徐林超，向文麗

(楚雄師范學院 物理與電子科學學院，云南 楚雄 675000)

亥姆霍茲線圈是一對彼此平行且聯(lián)通的共軸圓形線圈，結構簡單并能產生一定可調、均勻性較好的磁場，適合做大尺寸均勻磁場發(fā)生器，除此之外，亥姆霍茲線圈還廣泛應用于生產、技術、物理等領域.

亥姆霍茲線圈磁場的測量是大學物理實驗必做的項目之一，其測量方法主要有“霍耳效應法”[1]和“電磁感應法”[2]兩種.何冰心等[1]利用霍耳效應法測量亥姆霍茲線圈空間磁場，得到空間磁場的大小、形狀及范圍；王倩等[2]通過電磁感應法測量磁場的實驗方法測量載流圓線圈軸線上的磁場，并很好地驗證了由畢奧-薩伐爾定律求解得到的載流圓線圈軸線上的磁感應強度公式；楊能勛等[3]用傳統(tǒng)方法，即用亥姆霍茲線圈磁場測定儀進一步探究了亥姆霍茲線圈空間磁場均勻區(qū)域的大小、形狀和范圍；武成艷等[4]利用Origin軟件對亥姆霍茲線圈磁場測量實驗進行數據處理和圖形擬合分析，得出亥姆霍茲線圈中心軸線上的磁場分布.當前，大多數研究報道為亥姆霍茲線圈磁場的理論推導、傳統(tǒng)方法測量和軟件模擬等，而利用RLC電路的物理特性改進電磁感應法測量亥姆霍茲線圈磁場的報道甚少.本文在電磁感應法測量亥姆霍茲線圈磁場分布的基礎上，基于RLC電路的物理特性，利用電容與亥姆霍茲線圈串聯(lián)設計了電路諧振的改進實驗,以提高實驗效率和精確度.

1 實驗原理

1.1 亥姆霍茲線圈磁場分布

亥姆霍茲線圈由一對完全相同的共軸圓形導體線圈組成，兩組線圈之間的距離等于圓線圈的半徑r. 當在亥姆霍茲線圈上通有同向電流I時，運用畢奧-薩伐爾定律得出在亥姆霍茲線圈軸線上的磁感應強度[5]為

(1)

從式(1)可知，當X的值在一定小范圍內變化時，磁感應強度B的變化微小，則可以認為在亥姆霍茲線圈中心軸線上一定小范圍內存在均勻分布的磁場.

基于電磁感應法測量磁感應強度[2]的公式為

(2)

其中，N為探測線圈的匝數，Um是探測線圈感應電動勢最大值，S為探測線圈的橫截面積.

1.2 RLC串聯(lián)諧振

RLC串聯(lián)電路是一種由電阻(R)、電感(L)、電容(C)組成的串聯(lián)電路結構，當回路中接入一個輸出電壓幅度一定、輸出頻率f持續(xù)可調的正弦交流信號源時，電路的許多參數都將隨著信號頻率的變化而變化.

當容抗等于感抗時，容抗與感抗互相抵消，即

(3)

此時，電路總阻抗為最小值，回路電流達到最大值，整個電路呈阻性，這個現(xiàn)象即為RLC串聯(lián)電路諧振，諧振頻率為

(4)

f0稱為RLC電路的固有諧振頻率，它跟電路的參數密切相關，與信號源沒有關系.

基于此，一般可以通過2種辦法令RLC串聯(lián)電路實現(xiàn)諧振，第1種方法為：保證LC不變改變ω；第2種方法為：保證電源頻率不變，改變L或者C.實驗中一般常改變C達到串聯(lián)諧振.

1.3 傳統(tǒng)電磁感應法結合RLC串聯(lián)諧振改進實驗

由RLC串聯(lián)諧振電路的物理特性可知，在RLC串聯(lián)諧振電路中，感抗和容抗相互抵消，電路為純電阻電路，電流達到最大值.傳統(tǒng)電磁感應法測量亥姆霍茲線圈磁場，亥姆霍茲線圈自身電感對亥姆霍茲線圈的磁場測量具有一定影響，存在測量值整體偏小、讀數不方便的問題.因此，本實驗在電磁感應法的基礎上，通過與亥姆霍茲線圈串聯(lián)電容達到諧振改進實驗，從而使亥姆霍茲線圈自身電感感抗和串聯(lián)電容容抗相互抵消，消除亥姆霍茲線圈自身電感感抗對實驗的影響，以解決傳統(tǒng)電磁感應法測量亥姆霍茲線圈磁場存在的問題，力求實驗操作方便、效果明顯，并提高實驗的精確度.

基于此，設計實驗如圖1所示，令電容C和亥姆霍茲線圈串聯(lián)，當開關閉合時，函數信號發(fā)生器[6]輸出正弦交流電信號，通過優(yōu)化選擇電容C的大小和亥姆霍茲線圈發(fā)生諧振，使亥姆霍茲線圈兩端的電壓達到最大值.

為了形象地判斷諧振現(xiàn)象并精確測量亥姆霍茲線圈磁場分布，實驗中，將晶體管毫伏表接入亥姆霍茲線圈兩端，選擇電容C的大小后通過晶體管毫伏表讀數，當其測量值達到最大值時可判斷該電路達到諧振；在電路達到諧振時，將探測線圈水平放至亥姆霍茲線圈中心軸線上，移動探測線圈至探測點，將示波器[7]接入探測線圈兩端，旋轉探測線圈，利用示波器可形象地觀察探測線圈旋轉時其感應電動勢的變化；并在示波器上由其波形讀出該探測點的感應電動勢的最大值，由式(2)得出該探測點的磁感應強度.

1. 函數信號發(fā)生器; 2. 電容; 3. 開關; 4. 亥姆霍茲線圈; 5. 探測線圈; 6. 晶體管毫伏表; 7. 示波器圖1 改進方法實驗原理圖

2 基于電磁感應的改進方法測量亥姆霍茲線圈磁場

本實驗采用的亥姆霍茲線圈為恒利達公司出廠，其總匝數為1 000匝，內阻為70.8 Ω，電感值為190.0 mH，測得探測線圈橫截面積為3.6×10-4m2，匝數500匝，亥姆霍茲線圈磁場測定儀的固有頻率為1 000 Hz.亥姆霍茲線圈上通入3 mA的同向電流時，由亥姆霍茲線圈中心軸線上的磁場式(1)可得在中心軸線上的磁感應強度理論值，記錄于表1.

通過幾何作圖的方法，初步確定亥姆霍茲線圈中心軸線的中心點，將探測線圈放至中心點位置的一定小范圍內沿水平方向移動，同時旋轉探測線圈找到最大感應電動勢對應的位置，確定亥姆霍茲線圈磁場的中心點，將該點記為X/m的零點位置.

根據圖1接好線路，實物圖如圖2所示，基于亥姆霍茲線圈測定儀固有頻率為1 000 Hz，選擇不同的串聯(lián)電容C，分別為0.099×10-6F、0.100×10-6F、0.110×10-6F時測出不同電容參數下亥姆霍茲線圈中心軸線上不同探測點X/m的最大感應電動勢，由式(2)計算出對應點的磁感應強度大小并記錄于表1；為了比較亥姆霍茲線圈串聯(lián)電容C改進方法測量磁場的優(yōu)勢，在其他參數相同的條件下，亥姆霍茲線圈不串聯(lián)電容，測出了亥姆霍茲線圈的磁場分布數據記錄于表1.

圖2 改進法測量亥姆霍茲線圈場正視圖

表1 亥姆霍茲線圈場理論值、傳統(tǒng)法和改進法的數據記錄

3 實驗結果分析

近年來，用Origin 軟件研究物理現(xiàn)象和規(guī)律具有良好的效果，本實驗以亥姆霍茲線圈的中心軸線為坐標X軸，磁感應強度為坐標Y軸，利用Origin 軟件作出亥姆霍茲線圈磁場分布圖，如圖3所示.

由圖3可知，基于傳統(tǒng)電磁感應法測量亥姆霍茲線圈磁場，即電路中亥姆霍茲線圈無串聯(lián)電容時，其磁場分布圖像遠遠低于理論計算下的磁場分布圖，測量磁場值整體偏??；當電路中亥姆霍茲線圈串聯(lián)電容時，測得的磁場分布圖像較前者(無串聯(lián)電容)整體上移，串聯(lián)電容為0.11×10-6F時，所測得的磁場分布圖像稍高于無電容串聯(lián)時對應的磁場分布圖像；即電容為0.1×10-6F時其圖像較高，而電容為0.099×10-6F時，其圖像處于三者中的最高處，該圖像與理論計算下的磁場分布圖像基本吻合；從該圖中可知亥姆霍茲線圈中心位置(x=0)的磁場強度為2.667×10-5T，最接近于理論計算下的最大磁場值2.697 5×10-5T，誤差為1.13%，而利用傳統(tǒng)電磁感應法測量該點的磁場強度為2.475×10-5T，誤差為8.25%.

綜上，亥姆霍茲線圈與電容串聯(lián)達到諧振測量其磁場改進方法在一定程度上可以消除亥姆霍茲線圈自身感抗的影響，相比于傳統(tǒng)電磁感應法測量亥姆霍茲線圈磁場效果明顯，更接近于理想狀態(tài)下的亥姆霍茲線圈磁場分布.改進方法測量的磁場精確度均一定程度上大于傳統(tǒng)電磁感應法的測量結果，在電容為0.11×10-6F時，測得的亥姆霍茲線圈磁場精確度稍高，而電容為0.099×10-6F時，測得的亥姆霍茲線圈磁場精確度最高，電容為0.1×10-6F時，所測得的亥姆霍茲線圈磁場精確度基于其他兩者之間，則串聯(lián)電容為0.099×10-6F時是3種參數中電容的最佳選擇.

為了科學地量化測出亥姆霍茲線圈中心軸線各點的磁場分布關系，利用Origin擬合了最佳電容為0.099×10-6F時的亥姆霍茲線圈中心軸線位置和磁場的關系，其關系式為B=-71.08X3-104.67X2+0.44X+2.71，單位為10-5T，其擬合相關系數為0.99，與理論狀態(tài)下的式(1)基本吻合，擬合不確定度為0.02×10-5T.

圖3 亥姆霍茲線圈中心軸線磁場分布圖

圖4 改進方法(C=0.099×10-6F)測得的磁場分布擬合圖

4 結論

本文在電磁感應法的基礎上通過亥姆霍茲線圈串聯(lián)電容達到諧振的改進方法，探究了不同串聯(lián)電容參數下測得的亥姆霍茲線圈磁場分布，利用Origin軟件作圖并擬合分析了其亥姆霍茲線圈磁場與中心軸線位置的關系式，結論如下：

1) 改進方法一定程度上可以消除亥姆霍茲線圈自身感抗的影響，測得的亥姆霍茲線圈磁場精確度在一定程度上均大于傳統(tǒng)電磁感應法的測量結果.

2) 串聯(lián)電容C的大小不同程度上影響測量磁場的精度.3種選擇電容中，在電容為0.11×10-6F時，測得的亥姆霍茲線圈磁場精確度稍高，電容為0.1×10-6F時，所測得的亥姆霍茲線圈磁場精確度基于其他兩者之間，而電容為0.099×10-6F時，測得的亥姆霍茲線圈磁場精確度最高，是3種參數中電容的最佳選擇.

3) 利用Origin軟件擬合了最佳電容與亥姆霍茲線圈串聯(lián)時的亥姆霍茲線圈中心軸線位置與磁場的關系, 擬合關系式與理論狀態(tài)下的式(1)基本吻合.

4) 結合RLC電路的特點對傳統(tǒng)的電磁感應法進行改進，實驗效果明顯，精確度高，科學可行.該方法為一種值得推廣的測量亥姆霍茲線圈磁場的改進方法.