朱由鋒，劉新華，王 良，王 強

（1.山東科技大學交通學院，山東 青島 266590；2.山東國金新能源汽車工程研究院，山東 淄博 255000）

1 引言

地鐵軌道交通系統(tǒng)具有站點多，間隔小，頻繁啟停的特點，容易造成電能利用率低的問題。主流地鐵機車采用電制動為主，空氣制動為輔的聯(lián)合制動策略，在高速行駛制動時，具有機械制動頻度高、閘瓦及車輪使用年限短的問題[1]。飛輪儲能地鐵再生制動能量回收裝置能減少能源消耗、穩(wěn)定線網電壓、推進國家環(huán)境友好型社會的建立。目前四類地鐵再生制動能量方案中，飛輪儲能在功率密度、能量回收效果和使用壽命等方面都優(yōu)于其它三類（電阻能耗型、逆變回饋型和超級電容）。

飛輪電池不同于化學燃料電池，用傳統(tǒng)的物理方法進行儲能。它通過真空室內轉子的高速旋轉來儲存機械能量，并由電子電力轉換轉置實現(xiàn)機械能與電能的互相轉化[2]。主要由轉子、軸、支撐軸承、電動機/發(fā)電機、真空室和電力電子變換器等組成[3]。其中，支撐軸承采用磁懸浮軸承，發(fā)動機/電動機為復合電機，采用軸向氣隙永磁無刷電機作為飛輪電池的副動力結構，為飛輪轉子提供直接動力。電子電力轉換裝置采用雙向儲能變流器[4]。這里只對飛輪電池磁懸浮轉子系統(tǒng)做深入分析和研究。

國內外學者對飛輪儲能磁懸浮轉子系統(tǒng)進行了深入分析研究。文獻[5]在有限元模型的基礎上，拋卻以往的剛性轉子模型，對轉子作為柔性轉子進行了研究。得出了控制器抑制與彎曲模式相關的臨界振動有關的結論。文獻[6]采用Prohl-Myklestad方法對飛輪儲能系統(tǒng)轉子進行了轉子動力學分析，得到了轉子的臨界轉速和不平衡響應。文獻[7]通過線圈組的環(huán)形結構和差動繞組方案得到PMB和HMB的線性磁力模型，在所建立的磁力模型的基礎上，設計了徑向穩(wěn)定轉子懸浮的積分滑?？刂破鳌Ｎ墨I[8]借助Poincare影射和Lyapunov指數(shù)發(fā)現(xiàn)，在某些特定的參數(shù)下，系統(tǒng)會出現(xiàn)周期運動、Hopf分叉、概周期運動、倍周期運動分叉、混沌現(xiàn)象。

目前關于飛輪儲能裝置磁懸浮轉子系統(tǒng)的研究大都是五自由度剛性模型，取轉子的自激振動為激勵源，忽略了定子基礎振動對高速旋轉的磁懸浮轉子振動行為的影響?；诖?，在飛輪電池磁懸浮轉子五自由度模型的基礎上，增加了與轉子支撐軸承固定連接的定子三自由度模型，旨在形成飛輪電池模型標準件，為飛輪電池的工程應用奠定理論基礎。

2 模型建立

2.1 飛輪電池及磁軸承模型的建立

飛輪電池定子受到外部激勵，產生基礎振動，與其固定連接的磁懸浮軸承與轉子之間產生相對位移。根據(jù)電磁力公式，電磁力作用到轉子上，重新調節(jié)轉子的位置。將飛輪電池豎直放置，來抑制和減小磁懸浮轉子的陀螺效應[9]，利用整體法和能量法建立了系統(tǒng)的八自由度模型，即定子的側傾、俯仰和豎直方向的自由度，磁懸浮轉子在磁軸承A和B處的x和y方向的位移以及豎直方向的位移。將磁懸浮轉子放置在定子的質心處，系統(tǒng)模型，如圖1、圖2所示。

圖1 飛輪電池系統(tǒng)結構模型Fig.1 Structure of Flywheel Battery System Model

圖2 磁懸浮轉子結構示意圖Fig.2 Schematic Diagram of Magnetic Suspension Rotor Structure

圖中：M—飛輪電池系統(tǒng)的總質量；θ—系統(tǒng)在yz平面內的轉角；φs—系統(tǒng)在xz平面內的轉角；Jxs—繞x軸的轉動慣量；Jys—繞y軸的轉動慣量；q1，q2，q3，q4—基礎激勵；k1，k2，k3，k4-定子支撐彈簧剛度系數(shù)；c1，c2，c3，c4—定子支撐阻尼系數(shù)；l—飛輪電池長度；b—飛輪電池寬度；h—飛輪電池高度。

圖中：ω—轉子轉速；Mr—轉子質量；m—轉子不平衡質量；e—偏心距；θr—轉子yz平面內轉角；φr—轉子xz平面內的轉角；Jxr—轉子繞x軸轉動慣量；Jyr—轉子繞y軸轉動慣量；Jzr—轉子的極轉動慣量；A和B—磁懸浮軸承；LA—轉子質心到A軸承質心的距離；LB—轉子質心到B軸承質心的距離；xA—轉子在磁軸承A處沿x方向的距離；xB—轉子在磁軸承B處沿x方向的距離；yA—轉子在磁軸承A處沿y方向的距離；y—轉子在磁軸承B處沿y方向的距離；zr—豎直方向位移。

式中：μ0—真空磁導率；Ar—磁懸浮軸承的有效磁極面積；N—線圈匝數(shù)；C—轉子和磁懸浮軸承之間的初始位置氣隙；I—通過磁懸浮軸承線圈的偏置電流；ic—通過線圈的控制電流，△δ—定子相對于轉子產生的位移。將上式在平衡處（ic=0，△δ=0）一階泰勒公式展開，忽略式中非線性項的影響，線性化可得：

ic是關于位移△δ的函數(shù)，由具體的控制方式來決定。交叉反饋控制是在PD控制的基礎上，提取徑向位移差分信號，將交叉反饋項加入到PD控制中。具有調節(jié)迅速，穩(wěn)定性好的特點，且能很好消除轉子陀螺效應影響。則控制電流與改變位移的關系為：

式中：kp—比例增益；kd—微分增益；kv—交叉反饋增益系數(shù)。

通過計算，交叉反饋增益系數(shù)表達式為：

用偏頻方法設計定子懸置彈簧剛度系數(shù)，用最佳阻尼比方法，取懸置阻尼系數(shù)。定子受到四角激勵，產生微小運動的過程中與轉子產生間隙，繼而產生激擾力，其表達式與電磁力表達式相同，如下：

2.2 定子激勵的選取

將飛輪儲能裝置與機車看作整體，忽略鐵軌和地鐵車輪的影響。地鐵加速過程中，地面振動會激勵定子，定子發(fā)生微小運動，磁懸浮軸承與轉子之間會有位移的改變。根據(jù)電磁力公式，產生的電磁力會重新調節(jié)轉子位置。文獻[11]研究表明，地鐵地面振動的主要頻率成分主要在（50～80）Hz之間。在MATLAB中用eig 函數(shù)對轉子模型方程進行模態(tài)分析，其四階固有頻率為49.7Hz。采用50Hz的正弦激勵作為飛輪儲能系統(tǒng)的外部激勵。

3 數(shù)值仿真

采用數(shù)值積分方法，對系統(tǒng)微分方程進行求解。飛輪儲能裝置的結構參數(shù)參考文獻[12]中一款飛輪電池的實際數(shù)據(jù)。

用閃頻法得到飛輪電池轉子轉動角速度參數(shù)的分岔圖，如圖3、圖4所示。轉子轉動角速度處于（0～3980）rad/s區(qū)間時，系統(tǒng)收斂為直線，磁懸浮轉子處于穩(wěn)定狀態(tài)。當轉動角速度超過3980rad/s時，分岔圖是離散排布無規(guī)律的點集，系統(tǒng)進入失穩(wěn)混沌區(qū)間。此區(qū)間內，轉子系統(tǒng)容易出現(xiàn)碰摩故障，嚴重影響著飛輪電池的使用壽命和安全性。

圖3 轉子質心X方向分岔圖Fig.3 Rotor Centroid X Direction Bifurcation Diagram

圖4 轉子質心Y方向分岔圖Fig.4 Rotor Centroid Y Direction Bifurcation Diagram

選取飛輪電池轉子運行周期內臨界轉速（3980rad/s）和失穩(wěn)轉速（4093rad/s）進行分析。PSP圖是由文獻[12]提出，經過驗證的振動分析工具。它是用激擾力周期內的峰—峰值和對應的采樣周期數(shù)在二維平面圖內確定的一系列點構成的圖形，可以清楚的分辨系統(tǒng)的周期、概周期和混沌運動。當轉子的轉速上升到3980rad/s時，轉子質心Y方向的幅值變得參差不齊，相圖也變?yōu)槎鄠€不同心的圓，峰值圖的直線部分逐漸開始發(fā)散，龐加萊截面圖變?yōu)樵S多點組成的類圓形，可知，當磁懸浮轉子的轉速ω=3980rad/s時，轉子處于概周期運動，如圖5所示。

圖5 ω=3980rad/s時轉子響應曲線Fig.5 Rotor Response Curve at ω=3980rad/s

轉子的轉速增加到4093rad/s時，轉子振動不斷加劇，轉子質心Y方向的時間歷程圖出現(xiàn)“拍振”現(xiàn)象，峰值圖和龐加萊截面變?yōu)樯y的點集，可知此時轉子運動狀態(tài)極不穩(wěn)定，處于混沌狀態(tài)，如圖6所示。

圖6 ω=4093rad/s轉子響應曲線Fig.6 Rotor Response Curve at ω=4093rad/s

將地鐵運行過程中，飛輪電池磁懸浮轉子質心Y方向的關于時間序列的數(shù)據(jù)通過傅里葉變換，得到不同控制參數(shù)下的幅頻特性曲線，如圖7所示。

圖7 不同轉動角速度下磁懸浮轉子幅頻特性曲線Fig.7 Amplitude-Frequency Characteristic Curve of Magnetic Suspension Rotor Under Different Rotational Angular Velocities

轉子轉速為3000rad/s時，共振頻率分別為0.05Hz和3.8Hz，無控制器作用時，對應的幅值分別為23.4μm和5.0μm，交叉反饋控制對應的幅值分別為1.01μm和4.50μm。轉速為3980rad/s時，共振頻率分別為0.1Hz和5.0Hz，無控制器作用時，對應的幅值分別為60.7μm和4.29μm，交叉反饋控制對應幅值分別為1.3μm和4.28μm。轉子轉速為4093rad/s 時，共振頻率分別為0.2Hz 和5.1Hz，無控制器作用時，對應的幅值分別為98.6μm和5.3μm，交叉反饋控制對應幅值分別為1.29μm和3.68μm。

4 結論

建立了飛輪儲能八自由度模型，以地鐵加速工況造成的地面振動為外界激勵，對飛輪電池磁懸浮轉子系統(tǒng)振動響應進行了深入分析。

（1）地鐵運行過程中，磁懸浮轉子穩(wěn)定轉動區(qū)間（0～3980）rad/s，超過臨界轉速之后，系統(tǒng)會出現(xiàn)“拍振”現(xiàn)象，非線性振動明顯加劇。飛輪儲能裝置進行動能回收時，應該進行轉速約束，防止因轉子失穩(wěn)而降低飛輪儲能裝置效率。

（2）交叉反饋控制能夠明顯減小轉子質心處的位移。在高速下，質心處幅值降幅更加明顯。采用交叉反饋控制來穩(wěn)定轉子系統(tǒng)，可靠性高，穩(wěn)定性好。