鄭守幫，楊順成，周立軒，喬永欽，李仕林，付蔚萍

(1.鄭州機(jī)械研究所,河南 鄭州 450001; 2.長安大學(xué) 工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安 710000)

0 引 言

齒輪是極重要的機(jī)械元件，在機(jī)床、汽車、航空、造船、兵工、儀表等眾多工業(yè)領(lǐng)域都大量使用。齒輪的精度和質(zhì)量可以直接影響整臺機(jī)械的性能[1]。隨著新裝備、新工藝的出現(xiàn)，彎曲強(qiáng)度和接觸強(qiáng)度極佳的硬齒面齒輪得到日益廣泛應(yīng)用的同時(shí)，滾齒加熱處理加磨齒的工藝也越來越多的被使用[2]。為保證齒輪齒面具有良好的接觸性能，同時(shí)不影響彎曲性能，磨齒時(shí)應(yīng)避免齒根磨削，這就要求齒輪在滾齒時(shí)要有一定的沉切量，為此滾齒刀具應(yīng)采用考慮留磨量和凸起量的磨前滾刀[3]。

根據(jù)以往生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，有客戶要求成品齒輪滲碳層深度需有較高一致性，尤其對于某些軍品，其相應(yīng)等級要求更高。但由于齒廓各處曲率差異，使得不同位置滲碳層深度具有不均勻性[4]。為滿足既定要求，應(yīng)具體剖切分析不同位置處的滲碳層深度[5]，使磨前齒輪齒廓不同位置留有不同的磨削余量。而由于磨前滾刀法向齒廓含有兩段齒形角不等的刀刃部分[6]，其嚙合線與用標(biāo)準(zhǔn)滾刀切制時(shí)有較大差異，而且其刀刃連接尖點(diǎn)處的具體切制原理相關(guān)研究較少，故文中依托實(shí)際生產(chǎn)，綜合考慮留磨余量、凸起量以及變位系數(shù)的復(fù)合影響[7]，詳細(xì)探討了此給定各種生產(chǎn)參數(shù)的磨前滾刀切制漸開線圓柱外齒輪的切制原理，使用參數(shù)化方程推導(dǎo)其整個(gè)過程，力求為研究者提供更貼近實(shí)際的理論模型，以便解決實(shí)際生產(chǎn)。

1 磨前滾刀法向基準(zhǔn)齒廓

齒輪滾刀是按展成法加工齒輪的刀具。它可以用來切制直齒輪，也可以切制斜齒輪，可以加工非變位齒輪，也可以加工變位齒輪。加工方式如圖1所示。

圖1 齒輪滾刀加工齒輪 圖2 滾刀基本蝸桿與齒輪嚙合

滾刀的法向齒形相當(dāng)于一齒條，滾刀加工齒輪的過程其本質(zhì)就是齒條齒輪的嚙合過程。后面為了方便理解與推導(dǎo)，這里將滾刀的回轉(zhuǎn)運(yùn)動轉(zhuǎn)換成齒條的水平移動來進(jìn)行詳細(xì)的探究，如圖2所示[7]。

在某些特殊要求下(例如航空工業(yè)中)某些磨齒的齒輪要求高抗彎強(qiáng)度，齒根過渡曲線應(yīng)有最大曲率半徑，這種磨前齒輪可用齒頂為大曲率圓弧的滾刀加工[8]。這種磨前滾刀加工出的磨前齒輪表面處應(yīng)有留磨余量，同時(shí)齒根處還需有少量根切以使得磨削齒形時(shí)砂輪的頂部不參與磨削工作[9]。這種帶圓頭的滾刀刀齒，可采用圖3所示的齒形作為滾刀法向基準(zhǔn)齒形[10]。

圖3 帶圓頭滾刀的法向齒形

該齒形分三部分，一部分是齒形角為α的直線齒形部分，即圖中的K1K3段齒形，這一段與一般齒輪滾刀的齒形是一樣的；第二部分是半徑為r0的齒頂圓弧部分，即K4K6段齒形，該齒形用來切制齒輪的槽底曲線，由嚙合原理可知，切制出來的曲線為延伸漸開線的等距線[11]；中間K3K4段齒形為以上兩部分的連接線，這部分直線的傾斜角為αy，根據(jù)齒形角α的數(shù)值，一般來說αy=7°～12°，以便使這一段刀刃具有必要的后角。

2 刀具參數(shù)

現(xiàn)將刀具法向齒廓放大，如圖4所示。

圖4 滾刀的法向齒形放大圖

2.1 滾刀齒頂為全圓弧

變位齒輪的分度圓齒厚為：

(1)

(2)

(3)

在三角形AK6K5和BK6K5中分別使用余弦定理可得：

(4)

(5)

(6)

K3J=K4G-K4H

(7)

2.2 滾刀齒頂為非全圓弧

滾刀齒頂圓弧的半徑r0需給定。

(8)

(9)

(10)

K4G、K4H及K3J的求法同全圓弧，這里不再贅述。

3 動態(tài)切制過程

3.1 坐標(biāo)系的建立

圖5顯示了磨前滾刀切制外齒輪的動態(tài)加工過程[13]。

設(shè)齒輪的中心為O2，分度圓半徑為r2，節(jié)點(diǎn)為P，以P為原點(diǎn)作空間固定坐標(biāo)系(P(O)-x,y)，y軸與O2P方向一致，如圖5中的y軸，x軸則與它垂直，如圖5中的x軸，再作一個(gè)與滾刀固連并隨滾刀一起移動的坐標(biāo)系(O1-x1,y1)，在初始位置，y1軸與y軸重合，由變位系數(shù)確定O1點(diǎn)沿y軸移動的距離。以O(shè)2點(diǎn)為原點(diǎn)，作與齒輪2固連并隨它一起轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)系(O2-x2,y2)，在起始位置，y2軸與y軸重合，x2軸與x軸平行[14]。

圖5 動態(tài)切制過程

設(shè)齒輪2由起始位置沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)過φ2角，與此同時(shí)，滾刀由起始位置移動的距離為r2·φ2。則：

由(O1-x1,y1)變換到(P(O)-x,y)的變換矩陣M10為：

(11)

由(P(O)-x,y)變換到(O2-x2,y2)的變換矩陣M02為：

(12)

由坐標(biāo)變換性質(zhì)經(jīng)矩陣運(yùn)算可得：

M01=M10-1，M20=M02-1

M12=M10·M02，M21=M12-1

具體推導(dǎo)過程不再贅述。

N1N2為齒形角為α的K1K3段直線齒廓與齒輪的嚙合線，由嚙合原理分析可得，由于傳動比不變，齒形角為αy的過渡刀刃直線在切制時(shí)與齒輪的嚙合線應(yīng)通過節(jié)點(diǎn)P，且嚙合線的壓力角與過渡刀刃齒形角相等，圖5中線段N3N4即為過渡刀刃K3K4與齒輪嚙合的嚙合線。

3.2 滾刀齒廓的方程建立

在滾刀坐標(biāo)系(O1-x1,y1)下；

令齒頂圓弧圓心在y1軸上，如圖5中的位置(0)，刀具齒頂圓弧中心A點(diǎn)的坐標(biāo)為：

(13)

此時(shí)，滾刀齒頂圓弧與齒輪嚙合點(diǎn)M的坐標(biāo)為：

(14)

式中：α0是齒頂圓弧中心A點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)P的連線與x軸的夾角，如圖6所示，且-π/2≤α0≤-α，具體推導(dǎo)過程可參看齒輪嚙合原理。這也是滾刀齒頂圓弧的方程。

圖6 滾刀齒頂圓弧嚙合點(diǎn)位置

齒頂圓弧與過渡刀刃的切點(diǎn)K4的坐標(biāo)為：

(15)

由點(diǎn)斜式方程可得K3K4段齒形方程為：

(16)

同理可得K1K3段齒形方程為：

(17)

其中：

O2J=r0·cosαy+K4H·tanαy

(18)

3.3 切制臨界點(diǎn)的確定

壓力角為α的嚙合線N1N2與齒輪齒頂圓交于N1點(diǎn)，滾刀上K1K3段齒形從N1點(diǎn)(圖5位置(1))位置開始切制齒輪上壓力角為α的漸開線部分，當(dāng)K1K3齒形上K3點(diǎn)與嚙合線N1N2相交于N2時(shí)(圖5位置(2))，壓力角為α的漸開線部分切制結(jié)束。由齒輪嚙合原理知，傳動比不變的前提下，嚙合線的壓力角等于齒條齒形角，且嚙合線始終過同一節(jié)點(diǎn)P。由此可知過渡刀刃K3K4齒形上K3點(diǎn)與嚙合線N3N4相交于點(diǎn)N3時(shí)(圖5位置(3))開始切制齒輪上壓力角為αy的漸開線部分，當(dāng)K3K4齒形上K4點(diǎn)與嚙合線N3N4相交于N4時(shí)(圖5位置(4))，壓力角為αy的漸開線部分切制結(jié)束。

當(dāng)齒條坐標(biāo)系(O1-x1,y1)的y1軸與固定(P(O)-x,y)的y軸重合時(shí)(圖5位置(0))，滾刀齒頂圓弧最低點(diǎn)K6開始切制齒根過渡曲線，刀具繼續(xù)移動，直到齒頂圓弧與過渡曲線的切點(diǎn)K4與嚙合線N3N4相交于N4時(shí)(圖5位置(4))，齒頂圓弧K4K6切制過渡曲線完畢，滾刀與齒輪毛坯在此處脫離嚙合，完成全部切制過程。

3.4 齒輪齒廓方程的推導(dǎo)

齒輪齒廓完全由滾刀切制，即齒輪齒廓上任意一點(diǎn)在滾刀上均有與之對應(yīng)的唯一嚙合點(diǎn)。齒輪轉(zhuǎn)動φ2角，滾刀齒廓水平移動r2·φ2的距離，每給定一個(gè)φ2角，求出滾刀齒廓與齒輪在固定坐標(biāo)系里的嚙合點(diǎn)N，并將固定坐標(biāo)系中的N點(diǎn)由坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方程轉(zhuǎn)換到齒輪坐標(biāo)系中即為該φ2角下的齒輪齒廓點(diǎn)。

由此，先分別求出固定坐標(biāo)系下兩段嚙合線N1N2和N3N4的方程如下：

(19)

其中：

(20)

由上述3.3中的論述，切制齒輪上壓力角為α的漸開線部分對應(yīng)的轉(zhuǎn)角φ2的范圍為：

(21)

此時(shí)滾刀坐標(biāo)系下的K1K3段齒形在固定坐標(biāo)系中的方程為：

(22)

聯(lián)立方程與方程可解出固定坐標(biāo)系下K1K3段齒形與嚙合線N1N2交點(diǎn)方程如下：

(23)

同理，切制齒輪上壓力角為αy的漸開線部分對應(yīng)的轉(zhuǎn)角φ2的范圍為：

(24)

由此解出固定坐標(biāo)系下K3K4段齒形與嚙合線N3N4交點(diǎn)方程如下：

(25)

當(dāng)φ2≥0時(shí)，齒頂圓弧開始切制齒根過渡曲線，圖6中嚙合點(diǎn)M對應(yīng)的α0與轉(zhuǎn)角φ2的關(guān)系為：

將方程轉(zhuǎn)換到固定坐標(biāo)系中得：

(26)

將上述方程借由軟件繪制，如圖7所示。

圖7 固定坐標(biāo)系下各嚙合點(diǎn)

將固定坐標(biāo)系下K1K3段齒形與嚙合線N1N2的交點(diǎn)方程轉(zhuǎn)換至齒輪坐標(biāo)系中為：

(27)

同理可將方程也轉(zhuǎn)換至齒輪坐標(biāo)系中，此時(shí)將轉(zhuǎn)換后方程借由軟件繪制，如圖8所示。

圖8 齒輪坐標(biāo)系下各嚙合點(diǎn)

這里，對于齒根過渡曲線各點(diǎn)處的曲率可由曲線參數(shù)方程求導(dǎo)法求得如下：

(28)

進(jìn)而可求得曲率K的極值和極值點(diǎn)。

4 完整齒廓的繪制

以上推導(dǎo)的齒輪齒廓都是以圓弧圓心A處在坐標(biāo)系y軸上完成的，為了更加方便實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)將齒廓方程旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度從而使得齒槽中線與y軸重合。

使齒槽中線與固定坐標(biāo)系y軸重合的旋轉(zhuǎn)矩陣M為：

(29)

最終的齒廓方程為：

(30)

將最終的齒廓方程沿y軸的對稱，并將對稱后的兩個(gè)完整齒槽方程依次旋轉(zhuǎn)2·π/Z2角，即得到完整齒廓。如圖9、10。

圖9 滾刀齒頂為指定圓弧半徑的完整齒廓 圖10 滾刀齒頂為全圓弧的完整齒廓

5 結(jié) 語

在研究磨前滾刀齒形對齒輪齒廓的影響時(shí)，應(yīng)該注意到齒形角不同的齒廓部分對應(yīng)的嚙合線壓力角與齒形角相等，并且嚙合線都是經(jīng)過同一節(jié)點(diǎn)的，滾刀齒頂圓弧嚙合點(diǎn)與圓心的連線也經(jīng)過節(jié)點(diǎn)。對于滲碳層深度一致性要求較高的齒輪，可通過實(shí)物分析和基于文中原理的參數(shù)調(diào)整，最終實(shí)現(xiàn)滲碳層深度的一致性要求。

文中綜合考慮實(shí)際生產(chǎn)因素，推導(dǎo)過程全程使用參變量，可直接精確求解實(shí)際齒廓各點(diǎn)曲率。此對于研究齒廓曲率對于滲碳層深的具體影響亦有一定幫助。最后結(jié)合加工數(shù)據(jù)，校驗(yàn)了計(jì)算機(jī)繪圖參數(shù)，證明原理的正確性，在結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)設(shè)計(jì)磨前滾刀齒形方面有一定的參考價(jià)值。