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        變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)軸壓臨界力的高效分析方法

        2022-01-13 03:33:26孟麗霞于傲群劉士明
        機(jī)械設(shè)計(jì)與制造 2021年12期
        關(guān)鍵詞:格構(gòu)軸壓樣條

        孟麗霞,于傲群,劉士明

        (沈陽(yáng)建筑大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,遼寧 沈陽(yáng) 110168)

        1 引言

        由眾多梁桿組成的復(fù)雜格構(gòu)式結(jié)構(gòu),廣泛應(yīng)用于建筑鋼結(jié)構(gòu)、起重機(jī)械臂架、輸電塔架以及某些橋梁結(jié)構(gòu)中,其中變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)憑借自重輕、材料利用合理、容易實(shí)現(xiàn)等強(qiáng)度原則,在工程實(shí)際中應(yīng)用更加廣泛。結(jié)構(gòu)的軸壓穩(wěn)定性問(wèn)題明顯區(qū)別強(qiáng)度問(wèn)題,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)破壞由于事發(fā)前沒(méi)有明顯的征兆,一旦失穩(wěn)破壞即會(huì)對(duì)人身安全、社會(huì)經(jīng)濟(jì)造成不可逆的損害。因此,許多學(xué)者將結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析作為關(guān)注的焦點(diǎn)?,F(xiàn)階段,采用有限單元法、靜力法等分析等截面實(shí)腹式構(gòu)件以及簡(jiǎn)單組合結(jié)構(gòu)的軸壓穩(wěn)定性問(wèn)題已相對(duì)成熟[1-3]。而相較于等截面梁?jiǎn)卧芯?,目前變截面梁?jiǎn)卧膫鹘y(tǒng)做法是將其密分成多段等截面梁?jiǎn)卧M(jìn)行模擬,這種方法已經(jīng)被證明是相當(dāng)?shù)托У?。文獻(xiàn)[4]利用數(shù)值計(jì)算求解出一種具有軸向力和剪切變形的梁?jiǎn)卧_剛度矩陣。文獻(xiàn)[5]利用有限差分法對(duì)變截面懸臂梁?jiǎn)卧M(jìn)行了計(jì)算分析。文獻(xiàn)[6]基于Euler-Bernoulli梁理論研究了具有不同截面形狀的變截面梁?jiǎn)卧亻L(zhǎng)度的慣性矩變換,然后采用Bessel函數(shù),獲得了包括軸向力影響的剛度矩陣。文獻(xiàn)[7]將變截面構(gòu)件載荷轉(zhuǎn)換為等效節(jié)點(diǎn)載荷,采用增量割線剛度方法,推導(dǎo)出工程中常見(jiàn)截面類型統(tǒng)一表述的新型變截面梁?jiǎn)卧?/p>

        文獻(xiàn)[8]提出一種TTH彎曲梁柱單元,并計(jì)入二階效應(yīng)影響對(duì)變截面工字梁?jiǎn)卧M(jìn)行研究。針對(duì)復(fù)雜格構(gòu)式結(jié)構(gòu)或桁架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析,目前主要采用有限單元法,一個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行一次建模,建模工作量大,計(jì)算效率不高。為了提高計(jì)算準(zhǔn)確率和效率,許多學(xué)者對(duì)格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性和非線性變形進(jìn)行了深入的研究[9-13]。其中,在等截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)研究方面,學(xué)者們采用共旋坐標(biāo)法、弧長(zhǎng)法等對(duì)其進(jìn)行了研究[9-10]。在變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)研究方面,Theodore G.假設(shè)變形曲線,采用加遼金法獲得含有錐形截面的多跨梁與框架結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界力[11]。文獻(xiàn)[12]通過(guò)慣性矩等效方式將臂架從格構(gòu)式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為實(shí)腹式梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行穩(wěn)定性研究。文獻(xiàn)[13]利用多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行變截面梁?jiǎn)卧母唠A計(jì)算,采用五次Hermit插值獲得形函數(shù),剛度矩陣具有較精確的表達(dá)形式,但其獲得的變截面梁?jiǎn)卧饣B續(xù)性不高,并且插值函數(shù)階數(shù)過(guò)高會(huì)導(dǎo)致收斂性較差,最終使得求解精確度降低。

        使用三次樣條函數(shù)構(gòu)建變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧灰茍?chǎng),基于非線性有限元法推導(dǎo)計(jì)及二階效應(yīng)的變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣,結(jié)合靜力凝聚法獲得一種新型的兩節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧?,利用該單元?duì)由梁桿組成的變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的軸壓穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

        2 三次樣條變截面梁?jiǎn)卧灰茍?chǎng)

        變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧?,如圖1所示。單元長(zhǎng)度為l,在任意截面x處的截面慣性矩I(x)、面積A(x)與原點(diǎn)o處的截面慣性矩I0、面積A0的關(guān)系為:

        圖1 變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧狥ig.1 The Lattice Beam Element with Variable Section

        利用三次樣條插值推導(dǎo)變截面梁?jiǎn)卧芯€剛度陣時(shí),對(duì)梁?jiǎn)卧M(jìn)行基本假定:

        (1)梁?jiǎn)卧冃螘r(shí),單元橫截面與變形前保持一致;

        (2)遵循廣義Hooke定律,單元材料為各向同性;

        (3)梁?jiǎn)卧獧M截面在變形后仍垂直于法線。

        通過(guò)以上假定得到函數(shù)形式:

        式中:λ—變截面構(gòu)件錐度的無(wú)量綱參數(shù),λ>-1。

        圖2 三次樣條變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧枋鯢ig.2 Cubic Spline Description of Variable Section Lattice Beam Element

        根據(jù)三次樣條插值定理,由于梁?jiǎn)卧獦訔l曲線等分為3份,每份樣條曲線的橫向位移場(chǎng)均可表示為三次多項(xiàng)式,并且多項(xiàng)式參數(shù)是由節(jié)點(diǎn)的邊界條件和單元變形的連續(xù)條件決定的,如下所示。

        式中:ξ=x/l。結(jié)合上述條件,獲得變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧臋M向位移場(chǎng)形函數(shù)向量:

        式(6)兩側(cè)同時(shí)對(duì)y取積分得:

        3 變截面梁?jiǎn)卧芯€剛度矩陣

        在大位移大轉(zhuǎn)角小應(yīng)變條件下,忽略格林應(yīng)變中與縱向位移相關(guān)的高階項(xiàng)得:

        其中各變量的具體表達(dá)式詳見(jiàn)附錄。當(dāng)剛度矩陣式(17)中錐度系數(shù)λ→0且軸力P→0時(shí),所得的變截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘖T即可轉(zhuǎn)化成傳統(tǒng)等截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嘖′T:

        4 算例分析

        選取無(wú)量綱穩(wěn)定系數(shù)mcr=pcrl2/(EI2),分析該懸臂變截面格構(gòu)式構(gòu)件的整體穩(wěn)定性。采用本文新型變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧?,將?gòu)件劃分為一個(gè)單元,得到對(duì)應(yīng)剛度矩陣:

        由結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界力方程Det[KT]=0,獲得軸壓失穩(wěn)臨界力,進(jìn)而可得穩(wěn)定系數(shù)mcr,并與文獻(xiàn)[14]的理論精確解進(jìn)行對(duì)比,對(duì)比結(jié)果,如表1所示。

        表1 懸臂格構(gòu)式構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)mcr計(jì)算比較Tab.1 Comparison of Stability Coefficients mcr of Cantilever Lattice Structure

        圖3 懸臂變截面格構(gòu)式構(gòu)件Fig.3 Cantilever Variable Section Lattice Structure

        將該組合構(gòu)件中每個(gè)變截面段劃分為一個(gè)單元,其中變截面單元1和3利用這里獲得的新型梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝囘M(jìn)行計(jì)算,等截面單元2利用這里剛度陣令λ=0退化得到的等截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝囘M(jìn)行計(jì)算。通過(guò)剛度矩陣組裝集成求解可得到該梭形構(gòu)件的失穩(wěn)臨界力。計(jì)算出不同I1/I2和x/l情況下的mcr值,這里結(jié)果與文[14]理論結(jié)果對(duì)比,如表2所示。

        圖4 簡(jiǎn)支梭形格構(gòu)式組合構(gòu)件Fig.4 The Combined Spindle Lattice Structure with Simple Support

        表2 梭形格構(gòu)式構(gòu)件穩(wěn)定系數(shù)mcr計(jì)算比較Tab.2 Comparison of the Stability Coefficient mcr of the Combined Spindle Lattice Structure

        由表1、表2結(jié)果可見(jiàn),這里所推導(dǎo)的變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧芯€剛度矩陣在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析時(shí),具有非常高的計(jì)算精度。本文獲得的新型梁?jiǎn)卧粌H可用于單構(gòu)件軸壓穩(wěn)定性分析,也可用于變截面、等截面組合構(gòu)件的軸壓穩(wěn)定性分析。同時(shí),所形成的整體剛度陣與傳統(tǒng)兩節(jié)點(diǎn)梁?jiǎn)卧哂邢嗤碾A數(shù),可以方便實(shí)現(xiàn)變截面梁到等截面梁的轉(zhuǎn)化。

        5 結(jié)論

        (1)基于有限元插值理論,采用三次樣條插值推導(dǎo)變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣,隨后結(jié)合靜力凝聚法消除單元節(jié)點(diǎn)的曲率自由度,推導(dǎo)出一種新型的變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧?;?)利用推導(dǎo)的變截面格構(gòu)式梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃噷?duì)變截面格構(gòu)式懸臂結(jié)構(gòu)和簡(jiǎn)支梭形格構(gòu)式組合結(jié)構(gòu)進(jìn)行軸壓穩(wěn)定性分析,計(jì)算結(jié)果與Timoshenko精確解幾近相同,表明這里方法可高效地分析由梁桿組成的復(fù)雜變截面格構(gòu)式結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性問(wèn)題;(3)這里凝聚后的變截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚺c傳統(tǒng)有限元法所得梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚨碾A數(shù)保持一致,可與傳統(tǒng)梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚰山M裝,方便統(tǒng)一分析求解;且當(dāng)λ趨于0時(shí),這里剛度陣可退化為計(jì)及二階效應(yīng)的等截面梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠汝嚒?/p>

        附錄:

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