琚世杰，程良彥，閆安志

（河南理工大學(xué) 土木工程學(xué)院，河南 焦作 454000）

0 引 言

柔性機(jī)械臂工作體積較大，能量消耗較低，但容易出現(xiàn)大的變形和低頻振動。隨著現(xiàn)代控制理論發(fā)展，如何對其進(jìn)行精確控制已成為一個研究熱點［1-2］。許多學(xué)者利用壓電材料的性質(zhì)，通過一定的控制手段對柔性臂進(jìn)行了振動抑制研究。白亮等［3］提出了一種一致性PID控制方法，將輸出誤差作為PID控制器的輸入，PID控制器的輸出作為一致性控制器的輸入，一致性控制器輸出控制電壓，對壓電智能梁進(jìn)行振動控制；馬馳騁等［4］設(shè)計了一種模糊PID控制器，對變質(zhì)量壓電柔性機(jī)械臂進(jìn)行振動主動控制研究，考慮了多種工況下壓電系統(tǒng)的振動抑制問題；馬天兵等［5］提出結(jié)合人工魚群算法優(yōu)化的PID控制3個控制參數(shù)，對剛?cè)犭p關(guān)節(jié)機(jī)械臂進(jìn)行振動控制；S.M.Kusagur等［6］使用PZT作為傳感器，PVDF作為作動器，采用傳統(tǒng)PID控制對壓電柔性機(jī)械臂進(jìn)行了振動抑制。

在壓電柔性機(jī)械臂的振動抑制過程中，不可避免地存在許多非線性要素，建模時，傳統(tǒng)控制方法忽略了結(jié)構(gòu)和傳感器/致動器之間黏合劑的剛度以及溫度變化等非線性因素［1-6］，使得模型有一定誤差，進(jìn)而影響控制效果。近幾年興起的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種黑盒模型，不需要精確的模型也能得到良好的輸出，因此有許多學(xué)者利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制壓電結(jié)構(gòu)的振動，并取得了很好的效果。G.S.Lee［7］利用反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（BPNN）算法設(shè)計了一個估計器和一個控制器，該算法被應(yīng)用于壓電結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)識別和振動控制的數(shù)值模擬和實際實驗；L.Tian等［8］采用自適應(yīng)神經(jīng)元模糊控制系統(tǒng)控制壓電柔性機(jī)械臂；O.Abdeljaber等［9］利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計了一個預(yù)測器和一個控制器，預(yù)測器預(yù)測壓電板下一時刻的位移，控制器輸出此刻的最佳控制電壓，也取得了良好的控制效果，但神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制易陷入局部極值，需用李雅普諾夫定理對控制算法進(jìn)行穩(wěn)定性判定，傳統(tǒng)PID控制穩(wěn)定性極佳，但這種方法需要尋找最佳KP，KI，KD，兩種方法都有一定的局限；QIU Z C等［10］利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對壓電柔性梁進(jìn)行BP-PID控制，但所使用方法需要尋找最佳權(quán)值，也有一定的不便性。

綜上所述，以往學(xué)者大多利用PID控制或BP控制對柔性臂進(jìn)行抑振，對二者結(jié)合的控制策略研究還不夠深入。本文基于壓電機(jī)械臂的振動特性，分別建立機(jī)械臂一階和二階振型的狀態(tài)空間方程，針對PID控制難以對壓電機(jī)械臂進(jìn)行精確控制的問題，采用自動更新尋找參數(shù)的BP-PID控制方法對壓電機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行獨立模態(tài)控制，并對該方法的可行性和優(yōu)越性進(jìn)行研究。

1 壓電柔性機(jī)械臂的狀態(tài)空間和壓 電片的位置確定

1.1 壓電柔性機(jī)械臂的狀態(tài)空間

對圖1壓電柔性機(jī)械臂建立動力學(xué)模型，其橫向自由振動的微分方程為

圖1 壓電柔性機(jī)械臂結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure of piezoelectric flexible manipulator

式中：ρ，A，EI（x），w分別為梁密度、橫截面面積、抗彎剛度和撓度，BP-PID控制不需要精確模型，不用考慮壓電柔性機(jī)械臂的非線性問題，因此，用等截面機(jī)械臂的EI近似描述變截面柔性機(jī)械臂的抗彎剛度。

根據(jù)PZT的逆壓電效應(yīng)，作動器受到電壓信號對梁產(chǎn)生的力矩為

式中：h（x）為階躍函數(shù)［11］，h（x-x0）=分別為作動器的左、右坐標(biāo)；Kα為壓電耦合系數(shù)［12］，Bb，Hb為機(jī)械臂寬度和厚度，d31，Ep，Hp分別為壓電片的壓電應(yīng)變常數(shù)、彈性模量和厚度；u（t）為輸入電壓。

壓電機(jī)械臂的動力學(xué)方程式為

此時傳感器電荷量為［12］

式中：D為電位移；σ為應(yīng)力。

根據(jù)PZT正壓電效應(yīng)，傳感器輸出電壓為［11-12］

其中，Cp為壓電片電容。

撓度以模態(tài)坐標(biāo)表示為

式中，φi（x）、qi（t）分別為系統(tǒng)的第i階振型和坐標(biāo)向量。

壓電機(jī)械臂的第i階振型φi（x）表達(dá)式為

式中：

根據(jù)式（6）進(jìn)行模態(tài)轉(zhuǎn)換，可得壓電機(jī)械臂第i階模態(tài)的振動微分方程

式中：ξi，ωi分別為機(jī)械臂第i階模態(tài)阻尼比和固有頻率，

其中Sb，I分別為機(jī)械臂的橫截面面積和機(jī)械臂的慣性矩。

式中：A為狀態(tài)矩陣；B為控制矩陣；C為輸出矩陣；y（t）為輸出電壓。具體表達(dá)式為

1.2 機(jī)械臂振動模態(tài)分析和壓電片位置確定

使用ANSYS有限元軟件仿真機(jī)械臂振型，參數(shù)如表1所示，得到的前二階振型和頻率值分別如圖2和表2所示。由表2各階頻率的ANSYS數(shù)值計算和理論計算值可知，ANSYS仿真值與理論值誤差不超過1%，驗證了理論頻率解的正確性。

圖2 前二階振型Fig.2 First two order bending modes

表1 機(jī)械臂參數(shù)Tab.1 Parameters of manipulator

表2 機(jī)械臂前二階頻率值Tab.2 First two order frequency values

振動過程中，各階振型能量極值都在其振幅最大處。本文取前兩階橫向振動模態(tài)進(jìn)行獨立模態(tài)控制，即采用兩對壓電片，一對控制一階模態(tài)振動，一對控制二階模態(tài)振動。為了最大效率實現(xiàn)振動控制，ANSYS模擬的振型圖也為PZT壓電片的粘貼位置提供了參考，壓電片的具體參數(shù)與粘貼位置如表3～4所示。

表3 壓電片參數(shù)Tab.3 Piezoelectric parameters

將相應(yīng)數(shù)據(jù)代入式（11），建立獨立模態(tài)狀態(tài)空間，一、二階狀態(tài)空間分別式（12）、（13）所示。

表4 壓電片粘貼位置Tab.4 Pasting positions of piezoelectric sheets

一階狀態(tài)空間：

二階狀態(tài)空間：

2 BP-PID控制原理和算法

2.1 BP-PID控制原理

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通過對壓電柔性機(jī)械臂的學(xué)習(xí)實現(xiàn)最佳組合的PID控制。BP-PID控制系統(tǒng)如圖3所示，其中，r（k）為期望輸出，e（k）為誤差，KP，KI，KD為PID控制的3個參數(shù)（比例，積分，微分），u（k）為控制（輸入）電壓。

圖3 BP-PID控制系統(tǒng)Fig.3 BP-PID control system

控制器由PID控制器與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組成。PID的控制策略為［13］

將KP，KI，KD看作隨系統(tǒng)運行而不斷學(xué)習(xí)變化的參數(shù)時，可將式（14）寫為

其中f（·）是與KP，KI，KD，u（k-1），y（k）等有關(guān)的函數(shù)，使用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最快找到最佳控制律。

2.2 BP-PID控制算法

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖4所示，是一種三層網(wǎng)絡(luò)，包括輸入層、隱含層和輸出層。輸出層的3個輸出分別對應(yīng)PID控制的3個參數(shù)：KP，KI，KD。

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of BP neural network

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入（M為輸入變量個數(shù)）為

隱含層的輸入輸出為［14］

網(wǎng)絡(luò)輸出層的輸入輸出為［14-15］

則有

采用輸出誤差的二次方為指標(biāo)，其指標(biāo)函數(shù)為［15］

按照梯度下降法修正BP網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，并附加一個修正項，則輸出層權(quán)值修正公式為［16］

同理，可得隱含層權(quán)值的修正公式

式 中：g′［x］=g（x）［1-g（x）］；f′［x］=

上述各式中，上標(biāo)（1），（2），（3）分別表示輸入層、隱含層、輸出層。BP-PID控制算法流程如下：

（1）確定BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，即確定輸入層和隱含層的個數(shù)，選取權(quán)值初值whi（0），woh（0），選定學(xué)習(xí)速率和慣性系數(shù)，令初始k=1。

（2）確定期望值，采樣輸出值，即r（k）和y（k）。計算誤差e（k）=r（k）-y（k）。

（3）根據(jù)式（14）～（27），輸出層輸出即為PID控制器的3個參數(shù)KP，KI和KD，由PID控制策略（14），計算PID控制器的控制輸出u（k）。

（4）進(jìn)行神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，實時更新輸出層和隱含層的加權(quán)系數(shù)woh（k）和whi（k），實現(xiàn)PID控制參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)整。

（5）令k=k+1，返回步驟（2）。

3 PID控制與BP-PID控制仿真對比 分析

3.1 PID控制初始參數(shù)設(shè)置

對一階模態(tài)和二階模態(tài)，PID控制中的KP、KI和KD均隨機(jī)取3.5。

3.2 BP-PID控制初始參數(shù)設(shè)置

對一階模態(tài)和二階模態(tài)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)均為4-5-3，參數(shù)KP，KI和KD初始值皆取3.5，對一階設(shè)置3個參數(shù)的學(xué)習(xí)速率為8，40，50，反饋比例為1，對二階設(shè)置3個參數(shù)的學(xué)習(xí)速率為10，3，5，反饋比例為1。期望輸出均設(shè)置為0。

3.3 一階模態(tài)控制仿真

機(jī)械臂的初始條件為q1，0=[0.000 01，0]，考慮到現(xiàn)實中控制壓電機(jī)械臂的實際情況，3種控制都從0 s開始控制。機(jī)械臂一階模態(tài)的輸出、輸入電壓與參數(shù)變化如圖5所示。

圖5 一階模態(tài)的輸出輸入電壓與參數(shù)變化Fig.5 Output input voltage and parameter variation of the first order mode

由圖5（a）可以看出，在一階模態(tài)振動控制中，相同時間內(nèi)BP-PID控制抑振效果最明顯，在0.7 s左右就抑制了振動。雖然PID控制也有一定的控制效果，但并不明顯，2 s左右才抑制住振動，與BP-PID控制比較，在控制時間上有較大差距。原因是PID控制無法即時更新3個參數(shù)，其參數(shù)不能隨著外部情況的變化及時做出改變。

由圖5（b）可以看出，BP-PID控制一階的輸入電壓比PID控制的總體減少約37.5%，而控制精度卻比PID控制提高了約70%，充分說明BPPID控制更高效更節(jié)能。

由圖5（c）可以看出，BP-PID控制的KP，KI，KD一直隨著外部電壓變化快速尋找最優(yōu)參數(shù)值，這也是BP-PID的優(yōu)勢所在。與文獻(xiàn)［14］的方法相比，不需要訓(xùn)練尋找最佳權(quán)值，表明BP-PID控制在不斷學(xué)習(xí)，不斷改進(jìn)，可以應(yīng)對復(fù)雜的外部條件，更適應(yīng)現(xiàn)實需求。

3.4 二階模態(tài)控制仿真

根據(jù)文獻(xiàn)［17］，基于機(jī)械臂振動試驗給出的一、二階模態(tài)位移之比，即1∶0.65，給予機(jī)械臂初始條件q2，0=[0.000 006 5，0]，考慮到現(xiàn)實中控制壓電機(jī)械臂的實際情況，兩種控制方法也都從0 s開始控制。機(jī)械臂二階模態(tài)的輸出輸入電壓與參數(shù)變化如圖6所示。

圖6 二階模態(tài)的輸出輸入電壓與參數(shù)變化Fig.6 Output and input voltages and parameter variation of the second order mode

由圖6（a）可以看出，二階模態(tài)振動控制中，機(jī)械臂振動頻率更大，圖像更密集，BP-PID控制抑振效果仍最好，在0.32 s左右就抑制了振動。PID控制效果非常不明顯，幾乎未能抑制住二階振動，這是因為二階振動頻率更高，更難以控制。

由圖6（b）可以看出，控制前0.05 s，BP-PID輸入電壓要比PID控制高很多，但很快就降了下來，說明BP-PID控制可以自動識別出復(fù)雜的控制模型，快速且大幅改變電壓使目標(biāo)達(dá)到期望值。

分析圖6（a）和（b），可以看出，PID控制電壓較大，但控制效果很差，由圖6（c）分析可知，3個參數(shù)不能實時改變，使得電壓產(chǎn)生的位移恰好與機(jī)械臂的振動位移一致，無法對機(jī)械臂振動產(chǎn)生抑振作用。這從側(cè)面體現(xiàn)了BP-PID控制的KP，KI，KD隨著控制模型不斷復(fù)雜化可以快速尋找到最優(yōu)參數(shù)值，顯示出其優(yōu)越性。為了更直觀地對結(jié)果進(jìn)行分析，將圖5～6結(jié)果匯總為控制效果對比表，見表5。

表5 控制效果對比表Tab.5 Comparisons table of control results

由表5可知，從平均電壓看，一階模態(tài)BPPID分別比PID和未控制低了37.5%和75%，二階分別低了50%，說明PID控制并未控制住二階模態(tài)振動，體現(xiàn)了BP-PID控制方法的科學(xué)有效，大大優(yōu)于傳統(tǒng)的PID控制。從控制時間看，一階模態(tài)BP-PID分別比PID和未控制少了60%，二階模態(tài)分別低了74.3%和75%，說明傳統(tǒng)PID控制的局限性，即無法控制振動，不能及時有效地改變，也體現(xiàn)了本文研究BP-PID控制的必要性。

3.5 機(jī)械臂末端位移控制仿真

因低階模態(tài)是主要影響因素，故采用模態(tài)截斷，僅取前兩階橫向模態(tài)進(jìn)行機(jī)械臂末端位移控制仿真。未控制時，利用文獻(xiàn)［18］，將初始條件代入，可得未控制時的末端位移。受控制時，將式（11）代入式（6）中，即可得到截斷前兩階振型的機(jī)械臂末端位移，如圖7所示。

由圖7可知，在初始位移條件下，BP-PID控制使機(jī)械臂末端位移幅值相比PID控制和未控制分別減小了20%和70%，仿真結(jié)果不僅體現(xiàn)了獨立模態(tài)控制的簡便性，還證明了BP-PID控制的魯棒性，因此，本文采用的BP-PID控制策略可以很好地抑制柔性臂系統(tǒng)的振動。

4 結(jié) 論

（1）建立了壓電柔性機(jī)械臂的前兩階狀態(tài)空間模型。

（2）利用ANSYS有限元分析軟件，對壓電柔性機(jī)械臂進(jìn)行模態(tài)分析，確定了PZT壓電片的最佳粘貼位置。

（3）通過模擬仿真可知，BP-PID與PID對壓電柔性機(jī)械臂進(jìn)行振動控制時，都能滿足振動抑制需求，但BP-PID控制精度更高。

（4）機(jī)械臂末端位移曲線體現(xiàn)了獨立模態(tài)控制的簡便性和BP-PID控制的魯棒性，其對復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動控制有良好的應(yīng)用前景。