邢智童，李云，彭德義，張本思，劉凱明，劉元安

（1.重慶郵電大學(xué)移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065；2.北京郵電大學(xué)智慧無(wú)線移動(dòng)信息技術(shù)研究中心，北京 100876）

1 引言

正交頻分復(fù)用（OFDM,orthogonal frequency division multiplexing）在5G/B5G/6G 等現(xiàn)代和未來(lái)通信系統(tǒng)中有著良好的應(yīng)用前景[1]。然而，OFDM系統(tǒng)的一個(gè)較大的缺陷是它的峰均比（PAPR,peak-to-average power ratio）較高。較高的PAPR 使OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)在經(jīng)過(guò)了功率放大器以后，面臨較大的非線性失真；同時(shí)使OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)在經(jīng)過(guò)了非線性功率放大器以后，面臨較大的誤比特率（BER,bit error rate）。因而，研究OFDM 系統(tǒng)的PAPR 抑制是一個(gè)十分重要的問(wèn)題。在5G/B5G/6G等現(xiàn)代和未來(lái)通信的場(chǎng)景下，PAPR 的抑制變得更加重要。一方面，隨著毫米波[2]的引入，5G/B5G/6G通信的傳輸會(huì)使用更多的子載波數(shù)目，從而進(jìn)一步加大OFDM 系統(tǒng)的PAPR。另一方面，在5G/B5G/6G通信的傳輸中，基站能耗較大的問(wèn)題依舊存在[3]，這導(dǎo)致如果OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR 過(guò)高，則必須進(jìn)行一定的功率回退[4]，這將大大降低功率放大器的效率。故而，在面向5G/B5G/6G 等現(xiàn)代和未來(lái)的寬帶無(wú)線通信系統(tǒng)中，降低PAPR、提高功率放大器效率的需求同樣迫切。

為了降低OFDM 系統(tǒng)的PAPR，目前已有大量的文獻(xiàn)研究，這些PAPR 抑制算法大致可以分為三大類(lèi)[5]。1) 以降低大幅度信號(hào)出現(xiàn)的概率為主體的概率類(lèi)算法，如選擇映射序列、部分傳輸序列等算法。2) 以編碼技術(shù)為主體的算法，在這類(lèi)算法中，信道編碼技術(shù)，如卷積碼、線性分組碼、polar 碼等被用于降低OFDM 系統(tǒng)的PAPR。3) 以信號(hào)預(yù)失真為主的壓擴(kuò)類(lèi)算法，這類(lèi)算法不改變OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的相位，并使用相應(yīng)的函數(shù)對(duì)OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的幅度進(jìn)行改變，從而抑制OFDM 系統(tǒng)的PAPR。這類(lèi)算法包括限幅法[6]、線性壓擴(kuò)算法[7-11]和非線性壓擴(kuò)算法[12-22]。

在以上PAPR 抑制算法中，非線性壓擴(kuò)算法是一項(xiàng)非常有競(jìng)爭(zhēng)力的算法，它們能夠在PAPR 性能和功率頻譜密度（PSD,power spectral density）性能之間實(shí)現(xiàn)平衡。

非線性壓擴(kuò)算法的一種思路是先將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的幅度滿(mǎn)足的概率密度函數(shù)（PDF,probability density function）從瑞利分布改為一個(gè)有限概率分布，這樣可以抑制壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度的最大值。一般而言，將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度的最大值稱(chēng)為壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 的限幅點(diǎn)。在壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)滿(mǎn)足的PDF 的參數(shù)設(shè)計(jì)中，需要確保PDF 的積分為1以及壓擴(kuò)后和壓擴(kuò)前OFDM信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率相等這2 個(gè)條件。文獻(xiàn)[12]不對(duì)幅度較小的信號(hào)進(jìn)行壓擴(kuò)處理，對(duì)幅度較大的信號(hào)，將壓擴(kuò)后信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 從瑞利分布改為一個(gè)PAPR 較低的有限的PDF。該算法可以在有效降低OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR 的前提下，確保壓擴(kuò)函數(shù)失真較低，從而確保壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的BER 性能和PSD 性能。然而，文獻(xiàn)[12]提出的算法由于強(qiáng)制要求壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的概率分布密度函數(shù)在限幅點(diǎn)處的值為0，將影響壓擴(kuò)函數(shù)設(shè)計(jì)的靈活性。文獻(xiàn)[13]提出了指數(shù)壓擴(kuò)（EC,exponential companding）算法。它將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)滿(mǎn)足的PDF 從瑞利分布改為均勻分布。該算法可以降低OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR，并同時(shí)保證壓擴(kuò)后和壓擴(kuò)前OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率相等。然而，該方法會(huì)對(duì)OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)產(chǎn)生較大的壓擴(kuò)失真，從而影響壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的BER 性能和PSD 性能。然而，文獻(xiàn)[13]在設(shè)計(jì)壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)滿(mǎn)足的PDF 時(shí)，對(duì)大幅度的信號(hào)和小幅度的信號(hào)都進(jìn)行了處理，這將在一定程度上產(chǎn)生不必要的壓擴(kuò)，從而提高壓擴(kuò)失真。文獻(xiàn)[14]提出了一種基于瑞利分布和均勻分布相結(jié)合的分段非線性壓擴(kuò)算法。該算法不改變小信號(hào)樣點(diǎn)的幅度，對(duì)于大幅度的信號(hào)，該算法將其壓擴(kuò)后對(duì)應(yīng)的PDF 從瑞利分布改為均勻分布。文獻(xiàn)[15]中的Wangs 算法不對(duì)幅度較小的信號(hào)進(jìn)行處理，對(duì)于幅度較大的信號(hào)，將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 從瑞利分布改為線性分布。文獻(xiàn)[16]提出了一種基于平方根倒數(shù)結(jié)構(gòu)（ISQR,inverse square root component）的分段非線性壓擴(kuò)算法。該算法不改變幅度較小的信號(hào)，對(duì)于幅度較大的信號(hào)，該算法將壓擴(kuò)后OFDM信號(hào)樣點(diǎn)的幅度滿(mǎn)足的PDF 從瑞利分布改為平方根倒數(shù)的分布。文獻(xiàn)[17]提出了Perturbed 算法，該算法將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的幅度滿(mǎn)足的PDF 從瑞利分布改為分段線性分布，這些分段線性函數(shù)可以良好地?cái)M合瑞利分布函數(shù)。然后，在實(shí)際的傳輸中，還將對(duì)這些分段線性函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)，以尋找最優(yōu)的分段擬合函數(shù)。文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)了分段非線性壓擴(kuò)函數(shù)。該壓擴(kuò)函數(shù)不對(duì)幅度較小的信號(hào)進(jìn)行壓擴(kuò)，對(duì)于幅度較大的信號(hào)，該壓擴(kuò)函數(shù)將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的概率分布密度函數(shù)從瑞利分布改為經(jīng)過(guò)伸縮變換的瑞利分布，使壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PDF 是一個(gè)有限分布，且具有較低的失真。文獻(xiàn)[19]將小幅度信號(hào)和大幅度信號(hào)分段進(jìn)行處理，對(duì)于幅度較小的信號(hào)，將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PDF 從瑞利分布改為一個(gè)經(jīng)過(guò)伸縮變換的瑞利分布函數(shù)；對(duì)于幅度較大的信號(hào)，將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PDF 從瑞利分布改為線性分布。

非線性壓擴(kuò)算法的另一種思路是直接設(shè)計(jì)非線性壓擴(kuò)函數(shù)。文獻(xiàn)[20]提出了μ律壓擴(kuò)算法。然而，該壓擴(kuò)算法會(huì)提高OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率，從而對(duì)OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR 抑制效果產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[21]設(shè)計(jì)了限幅壓擴(kuò)（ALC,amplitude limited companding）多項(xiàng)式的算法，抑制壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR。文獻(xiàn)[22]設(shè)計(jì)了分段非線性壓擴(kuò)函數(shù)降低OFDM 系統(tǒng)的PAPR。該算法不改變小幅度信號(hào)的幅度，對(duì)于大幅度信號(hào)，使用限幅的算法，使壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的最大幅度不超過(guò)一個(gè)固定的值；對(duì)于中等幅度的信號(hào)，使用多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)進(jìn)行壓擴(kuò)，彌補(bǔ)因?yàn)橄薹鶎?dǎo)致的損失。

目前，壓擴(kuò)算法設(shè)計(jì)存在的問(wèn)題是算法本身很難在PAPR 性能、BER 性能和計(jì)算復(fù)雜度之間達(dá)到平衡。因而，如何設(shè)計(jì)一種壓擴(kuò)算法，使壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)在確保低PAPR 傳輸?shù)那疤嵯?，仍然保證較低的BER 是基于壓擴(kuò)變換的OFDM 系統(tǒng)的PAPR 抑制算法設(shè)計(jì)中十分重要的研究課題。

本文設(shè)計(jì)了一種基于通用瑞利和三角分布相結(jié)合的分段非線性壓擴(kuò)（GHRSDNC,generalized hybrid of rayleigh and sine distribution based nonlinear companding）算法。該算法不對(duì)小幅度信號(hào)進(jìn)行壓擴(kuò)處理，對(duì)于大幅度的信號(hào)，該算法將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 從瑞利分布改為三角函數(shù)分布。該算法在設(shè)計(jì)完壓擴(kuò)函數(shù)后，通過(guò)求解概率守恒以及壓擴(kuò)后和壓擴(kuò)前OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率相等這2 個(gè)約束條件，求解出對(duì)應(yīng)的壓擴(kuò)函數(shù)的參數(shù)的解析解?？紤]到三角函數(shù)分布的圖像在形狀上與瑞利分布函數(shù)的圖像接近，該壓擴(kuò)算法可以確保較低的壓擴(kuò)失真。此外，該壓擴(kuò)算法還可以通過(guò)靈活地調(diào)整參數(shù)，確保壓擴(kuò)算法在PAPR 和BER 之間達(dá)成平衡。本文相比于其他算法，如文獻(xiàn)[12]的算法，更具有通用性。

2 基于壓擴(kuò)變換OFDM 系統(tǒng)模型

基于壓擴(kuò)變換的OFDM 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。在OFDM 系統(tǒng)中，寬帶信號(hào)被劃分為N個(gè)不同的子載波。經(jīng)過(guò)正交移相鍵控（QPSK,quadrature phase shift keying）或者正交振幅調(diào)制（QAM,quadrature amplitude modulation）后的信號(hào)獨(dú)立地傳輸于每一個(gè)子載波上。假設(shè)第k個(gè)子載波（0≤k≤N-1）上的信號(hào)為Xk，則OFDM 系統(tǒng)對(duì)這N路子載波上的數(shù)據(jù)進(jìn)行快速傅里葉逆變換（IFFT,inverse fast Fourier transform）處理。在輸出端，第n個(gè)（0≤n≤N-1）子載波上的信號(hào)為

圖1 基于壓擴(kuò)變換的OFDM 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)

OFDM 信號(hào)的峰均比被定義為N個(gè)輸出信號(hào)中，峰值信號(hào)和平均信號(hào)功率的比值，記作

由中心極限定理可知，當(dāng)子載波數(shù)目N足夠大時(shí)，OFDM 時(shí)域信號(hào)樣點(diǎn)xn滿(mǎn)足正態(tài)分布。相應(yīng)地，時(shí)域信號(hào)樣點(diǎn)xn的幅度|xn|滿(mǎn)足的PDF 為瑞利分布，記作

其中，σ2表示的是OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率。相應(yīng)地，瑞利分布函數(shù)的PDF 對(duì)應(yīng)的累計(jì)分布函數(shù)（CDF,cumulative distribution function）為

如果使用壓擴(kuò)算法抑制OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR，一種常見(jiàn)的思路為將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的概率分布從瑞利分布改為一個(gè)PAPR 較低的PDF，然后根據(jù)壓擴(kuò)后的概率分布，推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的壓擴(kuò)函數(shù)的表達(dá)式。假設(shè)壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 為對(duì)應(yīng)的CDF 為則對(duì)應(yīng)的壓擴(kuò)函數(shù)的表達(dá)式為

3 分段非線性壓擴(kuò)算法

壓擴(kuò)函數(shù)的設(shè)計(jì)基于將壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 從瑞利分布改為一個(gè)PAPR 較低的PDF，然后根據(jù)壓擴(kuò)后和壓擴(kuò)前OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的概率分布，推導(dǎo)出壓擴(kuò)函數(shù)。

在壓擴(kuò)函數(shù)的設(shè)計(jì)中，假設(shè)壓擴(kuò)后的信號(hào)樣點(diǎn)為yn，壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)滿(mǎn)足的PDF 為考慮到壓擴(kuò)函數(shù)的設(shè)計(jì)需要避免不必要的壓擴(kuò)，以避免產(chǎn)生額外的復(fù)雜度和額外的失真。故而，考慮對(duì)于幅度較小的信號(hào)，不進(jìn)行壓擴(kuò)處理；對(duì)于幅度較大的信號(hào)，壓擴(kuò)函數(shù)需要有效降低PAPR，同時(shí)不產(chǎn)生過(guò)高的失真。故而，壓擴(kuò)后OFDM信號(hào)樣點(diǎn)的幅度滿(mǎn)足的PDF 的形狀需要與原始的瑞利分布函數(shù)的形狀相接近。

3.1 分段非線性壓擴(kuò)函數(shù)設(shè)計(jì)

為了確保壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PSD 性能，要求壓擴(kuò)函數(shù)具備連續(xù)性，即壓擴(kuò)后OFDM信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 為連續(xù)函數(shù)，即是連續(xù)函數(shù)，它需要在分段點(diǎn)x=cσ處連續(xù)。此時(shí)，可以得到

為了降低壓擴(kuò)失真，函數(shù)g(x)需要盡可能接近原始的瑞利分布函數(shù)。考慮將g(x)設(shè)定為三角函數(shù)，記作

其中，b是形狀因子，負(fù)責(zé)控制三角函數(shù)的形狀。使用三角函數(shù)是一種非常好的選擇，一方面，三角函數(shù)在形狀上與瑞利分布函數(shù)足夠接近。這對(duì)于降低壓擴(kuò)失真非常有效。另一方面，三角函數(shù)的表達(dá)式十分簡(jiǎn)潔，容易推導(dǎo)出壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PDF 對(duì)應(yīng)的最終利于推導(dǎo)壓擴(kuò)函數(shù)的表達(dá)式。由于g(x)是PDF，故而，在區(qū)間中，g(x)需要滿(mǎn)足

此時(shí)，得出結(jié)論

進(jìn)一步，為了讓分段函數(shù)有意義，要求

此時(shí)，將限幅值A(chǔ)重新寫(xiě)作

故而，可以得出結(jié)論

使用該壓擴(kuò)算法時(shí)，壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的最大理論P(yáng)APR 為

此時(shí)，可以得到設(shè)計(jì)的壓擴(kuò)函數(shù)在壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)滿(mǎn)足的PDF 為

其中，

壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PDF 對(duì)應(yīng)的CDF 為

其中，

其中，

將式(19)和式(20)代入式(5)，可以得到對(duì)應(yīng)的壓擴(kuò)函數(shù)為

其中，

3.2 壓擴(kuò)函數(shù)參數(shù)推導(dǎo)

在壓擴(kuò)函數(shù)的參數(shù)中，給定任意的滿(mǎn)足式(13)的ε，通過(guò)求解二元方程組求解對(duì)應(yīng)的參數(shù)c和b。參數(shù)c和b需要滿(mǎn)足2 個(gè)條件，一個(gè)條件是參數(shù)c和b需要滿(mǎn)足CDF 的定義，即此時(shí)，可以得到

通過(guò)對(duì)式(23)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得到

進(jìn)一步，假設(shè) cos（πε）=t，則式(24)可以被改寫(xiě)為

參數(shù)c和b需要滿(mǎn)足的另一個(gè)條件為壓擴(kuò)后和壓擴(kuò)前OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率相等，即

將式(25)和式(26)進(jìn)行聯(lián)立，可以求解出對(duì)應(yīng)的壓擴(kuò)參數(shù)c和b。首先，將式(26)進(jìn)行展開(kāi)，可以得到

其中，

將cos(πε)=t代入式(28)中，并進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得到

將式(25)中的b和c的關(guān)系代入式(29)中，可以得到

此時(shí)，通過(guò)化簡(jiǎn)式(30)，可以得到

通過(guò)求解式(31)中的關(guān)于c的一元二次方程，可以得到

假設(shè)

此時(shí)，可以得到

圖2 展示了參數(shù)ε與PAPR 的關(guān)系。通過(guò)圖2可以看出，隨著參數(shù)ε的增大，壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR 逐漸增大。該壓擴(kuò)算法可以通過(guò)靈活調(diào)整參數(shù)，使壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR 位于4.25～6.15 dB。

圖2 參數(shù)ε 與PAPR 的關(guān)系

圖3展示了不同的參數(shù)ε對(duì)應(yīng)的壓擴(kuò)后OFDM信號(hào)樣點(diǎn)的PDF。通過(guò)圖3 可以看出，一方面，壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 在形狀上與瑞利分布函數(shù)相接近。另一方面，隨著參數(shù)ε的增大，壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PDF 的形狀與原始的瑞利分布函數(shù)的形狀越來(lái)越接近，且壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PDF 的限幅點(diǎn)越接近零點(diǎn)。

圖3 不同的參數(shù)ε 對(duì)應(yīng)的PDF

圖4 展示了不同的參數(shù)ε和對(duì)應(yīng)的壓擴(kuò)函數(shù)。通過(guò)圖4 可以看出，當(dāng)信號(hào)的幅度較小時(shí)，壓擴(kuò)函數(shù)的圖像與不進(jìn)行壓擴(kuò)處理的過(guò)原點(diǎn)的直線十分接近。隨著信號(hào)幅度的增大，壓擴(kuò)函數(shù)的曲線緩慢增加至一個(gè)固定的值。這確保壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的最大幅度不超過(guò)一個(gè)固定的值，并且確保較低的帶外泄露。

圖4 不同的參數(shù)ε 對(duì)應(yīng)的壓擴(kuò)函數(shù)

通過(guò)圖2～圖4 可以看出，壓擴(kuò)函數(shù)的參數(shù)ε對(duì)壓擴(kuò)函數(shù)的設(shè)計(jì)至關(guān)重要。壓擴(kuò)函數(shù)的參數(shù)ε控制著壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度對(duì)應(yīng)的PDF 的形狀，以及壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的最大幅度值。一方面，當(dāng)ε的值增大時(shí)，壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度滿(mǎn)足的PDF 更接近原點(diǎn)，從而PDF 失真更少，但是，相應(yīng)地，壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR 也會(huì)更大；另一方面，當(dāng)ε的值減小時(shí)，壓擴(kuò)后OFDM信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR 更小，但是，對(duì)應(yīng)的PDF 的失真也更大。

圖5 展示了不同壓擴(kuò)函數(shù)的對(duì)比，對(duì)比的壓擴(kuò)函數(shù)包括Wangs 算法[15]、ISQR 算法[16]、EC 算法[13]和ALC 算法[21]中的函數(shù)。在整體的仿真中，OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率被歸一化為1.0 π rad/sample。在對(duì)比的Wangs 算法中，c表示分段點(diǎn)的值，A表示限幅點(diǎn)的值；在對(duì)比的ISQR 算法中，c表示分段點(diǎn)的值；在對(duì)比的EC 算法中，d表示壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)幅度的d次冪；在對(duì)比的ALC 算法中，M表示限幅因子，s表示曲線的彎曲因子，v表示輸入信號(hào)的縮放因子。

通過(guò)圖5 可以看出，與EC 算法和ALC 算法中的函數(shù)相比，由于沒(méi)有對(duì)幅度較小的信號(hào)進(jìn)行壓擴(kuò)，本文壓擴(kuò)函數(shù)在幅度較小的部分，與原始的過(guò)原點(diǎn)的直線幾乎重合。對(duì)于幅度較大的信號(hào)的部分，該壓擴(kuò)函數(shù)的圖像緩慢地趨近于限幅值，這有助于提升壓擴(kuò)函數(shù)的PSD 性能。

圖5 不同壓擴(kuò)函數(shù)的對(duì)比

3.3 參數(shù)松弛方法

通過(guò)圖2 可以看出，ε的值從0.5 變到1.0 時(shí)，PAPR 的變化范圍為4.21～6.15 dB。為了提高壓擴(kuò)算法的靈活性，提升壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR 的變化范圍，考慮將式(26)中的壓擴(kuò)后和壓擴(kuò)前OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率相等的約束改為壓擴(kuò)后和壓擴(kuò)前OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率大約相等的約束，即

參考式(26)，可以把式(35)展開(kāi)為

式(36)可被改寫(xiě)為

其中，

其中，

圖6 展示了c和F的關(guān)系。通過(guò)圖6 可以看出，隨著c的增大，F(xiàn)的值逐漸趨近于1。且無(wú)論ε的值取多少，當(dāng)c≥2 時(shí)，F(xiàn)的值都可以近似趨近于1。對(duì)任意的ε，除了求解出精確的c和b的值以外，當(dāng)c≥2 時(shí)，都可以認(rèn)為壓擴(kuò)函數(shù)的參數(shù)滿(mǎn)足壓擴(kuò)后和壓擴(kuò)前OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率相等。

圖6 c 和F 的關(guān)系

圖7 展示了當(dāng)c≥2 時(shí)，參數(shù)c、ε和PAPR的關(guān)系。從圖7 可以看出，當(dāng)c固定時(shí)，隨著ε的增大，PAPR 逐漸增大。當(dāng)ε固定時(shí)，隨著c的增大，PAPR 逐漸增大。因而，該參數(shù)松弛的方法進(jìn)一步擴(kuò)大了PAPR 的范圍，提升了參數(shù)設(shè)計(jì)的靈活性。

圖7 當(dāng)c≥2 時(shí)，c、ε 和PAPR 的關(guān)系

3.4 壓擴(kuò)算法流程設(shè)計(jì)

算法1 展示了設(shè)計(jì)的壓擴(kuò)算法的發(fā)送端算法流程。該壓擴(kuò)算法可以分為兩大部分。在第一部分中，基于預(yù)設(shè)的參數(shù)ε的值和OFDM 輸入信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率σ2，求解參數(shù)c和參數(shù)b的值。在第二部分中，當(dāng)輸入的信號(hào)序列的幅度小于給定的值cσ時(shí)，壓擴(kuò)后OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的幅度與壓擴(kuò)前相等。當(dāng)輸入的信號(hào)序列的幅度大于給定的值cσ時(shí)，將使用壓擴(kuò)函數(shù)對(duì)輸入信號(hào)序列進(jìn)行處理。通過(guò)算法1 可以看出，在發(fā)送端，壓擴(kuò)算法需要存儲(chǔ)預(yù)設(shè)的ε的值、總的子載波數(shù)目N和發(fā)送信號(hào)的平均功率σ2。

算法1GHRSDNC 壓擴(kuò)算法流程

輸入預(yù)設(shè)ε的值、OFDM 的子載波數(shù)目N、OFDM 的原始的發(fā)送信號(hào)序列x[i]和原始的OFDM信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率σ2

輸出壓擴(kuò)后的OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)序列yn

1) 預(yù)設(shè)主要參數(shù)：根據(jù)式(24)和式(26)求解參數(shù)c和b的值

4 仿真分析

為了驗(yàn)證本文壓擴(kuò)算法在PAPR、BER、PSD等方面的性能，本節(jié)對(duì)設(shè)計(jì)的壓擴(kuò)算法進(jìn)行相應(yīng)的仿真分析。在仿真時(shí)，選取OFDM 系統(tǒng)的子載波數(shù)目為256，采用4 倍過(guò)采樣，并選取總的OFDM 的符號(hào)數(shù)為100。在整體仿真時(shí)，OFDM信號(hào)樣點(diǎn)的平均功率被歸一化為1.0 π rad/sample。本文壓擴(kuò)算法與EC 算法[13]、ISQR 算法[16]、Wangs算法[15]和ALC 算法[21]進(jìn)行比較。在BER 性能的仿真中，還將驗(yàn)證OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)在經(jīng)過(guò)了固態(tài)功率放大器（SSPA,solid state power amplifier）以后的BER 性能。壓擴(kuò)后OFDM 的信號(hào)樣點(diǎn)在經(jīng)過(guò)SSPA 后的模型為

其中，Asat為功率放大器的飽和因子，在本次仿真中，Asat=1.5；p為控制功率放大器的形狀的因子，在本次仿真中，p=2.0。

圖8 展示了不同壓擴(kuò)算法的PAPR 的互補(bǔ)累積分布函數(shù)（CCDF,complementary cumulative distribution function）。從圖8 可以看出，設(shè)計(jì)的壓擴(kuò)函數(shù)的PAPR 的CCDF 曲線下墜迅速。特別地，在CCDF=1.0×10?4時(shí)，設(shè)計(jì)的壓擴(kuò)算法在ε=0.6 時(shí)，對(duì)應(yīng)的PAPR 大約為4.5 dB；在ε=0.8時(shí)，對(duì)應(yīng)的PAPR 大約為5.0 dB；在ε=1.0 時(shí)，對(duì)應(yīng)的PAPR 大約為6.3 dB。

圖8 不同壓擴(kuò)算法的PAPR 的CCDF

圖9 展示了不同壓擴(kuò)算法的BER 性能。從圖9可以看出，當(dāng)BER=1.0×10?4時(shí)，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時(shí)，需要的最低的Eb/N0大約為9.3 dB，比EC 算法低0.2 dB，比ALC 算法低0.7 dB。當(dāng)BER=1.0×10?4時(shí)，GHRSDNC 算法在ε=0.8 時(shí)，需要的最低的Eb/N0大約為9.0 dB，比EC 算法大約低0.5 dB，比ALC 算法大約低1.0 dB。

圖9 不同壓擴(kuò)算法的BER 性能

圖10 展示了不同壓擴(kuò)算法在經(jīng)過(guò)了SSPA 以后的BER 性能。通過(guò)圖10 可以看出，當(dāng)BER=1.0×10?4時(shí)，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時(shí)，對(duì)應(yīng)的最低的Eb/N0為10.8 dB，比ALC 算法低0.2 dB。

圖10 不同壓擴(kuò)算法經(jīng)過(guò)SSPA 后的BER 性能

圖11 展示了不同壓擴(kuò)算法的PSD 性能。通過(guò)圖11 可以看出，本文設(shè)計(jì)的壓擴(kuò)算法在PSD 的性能方面具備優(yōu)勢(shì)。當(dāng)歸一化功率為1.0 π rad/sample時(shí)，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時(shí)的帶外泄露功率為?27.0 dB，比ALC 算法低2.0 dB。當(dāng)歸一化功率為2.0 π rad/sample 時(shí)，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時(shí)的帶外泄露功率為?39.9 dB，比ISQR 算法低5.0 dB。

圖11 不同壓擴(kuò)算法的PSD 性能

表1 展示了不同壓擴(kuò)算法的性能比較。其中PSD 性能表示當(dāng)歸一化頻率為2.0 π rad/sample 時(shí)，對(duì)應(yīng)的帶外泄露功率。通過(guò)表1 可以看出，當(dāng)PAPR相同時(shí)，本文壓擴(kuò)算法在BER 性能、PAPR 性能和PSD 性能方面存在優(yōu)勢(shì)。例如，當(dāng)設(shè)計(jì)的GHRSDNC算法在ε=0.6 時(shí)，與EC 算法在CCDF=1.0×10?4時(shí)，對(duì)應(yīng)的PAPR 都為4.5 dB，但GHRSDNC 算法在ε=0.6、BER=1.0×10?4時(shí)，對(duì)應(yīng)的Eb/N0比EC 算法低0.2 dB；在歸一化頻率為2.0 π rad/sample 時(shí)，GHRSDNC 算法在ε=0.6 時(shí)，對(duì)應(yīng)的帶外泄露功率比EC 算法低0.1 dB。

表1 不同壓擴(kuò)算法的性能比較

5 結(jié)束語(yǔ)

本文設(shè)計(jì)了一種基于瑞利分布和三角函數(shù)分布相結(jié)合的非線性壓擴(kuò)算法抑制OFDM 系統(tǒng)的PAPR。在該算法中，不對(duì)幅度較小的信號(hào)進(jìn)行壓擴(kuò)處理，對(duì)于幅度較大的信號(hào)，將壓擴(kuò)后OFDM信號(hào)樣點(diǎn)的PDF 從瑞利分布改為三角函數(shù)分布。根據(jù)概率守恒和功率守恒，可以推導(dǎo)出壓擴(kuò)函數(shù)的參數(shù)的理論表達(dá)式。仿真結(jié)果表明，本文設(shè)計(jì)的算法可以在有效降低OFDM 信號(hào)樣點(diǎn)的PAPR的基礎(chǔ)上，確保較低的誤碼率和良好的PSD 性能。例如，GHRSDNC 算法在ε=0.8、CCDF=1.0×10?4時(shí)，對(duì)應(yīng)的 PAPR 為 5.0 dB，此時(shí)，它在BER=1.0×10?4時(shí)，不經(jīng)過(guò)功率放大器，對(duì)應(yīng)的最低的Eb/N0大約為9.0 dB。并且，當(dāng)歸一化頻率為1.0 π rad/sample 時(shí)，GHRSDNC 算法對(duì)應(yīng)的PSD的帶外泄露功率為?28.0 dB。