李海毓，高玉斌

（中北大學(xué) 理學(xué)院，山西 太原030051）

0 引言

設(shè)G 是具有m 條邊的n 階簡(jiǎn)單連通圖，其頂點(diǎn)集為V ( G )＝{v1，v2，…，vn}，邊集為E ( G )，| E ( G ) | ＝m，頂點(diǎn)vi的度是G 中與vi相鄰的頂點(diǎn)數(shù)，記為di。設(shè)頂點(diǎn)的度序列為Δ ＝d1≥d2≥…≥dn＝δ，其中Δ 為頂點(diǎn)最大度，δ 為頂點(diǎn)最小度。稱各頂點(diǎn)的度均相同的圖為正則圖。將連接頂點(diǎn)vi與vj的邊記為e，則邊e的度定義為d (e) ＝di＋dj－ 2，并且設(shè)邊的度序列為d (e1) ≥d (e2) ≥…≥d (em)，則邊最大度為Δe＝d (e1) ＋2，邊最小度為δe＝d (em) ＋2。

基于頂點(diǎn)度的拓?fù)渲笖?shù)的研究已取得豐碩成果，被認(rèn)為是化學(xué)研究中非常有用的工具。Vuki?evi? 和Ga?perov 在2010 年提出了inverse sum indeg 指數(shù)［1］（簡(jiǎn)稱為ISI 指數(shù)），定義為

在文獻(xiàn)［2－3］中作者利用圖的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、邊度等圖的不變量給出了若干ISI 指數(shù)上下界；文獻(xiàn)［4］中，Pattabiraman 研究了一些特殊圖的ISI 指數(shù)的上下界，如組合圖、Mycielskian 圖等的ISI 指數(shù)的上下界。

設(shè)G 是一個(gè)n 階簡(jiǎn)單連通圖，它的譜是指其鄰接矩陣A( G ) 的所有特征值的集合，設(shè)A( G ) 的特征值為λi(i ＝1，2，…，n)，λ1≥λ2≥…≥λn，則圖G 的能量［5］被定義為

由于圖的ISI 矩陣中元素形式的特殊性，到目前為止關(guān)于圖的ISI 能量的研究較少；在文獻(xiàn)［7］中Hafeez 等研究了圖的ISI 能量，并給出了圖的ISI 能量的一些上下界以及一些特殊圖（星圖、圈圖等）的ISI 能量。

基于以上研究現(xiàn)狀，本文運(yùn)用一些熟知的不等式給出了圖的ISI 指數(shù)與ISI 能量的一些新的上下界；還用到了一些其他拓?fù)渲笖?shù)。

1 預(yù)備知識(shí)

2 ISI 指數(shù)的界

3 ISI 能量的界

4 結(jié)論

本文利用一些熟知的不等式，考慮ISI 指數(shù)與能量和一些已知的拓?fù)渲笖?shù)、圖的不變量之間的關(guān)系，分別給出ISI 指數(shù)和ISI 能量的一些新的上下界，進(jìn)一步得到了圖的ISI 指數(shù)、能量與不同參數(shù)之間的關(guān)系，從而刻畫出更精確的圖的ISI 指數(shù)與能量的上下界。