周名偵，廖志青

（1.廣東交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510800；2.華南理工大學(xué)廣州學(xué)院，廣東 廣州 510800）

1 引言

當(dāng)前機(jī)械臂越來越多地應(yīng)用于高精密產(chǎn)品裝配、手術(shù)治療等方面，對機(jī)械臂末端定位和減小抖振提出了更高要求，但是由于設(shè)計(jì)公差、參數(shù)變化、建模誤差和外部擾動等原因使機(jī)械臂精確控制成為一個(gè)難點(diǎn)，具有重要的研究價(jià)值?？偟脕碇v，機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方法可以分為PID控制、魯棒控制、模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等。PID控制具有不依賴機(jī)械臂模型的優(yōu)點(diǎn)，但是PID控制的啟動力矩過大，容易損傷機(jī)械臂，系統(tǒng)穩(wěn)定后運(yùn)動品質(zhì)較差[1]。

魯棒控制對外部擾動、參數(shù)變化等有很好的控制效果，文獻(xiàn)[2]將自適應(yīng)算法與魯棒控制相結(jié)合，有效減小了系統(tǒng)可變化參數(shù)對控制效果的影響；模糊控制主要依賴專家經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)模糊控制器，最大的優(yōu)點(diǎn)是無需建立控制對象的數(shù)學(xué)模型，缺點(diǎn)是調(diào)節(jié)參數(shù)多、工作過程繁瑣，模糊邏輯要求專家經(jīng)驗(yàn)[3]。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制具有學(xué)習(xí)能力、容錯能力和魯棒性，在機(jī)械臂控制中應(yīng)用較多，缺點(diǎn)是需要大量的訓(xùn)練和學(xué)習(xí)樣本[4]，文獻(xiàn)[5]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近系統(tǒng)模型，使用魯棒控制削弱逼近誤差和外界干擾，取得了較好的控制效果。

研究機(jī)械臂軌跡跟蹤控制問題，對于系統(tǒng)存在的內(nèi)部或外部擾動，設(shè)計(jì)了干擾觀測器和非線性滑?？刂葡嘟Y(jié)合的軌跡跟蹤方法，旨在提高機(jī)械臂軌跡跟蹤的精度和速度。

2 機(jī)械臂建模與控制方案

2.1 機(jī)械臂動力學(xué)模型

機(jī)械臂動力學(xué)模型建模方法包括牛頓-歐拉法和拉格朗日方程法兩種，其中拉格朗日方程法無需研究相互間的作用力，更加簡捷，因此使用拉格朗日方程法建立機(jī)械臂動力學(xué)模型，其表達(dá)式為：

式中：qi—各關(guān)節(jié)角位置；Ti—各連桿控制力矩；L—拉格朗日算子，

L=K-P；K—機(jī)械臂系統(tǒng)總動能；P—機(jī)械臂系統(tǒng)總勢能。

機(jī)械臂系統(tǒng)總動能K和總勢能P的計(jì)算方法可參考文獻(xiàn)[6-7]，這里不再贅述。將機(jī)械臂系統(tǒng)動能與勢能代入式（1），得機(jī)械臂動力學(xué)方程為：

式中：M(q)—機(jī)械臂慣量矩陣；C(q，q˙)—向心力和哥氏力矩陣之和；g(q)—重力矩陣；T—控制力矩；q—關(guān)節(jié)角位置矩陣。

2.2 控制方案

機(jī)械臂軌跡跟蹤誤差來源于以下幾個(gè)方面：（1）機(jī)械臂零部件的設(shè)計(jì)公差、裝配誤差等；（2）未建模動態(tài)的存在；（3）外部干擾的影響；（4）機(jī)械臂參數(shù)的變化。將以上擾動或誤差分為可觀測部分和不可觀測部分，對于可觀測部分?jǐn)_動，通過設(shè)計(jì)干擾觀測器估計(jì)擾動大小，在控制器中進(jìn)行補(bǔ)償；對于不可觀測部分，使用滑模變結(jié)構(gòu)進(jìn)行控制，達(dá)到提高控制精度的目的。本文設(shè)計(jì)的機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方案，如圖1所示。

圖1 機(jī)械臂軌跡跟蹤控制方案Fig.1 Manipulator Trajectory Tracking Control Scheme

圖中：qd—機(jī)械臂期望角位置；x1—角位置誤差；T0—滑模控制器輸出控制量；T—擾動補(bǔ)償后控制量；d—可觀測擾動；d^—擾動觀測值；Td—補(bǔ)償力矩；q—機(jī)械臂實(shí)際角位置。

3 干擾觀測器設(shè)計(jì)

3.1 干擾觀測器設(shè)計(jì)原理

干擾觀測器設(shè)計(jì)原理是將系統(tǒng)擾動前狀態(tài)與擾動后狀態(tài)輸入到觀測器進(jìn)行對比，將其差值作為擾動量的估計(jì)值，原理框圖，如圖2所示。

圖2 干擾觀測器原理圖Fig.2 Principle of Disturbance Observer

圖2中G(s)為機(jī)械臂系統(tǒng)傳遞函數(shù)，擾動觀測值為：

3.2 干擾觀測器實(shí)現(xiàn)方法

干擾控制器實(shí)現(xiàn)的基本思路是，使用擾動實(shí)際值與觀測值之間的誤差對觀測值進(jìn)行調(diào)整，達(dá)到減小誤差的目的?；诖怂悸罚瑢⒏蓴_觀測器初步設(shè)計(jì)為：

因此只要令L(q，q˙)=diag(c1，c2，…，cn)，且ci＞0，i=1，…，n，就能夠保證干擾觀測器的漸進(jìn)穩(wěn)定性，且觀測器的收斂速度通過改變ci值進(jìn)行調(diào)整。

為了給出干擾觀測值的計(jì)算方法，定義二維輔助向量z∈R2為：

3.3 加入干擾觀測器的動力學(xué)模型

圖1中前饋補(bǔ)償模塊設(shè)置為單位矩陣，即Td=d^。當(dāng)機(jī)械臂系統(tǒng)中存在擾動d時(shí)，若控制系統(tǒng)中不加入干擾觀測器，則機(jī)械臂系統(tǒng)動力學(xué)方程為：

對比式（10）與（11）可知，加入擾動觀測器后，系統(tǒng)的擾動力矩由d減小為觀測誤差e，由此可以看出，加入干擾觀測器可以有效減小擾動力矩。

4 非線性滑模控制器設(shè)計(jì)

機(jī)械臂系統(tǒng)為常見的非線性系統(tǒng)，且存在外部干擾和未建模動態(tài)等諸多不確定因素，第3節(jié)中使用干擾觀測器減小了可觀測擾動的影響，對于不可觀測擾動和其他不確定因素，這里設(shè)計(jì)非線性滑?？刂破飨魅跗溆绊憽?/p>

4.1 滑模面設(shè)計(jì)

滑?？刂瓢▋蓚€(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：（1）滑模面的設(shè)計(jì)；（2）依據(jù)滑模面設(shè)計(jì)控制律[9]?；？刂剖侵竿ㄟ^控制量的切換，使系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上滑動，直至運(yùn)動到系統(tǒng)原點(diǎn)。對于任意一個(gè)系統(tǒng)，由系統(tǒng)狀態(tài)構(gòu)造一個(gè)切換面s=0，此切換面將系統(tǒng)空間分為s＞0和s＜0兩個(gè)部分，在切換面s=0上存在A、B、C三類點(diǎn)，如圖3所示。點(diǎn)A稱為穿過點(diǎn)，點(diǎn)B稱為起點(diǎn)，點(diǎn)C稱為止點(diǎn)，若某個(gè)平面或某個(gè)區(qū)域全部為止點(diǎn)，則此平面或此區(qū)域稱為滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面上的運(yùn)動稱為滑模運(yùn)動[10]。

圖3 切換面示意圖Fig.3 Switching Surface Sketch

因此，式（13）設(shè)計(jì)的切換面s= 0 是滑模面，且具有漸進(jìn)穩(wěn)定性。

4.2 控制律設(shè)計(jì)

因?yàn)闄C(jī)械臂系統(tǒng)中存在不可觀測擾動和未建模動態(tài)等不確定因素，控制律設(shè)計(jì)為等效控制項(xiàng)和變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng)之和，等效控制項(xiàng)用于控制系統(tǒng)確定部分，變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng)用于控制系統(tǒng)不確定部分，即用于控制不確定因素對系統(tǒng)的影響，增加系統(tǒng)魯棒性，此時(shí)控制律為：

式中：Teq—等效控制項(xiàng)；

Tvss—變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng)。

（1）等效控制項(xiàng)Teq的設(shè)計(jì)方法。等效控制項(xiàng)用于控制系統(tǒng)的確定部分，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入滑模面后，能夠控制系統(tǒng)狀態(tài)在滑模面內(nèi)運(yùn)動，直至滑動到原點(diǎn)，此時(shí)要求s=0且s˙=0，將式（12）與（14）代入s˙=0，得：

（2）變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng)的設(shè)計(jì)方法。變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng)用于控制系統(tǒng)的不確定部分，鑒于準(zhǔn)連續(xù)高階滑?？刂凭哂惺諗克俣瓤?、控制精度高、魯棒性好、抖振相對較小等優(yōu)點(diǎn)，本文使用準(zhǔn)連續(xù)高階滑模設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng)Tvss，參考文獻(xiàn)[11]可知，變結(jié)構(gòu)控制項(xiàng)Tvss為：

式中：k^—自適應(yīng)滑膜增益，要求自適應(yīng)增益k^ ≥Δmax，Δmax-不確定因素的上界。

將式（18）和式（19）代入式（16），可以得到最終使用的非線性滑?？刂坡伞?/p>

5 仿真驗(yàn)證

這里設(shè)置三組仿真實(shí)驗(yàn)，（1）在不加入干擾觀測器的情況下，使用傳統(tǒng)滑模控制對機(jī)械臂軌跡進(jìn)行跟蹤；（2）在不加入干擾觀測器的情況下，使用非線性滑?？刂七M(jìn)行軌跡跟蹤；（3）在加入干擾觀測器的情況下，使用非線性滑?？刂七M(jìn)行軌跡跟蹤。通過比較一、二組實(shí)驗(yàn)，可以比較傳統(tǒng)滑?？刂婆c非線性滑?？刂频母櫺Ч煌ㄟ^比較二、三組實(shí)驗(yàn)，可以看出干擾觀測器在軌跡跟蹤中的作用。

5.1 仿真初始條件設(shè)計(jì)

仿真實(shí)驗(yàn)在Matlab/Simulink平臺上執(zhí)行，對照圖1將Simulink軟件中各相應(yīng)模塊連接，構(gòu)造出機(jī)械臂軌跡跟蹤的Simulink圖。以兩連桿兩關(guān)節(jié)剛性機(jī)械臂為控制對象。對于式（10）給出的機(jī)械臂動力學(xué)方程，各矩陣為：

式中：g=9.8m/s2—重力加速度；

m1、m2—連桿1和連桿2的質(zhì)量；

l1、l2—連桿1和連桿2的長度；

q1、q2—連桿1和連桿2轉(zhuǎn)動角度，如圖4所示。

圖4 兩連桿兩關(guān)節(jié)機(jī)械臂Fig.4 Manipulator with Two Linkages and Two Joints

式（10）中的擾動力矩d考慮庫倫摩擦和粘性摩擦，即兩連桿擾動均為d=zsgn(q˙)+kq˙，其中z=0.5、k=1。連桿1和連桿2初始轉(zhuǎn)動角度為q1=0、q2=0，期望軌跡為qd=[sint，sint]。

仿真用機(jī)械臂的參數(shù)為：m1=1kg，m2=1.5kg，l1=1.0m，l2=0.8m。

5.2 軌跡跟蹤結(jié)果及分析

在不加入干擾觀測器情況下，傳統(tǒng)滑?？刂茖C(jī)械臂軌跡跟蹤的結(jié)果如，如圖5所示。非線性滑模控制對機(jī)械臂軌跡的跟蹤效果，如圖6所示。

圖5 傳統(tǒng)滑?？刂频能壽E跟蹤結(jié)果（不加入觀測器）Fig.5 Trajectory Tracking Result by Traditional Sliding Mode Control without Observer

圖6 非線滑模控制的跟蹤結(jié)果（不加入觀測器）Fig.6 Trajectory Tracking Result by Nonlinear Sliding Mode Control without Observer

對比圖5和圖6對機(jī)械臂軌跡的跟蹤效果，對于關(guān)節(jié)1的軌跡跟蹤，圖5使用傳統(tǒng)滑?？刂疲?s時(shí)依然存在較大的抖振，3s時(shí)才逐漸穩(wěn)定；圖6使用非線性滑?？刂疲?.4s時(shí)就能夠穩(wěn)定跟蹤期望軌跡，不存在長時(shí)間的抖振現(xiàn)象。對于關(guān)節(jié)2，傳統(tǒng)滑?？刂坪头蔷€性滑?？刂茖壽E的跟蹤均存在一定的滯后性，跟蹤誤差較大?？偟膩碇v，與傳統(tǒng)滑模控制相比，非線性滑模控制能夠有效減小抖振，具有更好的控制效果。這是因?yàn)榉蔷€性滑?？刂坡梢罁?jù)非線性滑模面設(shè)計(jì)，更加符合機(jī)械臂非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)，同時(shí)非線性滑模控制律中考慮了不確定因素的影響，因此非線性滑模控制效果優(yōu)于傳統(tǒng)滑?？刂?。

在加入干擾觀測器的情況下，使用非線性滑?？刂聘櫃C(jī)械臂的期望軌跡，結(jié)果，如圖7所示。

圖7 非線性滑?？刂频母櫧Y(jié)果（加入觀測器）Fig.7 Trajectory Tracking Result by Nonlinear Sliding Mode Control with Observer

對比圖6和圖7加入擾動觀測器前后的軌跡跟蹤效果，加入擾動觀測器后，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2在0.2s后能夠精確跟蹤期望軌跡，跟蹤誤差幾乎為0；而未加入擾動觀測器時(shí)，關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2均存在一定的跟蹤幅值誤差和相位誤差。跟蹤效果的差別充分證明了擾動觀測器在軌跡跟蹤中的有效性，這是因?yàn)橥ㄟ^對擾動的觀測，進(jìn)而對控制力矩進(jìn)行補(bǔ)償，是一種消除擾動影響的主動措施，能夠有效抑制擾動產(chǎn)生的軌跡跟蹤誤差。

為了進(jìn)一步比較傳統(tǒng)滑?？刂?、非線性滑模控制、加入干擾觀測器的非線性滑模控制結(jié)果，統(tǒng)計(jì)三種方法穩(wěn)定跟蹤的時(shí)間和第一次到達(dá)期望軌跡后的最大跟蹤誤差，結(jié)果，如表1所示。

表1 不同方法的跟蹤結(jié)果Tab.1 Tracking Result by Different Method

由表1中數(shù)據(jù)可知，加入干擾觀測器的非線性滑?？刂频能壽E跟蹤誤差比另外兩種方法減小了一個(gè)數(shù)量級以上，穩(wěn)定跟蹤軌跡的時(shí)間也最短，這是因?yàn)橄到y(tǒng)中存在的可觀測擾動，使用觀測器進(jìn)行觀測后及時(shí)調(diào)整控制力矩，主動消除可觀測擾動的影響；對于不可觀測擾動，使用非線性滑?？刂茰p小其帶來的抖振和跟蹤誤差，因此取得了極高的控制精度和較好的控制效果。

6 結(jié)論

這里研究了機(jī)械臂的軌跡跟蹤控制問題，將擾動分為可觀測部分和不可觀測部分。對于可觀測擾動，設(shè)計(jì)了干擾觀測器，根據(jù)觀測值設(shè)計(jì)力矩補(bǔ)償值，減小可觀測噪聲影響；對于不可觀測擾動，設(shè)計(jì)了非線性滑?？刂破鳎糜跍p小不可觀測擾動引起的抖振和跟蹤誤差，最終取得了較高的跟蹤精度和較好的跟蹤效果。