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        單擺周期的系統(tǒng)誤差分析

        2022-01-13 12:36:14
        大學物理 2022年1期
        關鍵詞:擺球擺線空氣阻力

        邵 云

        (南京曉莊學院 電子工程學院,江蘇 南京 211171)

        一般來說,對單擺的周期產(chǎn)生影響的系統(tǒng)誤差因素,包括擺角、擺球繞質心軸轉動、擺線質量、空氣浮力、空氣阻力這5種.對于這個古老的問題,目前國內(nèi)已有的研究文獻眾多.縱觀這些研究文獻,可以發(fā)現(xiàn)如下問題:1) 考慮得不夠周全,漏掉了其中某些因素,尤其是空氣阻力;2) 內(nèi)容缺失,缺少必要的推理和計算過程,缺少必要的背景知識介紹(如大擺角橢圓積分)和圖、表等;3) 缺乏必要的近似處理,使結論不夠直觀;4) 忽視了各種因素誤差的符號及彼此間的相互抵消作用;5) 將空氣阻力視作速度的一次函數(shù)而非實際的二次函數(shù)形式,進而缺失了對于空氣阻力的正確判斷.本文擬將盡量完善對于單擺周期系統(tǒng)誤差的討論,力爭彌補以上缺陷,努力為讀者呈現(xiàn)一個較為完整和正確的認識.

        1 小幅、大幅單擺周期的理論值

        設圖1中單擺小球的質量為m,其質心到懸掛點O的距離為l(擺長).當擺線偏離豎直方向θ角時,由力學知識可知,作用在小球上的重力G的切向分力大小為mgsinθ,方向趨向小球的平衡位置O′,此時小球運動的動力學方程為

        (1)

        圖1 單擺

        當θ<5°時,有sinθ≈θ,式(1)簡化為

        (2)

        這是一個典型的簡諧振動微分方程,其通解為

        θ(t)=θmaxcos(ω0t+φ)

        (3)

        (4)

        表1 小角度下θ與sin θ的差距

        見表1,當θ>5°時,通常認為sinθ≈θ不再成立,此時微分方程式(1)不再是線性方程,其解實際是一包含橢圓積分的隱函數(shù)[1,2].對于單擺自右側最高點靜止開始下擺的過程,式(1)的解可以表達為[2]

        (5)

        其中F是橢圓積分函數(shù),θ0是初始擺角,變量ψ則為

        (6)

        顯然,當單擺下擺至最低點時有θ=0,ψ=0,于是根據(jù)式(5),即得此時單擺的1/4周期為[1]

        (7)

        表2 不同初始角θ0下的1/4周期和小角度近似值比較

        續(xù)表

        下面將討論小球繞質心軸的轉動、擺線質量、空氣浮力及空氣阻力對于單擺周期的影響.

        2 小球繞質心軸的轉動動能對于單擺周期的影響

        單擺實驗中的小球實際是有大小的,設其半徑為r.可將小球和擺線即單擺系統(tǒng)看作剛體,則由剛體力學知識知,系統(tǒng)繞懸點O軸的轉動慣量為

        (8)

        其中已忽略擺線的質量.于是,根據(jù)系統(tǒng)繞懸點O軸轉動的角動量定理(即轉動定理)可得

        (9)

        整理得

        (10)

        對比式(10)與式(1)即可發(fā)現(xiàn),在考慮小球的半徑r后,單擺的運動形式并沒有變化,只是周期稍稍增大.再結合式(4)、(7)可知,無論擺長、擺角大小,在相同的擺長l及擺角θ0下,考慮與未考慮小球半徑,周期的相對變化均可表達為

        (11)

        (12)

        若取通常值r=0.01 m,l=1 m,則有

        (13)

        即使取r=0.01 m,l=0.2 m,依然有

        (14)

        可見,即使計入小球的自轉因素,由于轉動動能遠遠小于平動動能[參考式(8)],因此小球自轉所帶來的對于周期的增加修正也微乎其微,完全可以忽略不計.

        當然,擺長中必須計入小球的半徑,這一點至關重要.

        3 擺線質量對于單擺周期的影響

        設擺線的質量為m′,那么系統(tǒng)繞懸點O軸的轉動慣量變?yōu)?/p>

        (15)

        其中已將擺線長度設為擺長(下同),由此帶來的相應誤差屬于高階小量,均可忽略.于是,根據(jù)系統(tǒng)繞懸點O軸轉動的角動量定理又可得

        (16)

        由于m′<

        (17)

        設擺線的線密度λ=0.2 g/m[3],長度l=1 m;小球的密度取ρ=8.9 g/cm3(純銅擺球),半徑r=1 cm,則式(17)中的

        (18)

        將這里的結果與式(13)、(14)進行對比,可以發(fā)現(xiàn),擺線質量對于周期的影響將隨擺長而增加,而小球的自轉對于周期的影響則隨擺長的增加而迅速減?。送?,式(17)業(yè)已表明,這兩種因素的影響均與擺角幅度θ0無關.

        4 空氣的浮力對于單擺周期的影響

        設空氣的密度ρ空=1.29 kg/m3(標準狀態(tài)),由于擺線通常較細,其體積遠小于小球的體積,因此作為近似處理,可將式(16)、(17)中的重力加速度g置換成“視重力加速度”,有

        (19)

        于是,當繼續(xù)考慮空氣的浮力后,單擺系統(tǒng)的動力學方程需改為

        (20)

        再將式(19)代入式(20),根據(jù)近似知識即可得

        (21)

        一個有趣的現(xiàn)象便是,從式(21)可見,小球自轉、擺線質量、空氣浮力這3種因素對于單擺周期的影響存在相消行為.以擺長l=1 m為例,從上文中的數(shù)據(jù)即可算出這3種因素最終對于周期T的影響合為

        (22)

        可見,這3種因素總體會導致單擺的周期T減小,其中擺線的質量是主導因素.

        5 小幅度單擺受到的空氣阻力及其力矩

        其實無論小球還是擺線,空氣對它們都會有阻力作用.此時擺線可視作圓柱體,圖2為圓柱體做側向垂直平動時空氣阻力系數(shù)CD柱與雷諾數(shù)Re的關系[4-6];而速度不大的小球的空氣阻力系數(shù)則為[7]

        (23)

        圖2 圓柱體側向平動的空氣阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的關系

        靜止的空氣中雷諾數(shù)的定義為

        (24)

        其中v為物體相應的特征速度;L為物體的特征長度,對于這里側向平動的圓柱,L即為圓柱的直徑,而對于擺球,L則為擺球直徑;η空是空氣的黏滯系數(shù),在0 ℃時有[8]

        η空=1.7×10-5Pa·s

        (25)

        對于通常擺長1 m的單擺,其周期為2 s,5°擺角小球的振幅約為0.09 m,因此小球在最低點的速度約為0.09π≈0.28(m/s).現(xiàn)設小球的半徑依然為1 cm,擺線阻力的有效直徑d有效=0.5 mm,將諸數(shù)據(jù)代入式(24),即得小球及擺線下端的最大雷諾數(shù)分別為:

        (26)

        (27)

        由此可見,對于這里的小球,將空氣阻力系數(shù)表達成式(23)是適當?shù)?,而圖2中雷諾數(shù)的范圍則顯得過于寬泛,只需取其中(0.1,50)區(qū)間段即可.為了獲得更好的相關系數(shù)R2,使其盡量趨于1,本文選擇了圖2也即文獻[4]中插圖7.7的Re∈(0.2,10)段曲線進行分立取點,作圖并加以擬合,得到圖3,所得擬合函數(shù)為

        CD柱=10.705Re-0.622, 0.2≤Re≤10

        (28)

        除了極小和極大的速度外,運動物體在空氣中受到的空氣阻力一般表示為

        (29)

        其中S是物體在迎風面的最大投影面積.聯(lián)立式(23)、(24)、(28)、(29),結合其它相關知識,積分便得小幅度單擺受到的空氣阻力大小為

        (30)

        計算整理得

        (31)

        再將l=1 m,r=1 cm,d有效=0.5 mm及相關數(shù)據(jù)代入式(31),即得

        (32)

        另外,參照式(30)—(32),亦可求得此單擺受到的空氣阻力矩大小為

        (33)

        式(32)、(33)均采用了國際單位制.

        6 小幅單擺較嚴格的理論周期及空氣阻力影響

        參見圖1,設單擺的初始擺角θ0=-5°.綜合考慮本文所討論的各種因素,并參照上文已有的結論,包括式(16)、(19),對于單擺向右擺的過程,根據(jù)角動量定理有

        (34)

        將l=1 m,r=1 cm,m=3.728×10-2kg以及式(18)、(19)、(33)代入式(34),于是可得

        整理得

        (35)

        考慮到單擺做往復擺動,式(35)應進一步修訂為

        (36)

        這便是小幅單擺在上述5種因素共同作用下的動力學微分方程.據(jù)此,應用MATLAB軟件,可作出小幅單擺在理論上的擺動圖像,如圖4所示.

        圖4 5種因素共同作用下5°單擺擺動的理論圖像

        由圖4可見,即使是小幅度單擺,它在空氣中擺動時擺幅的衰減也是較為明顯的.經(jīng)過仔細的考察可知,前100 s擺幅的衰減率約為-0.585°/102s,與文獻[6]中秒擺-0.62°/102s的實測結果基本相仿,差異可能源自擺球材質、擺線粗細、空氣密度等不同.此外,圖4中單擺擺動的周期幾乎不變:在0~100 s內(nèi)的平均周期約為2.007 s,而在900~1 000 s內(nèi),平均周期則約為2.006 s.

        從表2中可見,1 m長5°擺角單擺的理想周期為

        (37)

        (因g相同及比較需要,結果多取了幾位有效數(shù)字)因此,圖4中多種因素共同作用下的小幅單擺周期的相對誤差(取前100 s)為

        (38)

        7 單擺周期系統(tǒng)誤差的綜合分析

        (39)

        單擺實驗的確是一個系統(tǒng)誤差極小的實驗,因此它能夠被用來測量重力加速度g.此時若以1‰的測量精度為目標,那么擺角θ0只能選擇5°左右,而擺長l則須選擇1 m及以上.

        8 關于空氣阻力的幾點補充說明

        需要指出的是,不少研究單擺的文獻[3,9,10]都將空氣阻力表達成斯托克斯一次正比黏滯阻力,這是不恰當?shù)?,因為該公式只能適用于雷諾數(shù)Re比1小很多時的情形[4,5,8],如空氣中十分微小的水滴或油滴等.事實上,從本文式(31)也能明確地看出這一點.在式(31)中,小球受到的空氣阻力顯然為

        (40)

        看起來,它和小球的斯托克斯一次正比黏滯阻力

        (41)

        頗為相似(確實存在聯(lián)系[4,5]),但是實際數(shù)值卻差別很大.根據(jù)式(40)、(41)并利用式(32)中的數(shù)值可得

        (42)

        圖5 本文5°單擺下擺時小球所受風阻比(F風阻)球/F斯隨角速度|dθ/dt|的變化

        另外,從式(33)亦可看出,擺線與擺球受到的空氣阻力矩之比為

        (43)

        圖6 5°單擺的擺線與小球受到的空氣阻力矩之比隨角速度的變化

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