佛山市第一中學(528000) 劉振興 程生根 陳 豪

比較對數(shù)大小的試題是高考中的常見題型,此類試題雖然題目簡短但內涵豐富,不僅考察了對數(shù)函數(shù)的基本性質,還綜合考察導數(shù)和不等式等知識.對于比較底數(shù)相同的對數(shù)大小,利用對數(shù)函數(shù)單調性即可.可對于比較底數(shù)和真數(shù)都不同的對數(shù)大小,學生有時感覺比較困難,究其原因是沒有選擇好合適的方法,本文歸納了比較底數(shù)和真數(shù)都不同的對數(shù)大小的八種方法,以期給讀者啟發(fā).

方法一: 找中間量

找中間量法是比較大小經常使用的方法,一般先估算對數(shù)的范圍,再找中間量,可很多時候考生找不到合適的中間量.找中間量需要一定的技巧和方法,先看下面例題.

例1比較下列各組數(shù)中兩個值的大小.

(1)log53,log45; (2)log58,log67;

(3)log53,log96; (4)log34,log57.

解析(1)因為log53＜1,log45＞1.中間量取1 即可,所以log53＜log45.

(2)找中間量log68 或log57,因為log58＞log68＞log67,log58＞log57＞log67,所以log58＞log67.

(3)思路一: 考慮中間量log56 或log93,因為log53∈所以log56 和log93 都不能作為中間量.

(4)思路一: 考慮中間量log37 或log54.因為log34∈(1,2),log57∈(1,2).因為log37＞2,log54＜1,所以log37,log54 都不能作為中間量.

評注在用中間量法比較底數(shù)和真數(shù)都不同的對數(shù)大小時,先估算對數(shù)大小,看是否有公共區(qū)間,沒有的就直接比較大小,如(1)中l(wèi)og53＜1,log45＞1,所以log53＜log45.

若有公共區(qū)間,依次按如下三個思路找中間量.必定可以找出合適的中間量值.

思路1.分別選取一個對數(shù)的的底數(shù)(真數(shù))和另外一個對數(shù)的真數(shù)(底數(shù))構造新對數(shù),將其作為中間量.

思路2.估算兩個對數(shù)的公共區(qū)間,取區(qū)間的中點(二分法)作為中間量.

思路3.估算兩個對數(shù)的公共區(qū)間,多次取區(qū)間的中點(二分法)作為中間量.

方法二: 作差法

比較兩數(shù)大小最基本的方法就是作差法.可對于比較底數(shù)和真數(shù)都不同的對數(shù)大小,很多時候作差法都無法使用,作差法只適應符合一定特征的對數(shù).

例2比較log23 和log34 的大小.

解析因為 log23-log34 ==且lg 2·lg 4＜lg23,所以log23＞log34.

例1 中第(3)問我們也嘗試一下用作差法解答,因為log53-log96 =我們發(fā)現(xiàn)lg 3·lg 9-lg 5·lg 6 無法判斷正負號,所以不能用作差法解答.

評注根據(jù)上面解答過程易知,對于比較底數(shù)和真數(shù)形如logab和logbc的兩對數(shù),即一個對數(shù)的真數(shù)就是另外一個對數(shù)的底數(shù),可以考慮用作差法.且有如下結論:

(1)若a,b,c ∈(1,+∞)且b2＞ac,則logab ＞logbc.

(2)若a,b,c ∈(0,1)且b2＜ac,則logab ＞logbc.

下證明結論(1),同理可以證明結論(2).

所以logab ＞logbc.

例3(2020年新高考山東卷第8 題)若a ＞b ＞c ＞1 且ac ＜b2,則( )

A.logab ＞logbc ＞logcaB.logcb ＞logba ＞logac

C.logbc ＞logab ＞logcaD.logba ＞logcb ＞logac

解析根據(jù)結論(1)知logab ＞logbc即logcb ＞logba,所以C,D 不正確.又因為logca ＞1＞logbc,logba ＞1＞logac,所以A 錯,B 正確.

方法三: 作商法

作商法和作差法本質上是同一個方法,例3 中比較logcb和logba大小,用作商法解答如下.

解析因為且1＜lga·lgc ＜＜lg2b,所以logcb ＞logba.

方法四: 利用糖水不等式放縮

糖水不等式若a ＞b ＞0,m ＞0,則有或

簡單的解釋a克的不飽和糖水中含有b克糖,則溶液的濃度為∈(0,1),若往糖水里加入m克糖,經驗告訴我們糖水會更甜,即另外它的一個對偶結論也成立,證明如下:

例2 用糖水不等式放縮法解答,過程如下.

換成同底因為log23 =log34.5＞log34,所以log23＞log34.換成同真數(shù),因為所以log23＞log34.

例1 中第(3)問也可以用糖水不等式放縮法解答,過程如下:

換成同真數(shù)log53 =log106＜log96,所以log53＜log96.

換成同真數(shù)log53 =＜log96,所以log53＜log96.

評注對于兩對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)形如logab和loga+m(b+n)的形式,可以考慮利用換底公式和糖水不等式放縮,放縮成底數(shù)或真數(shù)相同的對數(shù),再比較大小.

方法五: 等價轉換法

利用對數(shù)的基本性質,先對對數(shù)進行等價轉化,再比較大小.

例4比較log318 和log424 的大小.

解析由對數(shù)的性質,可知log318=1+log36,log424=1+log46.因為log36＞log46,所以log318＞log424.

例1 中第(3)問也可以用等價轉換法解答,過程如下.

解析因為log96 =比較log53,log96?比較2log53,log36?比較log59,log36?比較1+log51.8,1+log32?比較log51.8,log32.因為log51.8＜log31.8＜log32,所以log53＜log96.

評注對于比較底數(shù)或真數(shù)比較大的對數(shù)大小時,可以考慮是利用對數(shù)的性質等價轉化,轉化到底數(shù)和真數(shù)都比較小時,再利用中間量法比較大小.

方法六: 構造函數(shù)法

此類試題需要根據(jù)所給對數(shù)式的特征構造恰當?shù)暮瘮?shù),進而分析函數(shù)的單調性,結合函數(shù)的單調性求解.例2 用構造函數(shù)法解答如下.

解析令f(x)= logx(x+ 1)=(x≥2),則f′(x)=＜0,所 以f(x)在[2,+∞)上單調遞減.所以f(2)＞f(3),即log23＞log34.

方法七: 估值法

使用估值法時,首先要熟記常見的對數(shù)值lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771,ln 2≈0.6931,ln 3≈1.0986,對于例1 第(3)比較log53 和log96 的大小,可以用估值法,解答如下.

因為

所以log53＜log96.

評注建議記住lg 2≈0.3010,lg 3≈0.4771,ln 2≈0.6931,ln 3≈1.0986,記憶力好的同學,也可以記住ln 5≈1.6094 的近似值,在比較對數(shù)大小時,若對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)可以化為lg 2,ln 2,lg 3,ln 3 和ln 5 時,可以考慮估值法解答.

方法八: 取特殊值法

比較對數(shù)大小時,若對于底數(shù)真數(shù)以自變量形式出現(xiàn),且自變量滿足一定條件時,可以考慮用特殊值法.例3 可以用取特殊值法,解答如下.

解析取a= 16,b= 8,c= 2,滿足a ＞b ＞c ＞1且ac ＜ b2,則logca ＞1＞logab,所以A,C 錯誤;logcb=3＞logba=所以D 錯;B 對,所以選B.

為了更熟練本文的方法內容,下面提供2 道高考真題,供有興趣的同學練習.

練習1(2020年高考全國Ⅲ卷第12 題)已知54＜84,134＜85.設a= log53,b= log85,c= log138,則( )(答案: A.)

A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b

練習2( 2013年高考全國Ⅱ卷第8 題)設a= log36,b=log510,c=log714,則( )(答案: D.)

A.c ＞b ＞aB.b ＞c ＞aC.a ＞c ＞bD.a ＞b ＞c

不難看出,兩個對數(shù)比較大小的試題,集對數(shù)函數(shù),導數(shù),不等式等眾多知識點于一體,綜合性強,能夠較好地檢測考生是否掌握了基本知識,基本方法,基本技能.能夠體現(xiàn)出對數(shù)學核心素養(yǎng)的考查,因而受到命題者的青睞.在解比較對數(shù)大小的試題過程中,最基本的作法是作差或作商.在復習備考時,要及時總結和反思,靈活根據(jù)題目條件選擇恰當?shù)姆椒?提高解題效率.