劉媛媛，王小霞，張 敏

(延安大學 數(shù)學與計算機科學學院，陜西 延安 716000)

1963年，Levine首次給出了半開集的概念[1]，并研究了半開集的若干基本性質(zhì)，例如任意多個半開集的并仍是半開集，半開集在開的連續(xù)映射下的像仍是半開集，這標志著經(jīng)典拓撲學半拓撲理論的創(chuàng)立。Crossley等在1972年提出了半拓撲的概念[2]，將一般拓撲學的理論推廣到了半拓撲學的理論，使人們更加全面的認識到了拓撲理論與半拓撲理論之間的區(qū)別與聯(lián)系，同時類比一般拓撲學中閉集、內(nèi)部與閉包等概念給出了半閉集、半內(nèi)部以及半閉包等定義[3]，并對其基本性質(zhì)以及半連續(xù)映射的基本性質(zhì)進行了研究。

1975年，Maheshwari等類似于Ti(i=0,1,2)空間的定義，給出了半Ti(i=0,1,2)空間的定義[4]，并討論了它們之間的關(guān)系，以及半Ti(i=0，1，2)空間與Ti(i=0,1,2)空間之間的關(guān)系。此后，許多國內(nèi)外學者著手于半拓撲空間的研究，相繼給出了半分離空間的性質(zhì)[5]以及半拓撲空間的諸多相關(guān)概念[6]，這一系列的研究極大地豐富了半拓撲理論體系，為半拓撲理論的發(fā)展作出了許多貢獻[7-11]。本文主要討論了半拓撲空間中的可積性質(zhì)。首先給出了半可分與半緊的定義，并證明了其具有可積性；其次證明了S-可數(shù)性公理具有可積性，以及在半分離性中半Ti(i=0,1,2)公理也都具有可積性。本文所涉及到的未作特別說明的一切符號與專業(yè)術(shù)語均見文獻[12]。

1 預備知識

定義1.2[3]設X是拓撲空間，A是X的子集，則稱包含A的所有半閉集的交為A中的半閉包，記作A。

定義1.3[4]設X是拓撲空間，x和y是X中任意不相等的兩點，若存在X的半開集U滿足x∈U且y?U或者x?U且y∈U，則稱X是半T0空間。

定義1.4[4]設X是拓撲空間，x和y是X中任意不相等的兩點，若存在X的半開集U和V使得x∈U，y?V且x?V,y∈U,則稱X是半T1空間。

定義1.5[4]設X是拓撲空間，x和y是X中任意不相等的兩點，若存在X的互不相交的半開集U和V使得x∈U且y∈V，則稱X是半T2空間。

定義1.6[5]設X是拓撲空間，x∈U，U?X，若存在X的半開集V，使得x∈V?U，則稱U是X的半鄰域，半開的半鄰域稱為半開鄰域，半閉的半鄰域稱為半閉鄰域。

定義1.7[6]設X是拓撲空間，A?X如果A=X，則稱A是X的一個半稠密子集。

定義1.8[7]X為拓撲空間，

(1)如果有可數(shù)S-基，則稱X為滿足第二S-可數(shù)性公理的空間；

(2)如果在它的每一點處都有可數(shù)局部S-基，則稱X為滿足第一S-可數(shù)性公理的空間。

2 主要結(jié)果

定義2.1 設X是一個拓撲空間，如果X中有一個可數(shù)的半稠密子集，則稱X是一個半可分空間。

定義2.2 設X是一個拓撲空間，若對于X的每一個半開覆蓋有一個有限的子覆蓋，則稱X為半緊空間。

引理2.1 若X，Y都是半可分空間，X×Y是其乘積空間，則對?A?X，B?Y，有A×B=A×B。

證明先證A×B?A×B。設x=(x1,x2)∈A×B對任意的半開鄰域x1∈U，x2∈V，有(U×V)∩(A×B)≠φ，因為(U×V)∩(A×B)=(U∩A)×(V∩B)，所以U∩A≠φ,V∩B≠φ。所以x1∈A，x2∈B，x=(x1,x2)∈A×B，因此A×B?A×B。

再證A×B?A×B。設x=(x1,x2)∈A×B，則x1∈A，x2∈B，對任意半開鄰域M，存在x1，x2的半鄰域U，V且M=U×V，因為U∩A≠φ，V∩B≠φ，所以(U∩A)×(V∩B)=M∩(A×B)≠φ，所以x∈A×B，故A×B?A×B。

因此A×B=A×B。

定理2.1 若X，Y都是半可分空間，則乘積空間X×Y也是半可分空間。

證明設X，Y都是半可分空間，D1和D2分別為X，Y的可數(shù)半稠密子集，則D1×D2為X×Y的可數(shù)子集，且D1=X，D2=Y。又由引理2.1可得D1×D2=D1×D2=X×Y，所以D1×D2為X×Y的可數(shù)半稠密子集，則X×Y是半可分空間。

定理2.2 若X，Y都是半緊空間，則乘積空間X×Y也是半緊空間。

U1×U2×…×Un=

定理2.3 若X，Y都是滿足第二S-可數(shù)性公理的半拓撲空間，則乘積空間X×Y也是滿足第二S-可數(shù)性公理的空間。

證明設X，Y都是滿足第二S-可數(shù)性公理的半拓撲空間，B1和B2分別是它們的S-基，則根據(jù)引理2.2，集族{B1×B2|Bi∈Bi,i=1,2}是乘積空間X×Y的一個基，且為一個可數(shù)族，則乘積空間X×Y是滿足第二S-可數(shù)性公理的空間。

定理2.4 若X，Y都是滿足第一S-可數(shù)性公理的半拓撲空間，則乘積空間X×Y也是滿足第一S-可數(shù)性公理的空間。

又因為

定理2.5 若X，Y都是半T0空間，則乘積空間X×Y也是半T0空間。

證明若X，Y為半T0空間，(x1,y1)，(x2,y2)是X×Y中互不相等的兩點，則有x1≠x2,y1≠y2。因為X是半T0空間，所以在X中有半開集U只含x1,x2中的一個，則可設x1∈U,x2?U，P-1(U)為半開集U的原像，那么P-1(U)是X×Y中點(x1,y1)的半開鄰域，且不包含點(x2,y2)。由此可證X×Y是半T0空間。

定理2.6 若X，Y都是半T1空間，則乘積空間

X×Y也是半T1空間。

證明若X，Y為半T1空間，設x1,x2是X中互不相等的兩點，y1,y2是Y中互不相等的兩點，則(x1,y1)，(x2,y2)是X×Y中互不相等的兩點。因為X為半T1空間，所以在X中有半開集U，V使得x1∈U,x2?U且x1?V,x2∈V。則因為X是半T0空間，所以在X中有半開集U只含x1,x2中的一個，則P-1(U)是X×Y中點(x1,y1)的半開鄰域，且(x2,y2)?P-1(U)，P-1(V)是X×Y中點(x1,y1)的半開鄰域，可設x1∈U,x2?U，那么P-1(U)是X×Y中點(x2,y2)的半開鄰域，且(x1,y1)?P-1(V)。由此可證X×Y是半T1空間。

定理2.7 若X，Y都是半T2空間，則乘積空間X×Y也是半T2空間。

證明若X，Y為半T2空間，(x1,y1)，(x2,y2)是X×Y中互不相等的兩點，則有x1≠x2或y1≠y2。不妨假設x1≠x2，則在X中有x1,x2的互不相交的半開集U，V，則U×Y,V×Y是(x1,y1)，(x2,y2)的互不相交的半開集。由此可證X×Y也是半T2空間。