曹曉春 荊文君 王艷梅

山西財(cái)經(jīng)大學(xué)，山西 太原 030006

隨著信息化技術(shù)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)、平板、手機(jī)等新型媒體深刻地改變著我們的學(xué)習(xí)和生活方式。高校學(xué)生作為受教育程度較高的主體，容易接受新事物、思想活躍，新型媒體對(duì)于他們來(lái)說(shuō)已是飛入尋?！鞍傩占摇薄Ｐ滦兔襟w尤其是網(wǎng)絡(luò)對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)產(chǎn)生了深刻的變革：以前是教師在課堂上占主導(dǎo)地位，學(xué)生被動(dòng)地聽(tīng)，兩者之間溝通和互動(dòng)較少，而現(xiàn)在師生可以隨地在QQ、微信等上面快捷方便地交流和互動(dòng)，老師能及時(shí)解決學(xué)生問(wèn)題；學(xué)生還可以根據(jù)學(xué)科和自身需要隨時(shí)利用工具查閱學(xué)習(xí)信息，實(shí)現(xiàn)移動(dòng)學(xué)習(xí)；網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)習(xí)需要學(xué)生更加積極主動(dòng)地參與，使得學(xué)生學(xué)習(xí)自主性有了更大的主觀(guān)能動(dòng)性；網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)習(xí)能給學(xué)生營(yíng)造一種寬松自由的學(xué)習(xí)環(huán)境，能使得學(xué)生充分發(fā)揮他們的聰明才干；網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的學(xué)習(xí)使得學(xué)生不迷信老師，可以培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力，使之能批判地、創(chuàng)造性地學(xué)習(xí)。如何有效利用網(wǎng)絡(luò)的便利性和靈活性，結(jié)合傳統(tǒng)教學(xué)模式，創(chuàng)立與時(shí)俱進(jìn)的教學(xué)課堂，給教學(xué)方式改革帶來(lái)一股清風(fēng)是我們研究的重點(diǎn)。

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門(mén)應(yīng)用性很強(qiáng)的學(xué)科，生活中很多實(shí)際問(wèn)題都可以用概率論中的方法來(lái)分析和解決。如何使學(xué)生掌握基本概念、原理、思想和方法，對(duì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的整個(gè)知識(shí)體系有所了解，并將所學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中得以創(chuàng)新和運(yùn)用，是數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過(guò)程中需要不斷探索的問(wèn)題。針對(duì)學(xué)生“學(xué)不致用”或“學(xué)難致用”問(wèn)題，我們將利用網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，結(jié)合此次新冠疫情，發(fā)動(dòng)學(xué)生利用各種網(wǎng)絡(luò)環(huán)境收集相關(guān)數(shù)據(jù)，用概率論中的數(shù)學(xué)期望知識(shí)研究核酸檢測(cè)混采分組中的人數(shù)問(wèn)題。除了讓學(xué)生順利完成課堂教學(xué)安排的基本內(nèi)容外，還讓學(xué)生“學(xué)以致用”，能夠舉一反三，提高網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下學(xué)生自主學(xué)習(xí)概率論的能力。下面我們將具體闡述這一過(guò)程在課堂上如何實(shí)施。

首先學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)期望的概念。數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的數(shù)字特征之一，刻畫(huà)了隨機(jī)變量總體取值的平均水平。離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義如下：

定義［1］：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為，若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱(chēng)的值為離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記作（E）X，即。

結(jié)合課本完成課堂教學(xué)安排的基本內(nèi)容后，讓學(xué)生在國(guó)家衛(wèi)生健康委員會(huì)網(wǎng)站、武漢市衛(wèi)生健康委員會(huì)網(wǎng)站、世界衛(wèi)生組織網(wǎng)站等網(wǎng)絡(luò)上了解新型冠狀病毒肺炎疫情的波及范圍、危害、診斷、預(yù)防、治療、疫苗等相關(guān)信息，獲取各地區(qū)確診病例、人口、核酸檢測(cè)等關(guān)鍵數(shù)據(jù)，為解決目標(biāo)問(wèn)題做好鋪墊。

一、問(wèn)題提出

自2019年12月末以來(lái)，新冠疫情在全球已具有大流行特征，傳染速度快、傳播廣、變種多、致死率高，對(duì)社會(huì)生產(chǎn)和人民生活帶來(lái)巨大影響。根據(jù)世界衛(wèi)生組織報(bào)道，截至2021年11月2日，新型冠狀病毒肺炎國(guó)外累計(jì)報(bào)告確診病例247755167例，造成累計(jì)死亡病例5015641例；國(guó)內(nèi)累計(jì)報(bào)告確診病例126163例，累計(jì)死亡病例5696例［2］。為有效遏制疫情，核酸檢測(cè)是病患預(yù)防檢測(cè)及確診檢測(cè)的重要技術(shù)之一。核酸檢測(cè)方法有單采和混采兩種。單采就是一個(gè)人的采集拭子放到一個(gè)采集管中?；觳墒菍⑷舾蓚€(gè)人的采集拭子放到一個(gè)采集管中，檢測(cè)結(jié)果為陰性時(shí)，混采樣本均視為陰性，代表混采的所有人都是安全的；如果出現(xiàn)陽(yáng)性，相關(guān)部門(mén)會(huì)立即對(duì)該混采管的受試者暫時(shí)單獨(dú)隔離，并重新采集單管拭子進(jìn)行復(fù)核，再確定這當(dāng)中到底哪一個(gè)是陽(yáng)性?；觳勺畛Ｓ玫陌?合1混采和10合1混采2種。一般情況下，對(duì)于發(fā)熱門(mén)診有癥狀患者、密切接觸者、重點(diǎn)區(qū)域人群等高風(fēng)險(xiǎn)人群檢測(cè)，建議采用單采單檢。在陽(yáng)性率極低（0.1%）的情況下或進(jìn)行大面積篩查則可以進(jìn)行混采。而對(duì)于目前，對(duì)大面積篩查采用的是10合1混采?；觳纱蠓嵘撕怂釞z測(cè)能力，可使日檢測(cè)能力在不增加人力物力的情況下，效率增加10倍，起到多篩查、減少傳播、節(jié)約社會(huì)成本的作用，提升了新冠病毒核酸檢測(cè)能力和效率，有效滿(mǎn)足了疫情常態(tài)化防控需求。

那么，為什么是10合1混采？15合1的混采可以嗎？究竟幾合1的混采在理論上是最經(jīng)濟(jì)、高效的？檢測(cè)機(jī)構(gòu)在決定10合1混采時(shí)，是通過(guò)理論計(jì)算還是根據(jù)實(shí)踐操作？在目前陽(yáng)性率極低的情況下，可不可以把混采人數(shù)增多？根據(jù)這些提問(wèn)，激發(fā)學(xué)生對(duì)新事物的探究熱情，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，有效地啟發(fā)學(xué)生的思考，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，為解決問(wèn)題做好熱身準(zhǔn)備。

二、數(shù)學(xué)期望在核酸檢測(cè)混檢分組人數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

為使研究的問(wèn)題具有一般性，假定n和1的混采是有效合理的。設(shè)每組核酸檢測(cè)的次數(shù)為隨機(jī)變量X，若混采采樣為陰性，則X=1若混采采樣為陽(yáng)性，則CR武漢市截至2020年4月8日解封時(shí)，累計(jì)病例為50008例［3］，按留在城里900萬(wàn)人口計(jì)算，個(gè)體被感染的概率為50008/900萬(wàn)=0.5556%，從而得到隨機(jī)變量X的分布律

X 1 n+1 P （1-0.5556%）n 1-（1-0.5556%）n

按照離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義可知，每組平均檢測(cè)次數(shù)為

則全市900萬(wàn)人平均檢測(cè)次數(shù)為：全市的分組數(shù)乘以每組平均檢測(cè)次數(shù)，即

要使檢測(cè)效率高，花費(fèi)時(shí)間短，經(jīng)濟(jì)成本低，就是要算當(dāng)每組人數(shù)n為何值時(shí)，f（n）取最小值。

通過(guò)（1）（2）式解析式的建立，學(xué)生不僅掌握了當(dāng)堂課的內(nèi)容，還應(yīng)用所學(xué)來(lái)解決國(guó)民經(jīng)濟(jì)中遇到的問(wèn)題，培養(yǎng)了分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，鍛煉了采集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)的技能，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的信心。

要想求出（2）式中f（n）的最小值，學(xué)生們討論后發(fā)現(xiàn)用代數(shù)的方法在理論上是可行的，但是對(duì)于實(shí)際問(wèn)題來(lái)說(shuō)，不能得到理想的結(jié)果，研究后決定借助Matlab或Excel軟件處理大量數(shù)據(jù)的運(yùn)算。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程有很多圖像和大量數(shù)據(jù)運(yùn)算，學(xué)生可利用Matlab軟件繪制圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解；借助于Excel、SPSS等辦公或統(tǒng)計(jì)軟件處理大量數(shù)據(jù)的運(yùn)算，將學(xué)生從繁瑣的數(shù)字運(yùn)算中解放出來(lái)，把更多的時(shí)間放在對(duì)概念和思想方法的正確理解上。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握一些基本的統(tǒng)計(jì)軟件，也是我們的培養(yǎng)目標(biāo)之一。最后，學(xué)生借助Excel軟件，采用枚舉法算出全市平均檢測(cè)次數(shù)f（n），并制表1如下：

從表1可以看出，每組中隨著人數(shù)的增加，全市平均核酸檢測(cè)次數(shù)呈遞減趨勢(shì)，當(dāng)n=14時(shí)達(dá)到最小值，隨后又呈遞增狀態(tài)，也就是說(shuō)，在個(gè)體被感染概率為0.5556%的前提下，核酸檢測(cè)每組14人可以使全市平均檢測(cè)次數(shù)最少、花費(fèi)最少、效率最高。由此學(xué)生們可以得出結(jié)論：不一定非得是10合1的混檢模式，14合1的混檢模式在理論上是更有效的。又注意到，（2）式中用到的個(gè)體被感染的概率為0.5556%。實(shí)際上，個(gè)體感染率應(yīng)該小于0.5556%，因?yàn)樵谟?jì)算個(gè)體感染概率的時(shí)候，是用50008除以900萬(wàn)，其中50008是武漢市從疫情以來(lái)到城市解封這一時(shí)間段內(nèi)的累計(jì)確診病例，且患者一旦確診就被隔離，所以真正同時(shí)存在于社交網(wǎng)絡(luò)的染病者一定會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于50008，也就是說(shuō)，0.5556%應(yīng)該是高估了感染率，在此情況下，混檢采樣每組中的人數(shù)應(yīng)該比理論算出的值14還要大。

表1 武漢市平均檢測(cè)次數(shù)（陽(yáng)性率為0.5556%）

人們工作和生活中遇到的問(wèn)題可能會(huì)有不止一種答案，但是如果不懂問(wèn)題的來(lái)龍去脈和答案的確切含義，多種答案只能是學(xué)生的負(fù)擔(dān)。缺乏批判性思維、創(chuàng)新性的學(xué)生，就會(huì)被浩如煙海般的知識(shí)所淹沒(méi)。通過(guò)對(duì)核酸混檢幾合一問(wèn)題的討論，培養(yǎng)學(xué)生用批判的眼光看待遇到的一切問(wèn)題，從普遍認(rèn)為是真理、定論、不可更改的事實(shí)中找出不合理的因素，用理性、科學(xué)的思維和方法對(duì)待周?chē)磺惺挛铩?/p>

三、舉一反三

進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，如果個(gè)體被感染的概率較低，如從武漢市5月11日—5月21日對(duì)900萬(wàn)人的核酸檢測(cè)結(jié)果知，陽(yáng)性率僅為0.018%［3］，面對(duì)如此低的陽(yáng)性率，10合1的混采檢測(cè)需要改進(jìn)嗎？如果要改進(jìn)，那么幾合1的混采模式是更合理有效的？需要學(xué)生進(jìn)一步利用網(wǎng)絡(luò)搜集數(shù)據(jù)解決這類(lèi)實(shí)際問(wèn)題。與表1類(lèi)同，學(xué)生們利用Excel，用枚舉法羅列出了5月11日—5月21日武漢市理論上的平均檢測(cè)次數(shù)f（n）。

從表2可以看出隨著每組混采人數(shù)的增加，在陽(yáng)性率僅為0.018%的前提下，全市平均檢測(cè)次數(shù)逐漸減少，直到n=75時(shí)減到最低，隨后又逐漸增加，因此從數(shù)學(xué)理論上講，混采人數(shù)每組75人時(shí)，可以使全市平均檢測(cè)次數(shù)最少。

表2 武漢市平均檢測(cè)次數(shù)（陽(yáng)性率為0.018%）

根據(jù)其他國(guó)家的新冠疫情，核酸檢測(cè)又該幾合1比較合理呢？鼓勵(lì)學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)上搜集數(shù)據(jù)解決相關(guān)問(wèn)題，加深對(duì)數(shù)學(xué)期望的理解，能舉一反三解決實(shí)際問(wèn)題。

四、總結(jié)

在教學(xué)活動(dòng)中，教師把握了教學(xué)內(nèi)容的實(shí)質(zhì)和學(xué)生的實(shí)際情況，創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，激發(fā)學(xué)生的好奇心，努力營(yíng)造生動(dòng)活潑的課堂氛圍，形成了有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，逐步學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。學(xué)生通過(guò)親身參與對(duì)核酸檢測(cè)分組人數(shù)問(wèn)題的研究，在思考、解決問(wèn)題和情感態(tài)度方面得到發(fā)展，在應(yīng)用中獲得知識(shí)技能，鞏固了數(shù)學(xué)期望的學(xué)習(xí)，加深了對(duì)概念的理解，詮釋了理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用的重要性。同時(shí)，借助網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，鍛煉了學(xué)生自主收集信息、查找數(shù)據(jù)、靈活應(yīng)用理論知識(shí)、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，也培養(yǎng)了學(xué)生不唯書(shū)、不唯上、遇到具體問(wèn)題冷靜分析、獨(dú)立創(chuàng)新的批判精神。