the curves of deviation and mean square error, it is found that L-moment estimation method has the best performance, followed by maximum likelihood estimation, and moment estimation method has the worst performance.

Weibull distribution; maximum likelihood estimation; L moment estimation; moment estimation

10.15916/j.issn1674-3261.2022.01.006

O212

A

1674-3261(2022)01-0031-05

2021-03-30

李明澤(1994-)，男，遼寧本溪人，碩士生。

李樹有(1964-)，男，吉林通化人，教授，博士。

責(zé)任編輯：陳 明