高翻翻，丁正生

(西安科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710600)

0 引言

花朵授粉算法(flower pollination algorithm, FPA)[1]是一種模擬花朵授粉過程的優(yōu)化算法，該算法具有參數(shù)少、魯棒性好、易調(diào)節(jié)和易實(shí)現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn)。

國內(nèi)外對FPA的研究主要分為算法的優(yōu)化[2-4]和應(yīng)用[5-7]兩大類。文獻(xiàn)[8]提出了融合正弦余弦算法和精英算子的花朵授粉算法，與FPA相比尋優(yōu)精度得到了改善，但缺乏應(yīng)用，該算法的可行性有待商榷。文獻(xiàn)[9]提出了一種求解置換流水車間調(diào)度問題的新型花朵授粉算法，但對測試函數(shù)的結(jié)果并未達(dá)到理論最優(yōu)值，還需改進(jìn)。文獻(xiàn)[10]提出了一種求解旅行商問題的離散花朵授粉算法，雖得到了較好的尋優(yōu)效果，但其所花費(fèi)的時間過長。

上述改進(jìn)策略雖對FPA的性能有所提升，但仍存在收斂精度和跳出局部最優(yōu)能力偏低等不足，故許多學(xué)者通過各種改進(jìn)方法來幫助FPA算法跳出局部最優(yōu)，如文獻(xiàn)[11]用霍爾頓(Halton)序列來初始種群質(zhì)量，文獻(xiàn)[12-13]增加了高斯(Gauss)變異算子，文獻(xiàn)[14-15]分別引入了定向變異策略和量子搜索機(jī)制，文獻(xiàn)[16-17]加入了柯西(Cauchy)變異等。雖然以上改進(jìn)均提高了算法跳出局部最優(yōu)的能力，卻導(dǎo)致優(yōu)化效果不明顯、無法收斂到0等問題，基于此，本文提出了一種融合動態(tài)收斂因子與黃金正弦的花朵授粉算法(flower pollination algorithm combining dynamic convergence factor and golden sine, DGSFPA)。借助仿真實(shí)驗(yàn)和案例分析，驗(yàn)證了DGSFPA能夠更有效地跳出局部最優(yōu)，同時提高了FPA的尋優(yōu)精度和收斂速度。

1 花朵授粉算法

花朵授粉算法是模擬顯花植物花朵傳粉的過程，要實(shí)現(xiàn)該算法需滿足以下幾個準(zhǔn)則：

(Ⅰ)攜帶花粉的傳粉者(蜜蜂，鳥)利用Lévy飛行進(jìn)行傳粉，這種生物異花授粉被認(rèn)為是全局授粉。

(Ⅱ)通過風(fēng)和水等自然因素進(jìn)行傳粉的非生物自花授粉被認(rèn)為是局部授粉。

(Ⅲ)花的恒定等于繁衍概率，其值與所涉及的兩種花的相似性成正比。

(Ⅳ)轉(zhuǎn)換概率p∈[0,1]調(diào)節(jié)全局授粉和局部授粉，由于自然因素的影響，使局部授粉具有更顯著的p值，在整個傳粉過程中占主導(dǎo)作用。

花朵授粉算法主要有兩個階段：

階段一：若轉(zhuǎn)換概率p>rand，rand是[0，1]的隨機(jī)數(shù)，則昆蟲通過攜帶花粉配子進(jìn)行異花授粉(全局授粉)，此時花粉的位置更新方法為：

(1)

(2)

其中：縮放因子λ=1.5；Γ(λ)表示標(biāo)準(zhǔn)伽馬函數(shù)。

階段二：若轉(zhuǎn)換概率p

(3)

2 改進(jìn)的花朵授粉算法

2.1 改進(jìn)的異花授粉位置更新方法

鯨魚優(yōu)化算法[18]在全局搜索中加入動態(tài)收斂因子，可以改善算法的收斂精度，受此啟發(fā)，本文在異花授粉的位置更新處引入動態(tài)收斂因子，該因子通過結(jié)合傳粉者的Lévy飛行軌跡，不僅能提高算法的收斂精度，而且可以增強(qiáng)全局勘探的能力。

改進(jìn)后的異花授粉位置更新方法為：

(4)

其中：a為動態(tài)收斂因子，其計算方式為：

(5)

其中：t為當(dāng)前迭代次數(shù)；N_iter為最大迭代次數(shù)；由于迭代次數(shù)的增加，a值逐漸減小到0。

2.2 改進(jìn)的自花授粉位置更新方法

傳統(tǒng)FPA在自花授粉過程中采用的位置更新方法，其搜索空間較廣泛，尋優(yōu)效果不佳，而文獻(xiàn)[19-20]提出了黃金正弦算法(golden sine algorithm，Golden-SA)，該算法中的參數(shù)R1和R2分別控制位置更新的距離和方向，有效指引花粉個體向最優(yōu)個體靠近，并增加了種群之間的信息交流。因此，在自花授粉中嵌入黃金正弦算法，即在位置更新階段引入黃金比例系數(shù)，極大程度縮減了搜索空間，有利于跳出局部最優(yōu)，達(dá)到提升尋優(yōu)能力的目的。

改進(jìn)后的自花授粉位置更新方法為：

(6)

其中：r1,r2是隨機(jī)數(shù)，且r1∈[0,2π],r2∈[0,π]，它們所代表的含義同R1和R2一致；x1=-π+(1-τ)2π和x2=-π+2πτ是通過黃金分割法得到的系數(shù)，τ為黃金分割數(shù)。

2.3 DGSFPA步驟

本文提出的DGSFPA的操作流程如圖1所示，具體的計算步驟如下：

圖1 DGSFPA流程圖

步驟1：初始化。n為種群規(guī)模，d為搜索空間的維數(shù)，p為轉(zhuǎn)換概率，t為迭代次數(shù)，N_iter為最大迭代次數(shù)。

步驟2：適應(yīng)度值的評價。計算n個種群的適應(yīng)度值，通過比較，將最優(yōu)適應(yīng)度值對應(yīng)的花朵確定為當(dāng)前最優(yōu)花粉個體(當(dāng)前最優(yōu)解)。

步驟3：授粉形式的轉(zhuǎn)換。

(Ⅰ)若轉(zhuǎn)換概率p>rand成立，執(zhí)行異花授粉階段，該階段采用改進(jìn)后的異花授粉來進(jìn)行花粉位置的更新，如式(4)所示，隨后進(jìn)行越界處理。

(Ⅱ)若p

步驟4：判斷是否更新當(dāng)前最優(yōu)花粉個體。若步驟3得到的新解比當(dāng)前最優(yōu)解還好，則將此新解設(shè)為當(dāng)前最優(yōu)解，更新花粉個體，否則，將不發(fā)生任何改變。

步驟5：判斷循環(huán)是否結(jié)束。若已達(dá)到最大迭代次數(shù)N_iter，則循環(huán)結(jié)束，否則返回步驟3繼續(xù)進(jìn)行循環(huán)，直到滿足條件為止。

步驟6：輸出最優(yōu)花粉個體g*及全局最優(yōu)解。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

采用10個測試函數(shù)對DGSFPA進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，將DGSFPA與FPA、粒子群算法(particle swarm optimization，PSO)[21-22]及人工蜂群算法(artificial bee colony，ABC)[23]作對比，用來驗(yàn)證DGSFPA的尋優(yōu)能力。

3.1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定

為了實(shí)驗(yàn)的公平性，本文將4種算法的共有參數(shù)設(shè)定一致，即種群容量20，最大迭代次數(shù)2 000，F(xiàn)PA、DGSFPA涉及的轉(zhuǎn)換概率p=0.8，PSO中c1=c2=1.5。

3.2 測試函數(shù)

本文選取10個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)，即Sphere(f1)、Schwefel1.2(f2)、Schwefel2.21(f3)、Rosenbrock(f4)、Step(f5)、Quartic(f6)、Rastrigin(f7)、Ackley(f8)、Griewank(f9)和Schaffer(f10)，其中函數(shù)f1～f9的維數(shù)是30，f10的維數(shù)是2。

3.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

用4種算法分別對每個測試函數(shù)獨(dú)立運(yùn)行50次，并記錄它們的最優(yōu)值、平均值和方差，其尋優(yōu)結(jié)果如表1所示。

由表1可知：對于函數(shù)f1，f2，f7，f9，f10，DGSFPA的3個評價指標(biāo)均達(dá)到了理論最優(yōu)值0，說明DGSFPA的尋優(yōu)能力在這5個函數(shù)上是最好的。對于函數(shù)f3，f4，f5，f6，f8，DGSFPA雖未達(dá)到理論最優(yōu)值0，但其尋優(yōu)結(jié)果與理論最優(yōu)值非常接近，如函數(shù)f3，相比于FPA、ABC、PSO，DGSFPA，在平均值指標(biāo)上均提高了69個數(shù)量級。DGSFPA在函數(shù)f1，f2，f4，f6，f7，f8，f9，f10上的方差均達(dá)到了0，其他3種算法在所有函數(shù)上的方差均未達(dá)到0，說明DGSFPA的穩(wěn)定性更強(qiáng)。綜上所述，相比于其他3種算法，DGSFPA無論在低維還是高維函數(shù)中，尋優(yōu)能力都更強(qiáng)。

表1 4種算法的尋優(yōu)結(jié)果

為更直觀地表明改進(jìn)算法的尋優(yōu)能力，給出4種算法在函數(shù)f4，f6，f7上的收斂曲線圖，如圖2所示。

(a) 函數(shù)f4收斂曲線圖 (b) 函數(shù)f6收斂曲線圖(c) 函數(shù)f7收斂曲線圖

從圖2可以看出：4種算法中，DGSFPA的收斂曲線下降速度最快，PSO次之。圖2a和圖2b中FPA的曲線在規(guī)定迭代次數(shù)內(nèi)還未找到全局最優(yōu)，而DGSFPA的曲線未到100次迭代就已經(jīng)取得了全局最優(yōu)解，這表明改進(jìn)算法的尋優(yōu)效果更強(qiáng)。圖2c中FPA和ABC的曲線在后期迭代中跳出了局部最優(yōu)，但又陷入另一個局部最優(yōu)中，而DGSFPA的曲線下降速度最快，且在1 500次迭代左右跳出了局部最優(yōu)，找到了全局最優(yōu)解，這說明FPA在自花授粉階段中引入黃金正弦算子后，能夠提高算法跳出局部最優(yōu)的能力。

4 案例分析

壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題[24]是經(jīng)典的工程設(shè)計優(yōu)化問題，由容器厚度Ts、封頭厚度Th、內(nèi)半徑R和圓柱形長度L共4個設(shè)計變量構(gòu)成，其目標(biāo)是在滿足一定的約束條件下優(yōu)化這4個設(shè)計變量來最小化總成本(材料、成型和焊接的成本)，相當(dāng)于求有約束條件的目標(biāo)函數(shù)最小值問題。

壓力容器設(shè)計問題的目標(biāo)函數(shù)為：

x=[x1,x2,x3,x4]=[Ts,Th,R,L]；

s.t.g1(x)=-x1+0.019 3x3≤0；

g2(x)=-x2+0.009 54x3≤0；

g4(x)=x4-240≤0；

1×0.062 5≤x1,x2≤99×0.062 5,10≤x3,x4≤200。

(7)

為了驗(yàn)證本文算法在壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中的有效性，采用FPA、ABC、PSO及DGSFPA 這4種算法分別對該問題進(jìn)行求解，并將所得實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比分析。算法參數(shù)設(shè)置與第3節(jié)仿真實(shí)驗(yàn)中相似，種群容量為20，最大迭代次數(shù)為1 000，4種算法分別獨(dú)立運(yùn)行50次，并分別記錄其最優(yōu)值、平均值和方差，具體實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

表2 4種算法解決壓力容器設(shè)計問題總成本的實(shí)驗(yàn)結(jié)果 元

由表2可知：在壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中，DGSFPA得到的總成本是最小的，ABC次之。DGSFPA平均值比FPA減少5 270.82元，與ABC相比減少876.72元，再次說明改進(jìn)算法的尋優(yōu)能力最好。DGSFPA的方差為0，其他算法的方差均不是0，這表明DGSFPA在尋找全局最優(yōu)解時穩(wěn)定性最好。

表3是4種算法在分別解決壓力容器設(shè)計問題時，所得最優(yōu)結(jié)果對應(yīng)的各個變量值。由表3可知：DGSFPA所得壓力容器中4個設(shè)計變量值是最小的，因而其總成本也最小。

表3 4種算法解決壓力容器設(shè)計問題的各個變量結(jié)果對比

圖3是4種算法求壓力容器總成本的收斂曲線圖。從圖4中可知：4種算法中，DGSFPA所得到的目標(biāo)函數(shù)值是最小的，ABC次之。DGSFPA的曲線下降速度較快，更早地跳出局部最優(yōu)到達(dá)最優(yōu)解附近，降低適應(yīng)度值直到穩(wěn)定；而FPA的曲線在前期迭代時易陷入局部最優(yōu)，且收斂緩慢，表明DGSFPA的尋優(yōu)能力更強(qiáng)。綜上所述，從實(shí)際應(yīng)用的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以證明，本文提出的DGSFPA在解決工程設(shè)計優(yōu)化問題時，求最優(yōu)解的效果更好。

圖3 4種算法求總成本的收斂曲線圖

5 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)FPA的異花授粉和自花授粉兩階段中分別引入了動態(tài)收斂因子和黃金正弦算法，來提高算法的收斂精度和跳出局部最優(yōu)的能力，并將4種算法在10個測試函數(shù)上進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明改進(jìn)算法具有良好的尋優(yōu)能力。將DGSFPA應(yīng)用到壓力容器設(shè)計優(yōu)化問題中，與FPA、PSO、ABC 3種優(yōu)化算法相比，改進(jìn)算法在求最優(yōu)解質(zhì)量方面得到了更好的效果。今后研究重點(diǎn)是如何將DGSFPA應(yīng)用到其他領(lǐng)域。