程潘紅，許志宏

（1.上海理工大學(xué) 管理學(xué)院，上海200093；2.滁州學(xué)院 數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，安徽 滁州239000；3.日照職業(yè)技術(shù)學(xué)院 公共教學(xué)部，山東 日照276826）

期權(quán)作為典型的金融衍生品（遠(yuǎn)期、期貨、互換、期權(quán)）之一，具有悠久的發(fā)展歷史?，F(xiàn)代意義上的期權(quán)是從1973 年美國芝加哥期權(quán)交易所推出16 只股票組成的股票期權(quán)開始的［1］。合理的期權(quán)價格是雙方交易的前提，是投資者進(jìn)行套期保值、獲取收益的有力保障，且對完善期權(quán)定價理論體系有著極其重要的意義。因此，期權(quán)定價研究一直是金融工程學(xué)的核心課題。

兩值期權(quán)是合約條款變化產(chǎn)生的一種新型期權(quán)。它是構(gòu)成復(fù)雜期權(quán)的基本工具。Thavaneswaran 等［2］和Miyake 等［3］探討了模糊環(huán)境下兩值期權(quán)的定價問題。孫天宇等［4］研究了布朗運(yùn)動下有交易成本和紅利的兩值期權(quán)定價，利用無風(fēng)險套利原理和偏微分方程方法計算得到不同類型的兩值期權(quán)價格表達(dá)式。袁國軍［5］研究了基于半離散化CEV 過程的兩值期權(quán)定價，給出期權(quán)價格的差分格式。這些關(guān)于兩值期權(quán)的定價研究都是在金融資產(chǎn)的價格波動相互獨立，且對數(shù)收益率服從正態(tài)分布的前提下進(jìn)行的。然而，大量實證研究表明，金融資產(chǎn)的價格波動是有偏的隨機(jī)游走，具有明顯的自相似性和長記憶性。由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動（fractional Brownian motion，F(xiàn)BM）剛好具有自相似性和長記憶性等特點，因此可以應(yīng)用FBM 刻畫金融資產(chǎn)價格的隨機(jī)波動特征。2015 年，潘堅等［6］對分?jǐn)?shù)維B-S 期權(quán)定價公式進(jìn)行了推廣與改進(jìn)，提出了分?jǐn)?shù)維Hull-White 利率模型下的歐式期權(quán)定價模型，利用風(fēng)險中性原理和偏微分方程方法求解得到相應(yīng)的期權(quán)定價公式。2018 年，韋才敏等［7］考慮了有交易成本和紅利支付時分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下的兩值期權(quán)定價，應(yīng)用偏微分方程方法求解得到相應(yīng)的兩值期權(quán)定價公式。2020 年，劉翩等［8］考慮到股票價格波動面臨的跳躍風(fēng)險，構(gòu)建了分?jǐn)?shù)Hull-White 利率下標(biāo)的資產(chǎn)服從分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程的歐式期權(quán)定價模型，應(yīng)用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動性質(zhì)與偏微分方程方法推導(dǎo)得到歐式期權(quán)的定價公式。

盡管分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動具有自相似性和長記憶性等特點，但Rogers［9］和Cheridito［10］研究發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動應(yīng)用于金融市場時存在套利機(jī)會。Bjo?rk 等［11］研究表明在Wick 自融資策略下得到的期權(quán)定價模型不具有經(jīng)濟(jì)意義，基于Wick 積分的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動應(yīng)用于金融市場時受到限制。為解決這些問題，并考慮到金融資產(chǎn)價格過程的長記憶性，可以采用比分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動更一般的高斯過程（混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動、次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動等）來刻畫金融資產(chǎn)價格變化的行為模式。如康莉等［12］研究了混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下具有跳躍風(fēng)險的兩值期權(quán)定價，運(yùn)用不同方法得到期權(quán)價格的解析解與數(shù)值解。雖然采用混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動刻畫金融資產(chǎn)價格的隨機(jī)波動比經(jīng)典的布朗運(yùn)動有所改進(jìn)，但金融資產(chǎn)價格的增量是平穩(wěn)的。然而，在實際的證券市場中金融資產(chǎn)價格的增量和時間始末有著密切的關(guān)系，因此一些學(xué)者采用次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動（sub-fractional Brownian motion，SFBM ）刻畫金融資產(chǎn)價格變化的行為特征。2004 年Bojdecki 等［13］首次提出SFBM 的概念，并指出SFBM 不僅保持了FBM 的自相似性、長記憶性等性質(zhì)，而且具有比FBM 更快的退化速度以及增量非平穩(wěn)性。肖煒麟等［14］構(gòu)建了SFBM 下帶交易費用的備兌權(quán)證定價模型，并通過實證分析說明了SFBM 下有交易費用定價模型的合理性。葉芳琴等［15］利用隨機(jī)分析理論和次分?jǐn)?shù)Ito?公式，提出了SFBM下支付紅利的兩值期權(quán)定價模型，并運(yùn)用偏微分方程方法計算得到兩值期權(quán)價格的閉式解。

回顧國內(nèi)外文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)，已有關(guān)于兩值期權(quán)的定價研究大多專注于探討采用適合的數(shù)學(xué)模型刻畫股票價格的隨機(jī)波動特征，極少有綜合考慮股票價格的長記憶性和跳躍風(fēng)險、利率的隨機(jī)性、利率同股票價格的相關(guān)性對兩值期權(quán)展開研究。受已有研究成果的啟發(fā)，本文采用次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動刻畫股票價格的隨機(jī)波動，將利率的隨機(jī)性、長記憶性以及股票價格會由于突發(fā)事件的發(fā)生而引起的不平常跳躍，同時考慮到兩值期權(quán)定價模型的構(gòu)建中，提出次分?jǐn)?shù)Vasciek 利率模型下具有跳躍風(fēng)險的兩值期權(quán)定價模型。運(yùn)用次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的Ito?公式、保險精算方法計算兩值期權(quán)的定價公式。最后通過數(shù)值模擬討論相關(guān)參數(shù)對期權(quán)價格的影響，同時給出相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意義。

1 預(yù)備知識與主要引理

1.1 兩值期權(quán)定義

兩值期權(quán)也稱為數(shù)字期權(quán)、固定收益期權(quán)。兩值看漲期權(quán)一般分為兩種類型［16］：

（1）資產(chǎn)或無值看漲期權(quán)（asset-or-nothing call，AONC）：到期日T 時，如果標(biāo)的資產(chǎn)價格ST大于執(zhí)行價格K，則該期權(quán)支付一個等于資產(chǎn)價格本身的金額ST；如果低于執(zhí)行價格K，則該期權(quán)沒有價值。

（2）現(xiàn)金或無值看漲期權(quán)（cash-or-nothing call，CONC）：到期日T 時，如果標(biāo)的資產(chǎn)價格ST大于執(zhí)行價格K，則該期權(quán)支付一個固定的金額M；如果低于執(zhí)行價格K，則該期權(quán)價值為零。

在到期日T 時，兩值看漲期權(quán)的價值為

這里H ( x ) 是Heviside 函數(shù)。當(dāng)x ≥0 時，H ( x )＝1；當(dāng)x ＜0 時，H ( x )＝0。

類似地，在到期日T 時，兩值看跌期權(quán)的價值為

1.2 次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動

關(guān)于次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的更多性質(zhì)可參閱文獻(xiàn)［13，17－20］。

1.3 保險精算定價法

1.4 主要引理

2 金融市場模型

2.1 模型假設(shè)

設(shè)(Ω，F(xiàn)，P) 是一概率空間，{ξHt}t＞0是該概率空間上的次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動。現(xiàn)對金融市場做如下假設(shè)：

（1）不存在交易費用及交易稅；

（2）市場上存在兩種資產(chǎn)：一種為無風(fēng)險資產(chǎn)，其短期利率rt是隨機(jī)波動的。采用次分?jǐn)?shù)Vasicek 利率模型刻畫利率期限結(jié)構(gòu)動態(tài)變化的特征，即rt滿足

其中：α，β，σr均為正常數(shù)，分別表示均值回復(fù)速率、長期均衡利率和短期利率的波動率；ξH1(t) 是H∈(1/2，1 ) 的次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動。

另一種資產(chǎn)為兩值期權(quán)，其對應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)價格St滿足如下帶跳的擴(kuò)散過程：

2.2 次分?jǐn)?shù)Vasicek 利率模型下兩值期權(quán)的定價公式

2.2.1 資產(chǎn)或無值期權(quán)的定價公式

定理1在利率rt滿足次分?jǐn)?shù)Vasicek 模型、股票價格St服從幾何次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動的條件下，到期日為T、執(zhí)行價格為K 的資產(chǎn)或無值看漲期權(quán)（AONC）在t ＝0 時的價值為

類似于定理1 的推理過程，容易證明定理2 成立。

由于現(xiàn)金或無值看跌期權(quán)的到期收益為VAONP＝MH ( X － ST)，因此，類似定理2 的證明，容易得到CONP 在t ＝0 時的價值為

3 數(shù)值分析

為了評價模型的性能，本文通過一些數(shù)值算例進(jìn)行了如下研究：一是比較分析次分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動環(huán)境下隨機(jī)利率與常數(shù)利率這兩種情形的兩值期權(quán)定價結(jié)果；二是研究跳躍風(fēng)險對期權(quán)定價結(jié)果的影響；三是探討兩值期權(quán)價格關(guān)于相關(guān)參數(shù)的變化情況。由于篇幅有限，這里僅以資產(chǎn)或無值看漲期權(quán)（AONC）為例進(jìn)行數(shù)值分析，數(shù)例中參數(shù)的基本取值如表1 所示。對于其他類型的兩值期權(quán)，可做類似討論。

表1 ANOC 定價模型中相關(guān)參數(shù)的取值情況Tab.1 Parameter value selection in ANOC pricing model

3.1 利率風(fēng)險對AONC 價格的影響

受國家經(jīng)濟(jì)政策、股票市場狀況等因素的影響，市場利率會出現(xiàn)較大的波動。因此，實際上利率是時刻變化的。為了考察隨機(jī)利率對ANOC 價格的影響，根據(jù)定理1 和推論1，對ANOC 在Vasciek 利率與常數(shù)利率下的定價結(jié)果進(jìn)行了比較分析，結(jié)果如圖1 所示。

由圖1 可知，隨機(jī)利率下ANOC 價值高于常數(shù)利率下的ANOC 價值，并且隨著到期時間的增大，兩種情形下ANOC 定價結(jié)果的差異在逐漸變大。這說明利率的隨機(jī)性是定價ANOC 時不可忽略的因素。

圖1 ANOC 的期限結(jié)構(gòu)Fig.1 Term structure of ANOC

3.2 跳躍風(fēng)險對ANOC 價格的影響

在金融資產(chǎn)交易的過程中，由于突發(fā)事件（自然災(zāi)害、疾病、戰(zhàn)爭、金融危機(jī)等）、市場新信息的發(fā)布及政策變化都可能使得金融資產(chǎn)價格發(fā)生不平常的跳躍，因此探討ANOC 在純擴(kuò)散過程和具有跳躍風(fēng)險這兩種情形下的定價區(qū)別，如圖2 所示。

由圖2 可知，當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格受到突發(fā)事件影響而發(fā)生跳躍，并且在假設(shè)跳躍幅度的期望值為正值的情況下，ANOC 價值高于純擴(kuò)散過程下的期權(quán)價值，這與實際情況相符。兩者的顯著差別說明了將跳躍風(fēng)險考慮到ANOC 定價模型的構(gòu)建中是非常有必要的。此外，觀察圖2 還可以發(fā)現(xiàn)，ANOC 價值隨著S0的增大而增大，這源于S0越大，則標(biāo)的資產(chǎn)在到期日的價格高于執(zhí)行價格的可能性就越大，即期權(quán)的內(nèi)在價值越大。

圖2 不同定價模型下的ANOC 價值圖Fig.2 ANOC value under different pricing models

3.3 SFBM 模型中相關(guān)參數(shù)對AONC 價格的影響

本節(jié)的數(shù)值分析通過改變ANOC 定價模型中的一些參數(shù)值，說明其對ANOC 價值的影響，而其他參數(shù)的取值參見表1。

圖3 描述了ANOC 價值關(guān)于執(zhí)行價格K、短期利率的長期均值β及赫斯特指數(shù)H的變化情況。從圖3（a）發(fā)現(xiàn)，ANOC 價值隨著K的增加而降低，即ANOC 價值是K的減函數(shù)。這與現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)論一致，也與實際情況相符。圖3（b）直觀地呈現(xiàn)了ANOC價值與β之間的正相關(guān)關(guān)系。這源于隨著β的增大，隨機(jī)利率也隨之增大，較高的利率提高了ANOC 價值。圖3（c）為ANOC 價值關(guān)于H的變化圖像。 可以看出，隨著H的增加，ANOC 價值隨之上升，即ANOC 價值隨著股票價格長程相關(guān)性和利率長程相關(guān)性的增強(qiáng)而升高。

圖3 ANOC 價值關(guān)于相關(guān)參數(shù)的變化情況Fig.3 ANOC value against correlated parameters

4 結(jié)論

在考慮金融資產(chǎn)價格具有長記憶性、跳躍風(fēng)險以及利率具有隨機(jī)性的情況下，本文圍繞兩值期權(quán)定價問題，提出次分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散過程下具有隨機(jī)利率的期權(quán)定價模型，運(yùn)用次分?jǐn)?shù)Ito?公式、性質(zhì)和保險精算方法推導(dǎo)得到兩值期權(quán)的定價公式，改進(jìn)了以往的經(jīng)典定價模型。最后，通過數(shù)值算例對資產(chǎn)或無值看漲期權(quán)（ANOC）受利率、跳躍風(fēng)險、標(biāo)的資產(chǎn)初始價格、執(zhí)行價格、短期利率的長期均值以及赫斯特指數(shù)等因素影響而發(fā)生的變動情況進(jìn)行了詳細(xì)的分析。結(jié)果顯示：（1）利率的隨機(jī)性會影響ANOC 的定價，此時的定價結(jié)果高于常數(shù)利率情形下定價結(jié)果，且隨著短期利率長期均值的增加，ANOC 價值會隨之增加；（2）在跳躍幅度的均值為正值的假定下，跳躍風(fēng)險的存在增加了ANOC 價值，符合實際情況，這表明定價ANOC 時考慮跳躍風(fēng)險是非常有必要的；（3）ANOC 價值隨著標(biāo)的資產(chǎn)初始價格、赫斯特指數(shù)的增大而增大，隨著執(zhí)行價格的增大而減小。

針對本文提出的兩值期權(quán)定價模型，可以將交易對手違約風(fēng)險、金融資產(chǎn)價格波動率的時變性等因素考慮到定價模型的構(gòu)建中。此外，進(jìn)一步就定價模型開展參數(shù)估計研究，并結(jié)合期權(quán)市場現(xiàn)實情況進(jìn)行實證分析，比較不同定價模型下的定價結(jié)果，選出更為貼近市場的定價模型。