張美霞，劉忠源

(遼寧大學(xué) 物理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110036)

0 引言

通電螺線管這一裝置在工程中較為常用，然而，此裝置在空間任一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算非常復(fù)雜，不易闡明，一些教材和文獻(xiàn)中只給出了在軸線上的磁場(chǎng)分布的表達(dá)式或者是任意一點(diǎn)表達(dá)式的近似形式[1-4].蘇安[5]用矢勢(shì)法和磁標(biāo)勢(shì)法從理論上給出了空間任意點(diǎn)的磁場(chǎng)表達(dá)式，王慧娟[6]采用COMSOL Multiphysics仿真軟件模擬了通電螺線管空間磁場(chǎng)分布.莫云飛等[7-9]采用不同的理論方法推導(dǎo)了通電螺線管激發(fā)的磁場(chǎng)中任意位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度，并將結(jié)果繪制成圖像.從結(jié)果上看，結(jié)論基本上是一致的.本文從畢奧-薩伐爾定律出發(fā)，盡可能具體地給出它們的推導(dǎo)過(guò)程和表達(dá)式，并應(yīng)用MATLAB從不同角度進(jìn)行繪圖、討論.與前幾位作者相比，雖然理論方法不同，但是結(jié)論還是具有一致性.

1 有限長(zhǎng)通電螺線管周圍磁場(chǎng)分布的討論

對(duì)于單位長(zhǎng)度上線匝數(shù)為n的通電螺線管而言，將螺線管的中心軸線置于z軸，則空間某一位置場(chǎng)強(qiáng)各個(gè)方向的分量可以由畢奧-薩伐爾定律表示為

(1)

(2)

(3)

Bx1、By1、Bz1是磁場(chǎng)在該點(diǎn)的三個(gè)方向的分量.顯然，根據(jù)對(duì)稱性By1=0依然成立.下面對(duì)Bx1、Bz1的不同情況進(jìn)行討論.

(4)

(5)

對(duì)式(4)進(jìn)行積分，

可以得到：

(6)

圖1為通電螺線管磁場(chǎng)沿x方向分量隨空間位置的變化關(guān)系.由此可以看出，在螺線管邊緣，磁場(chǎng)的強(qiáng)度迅速增大，達(dá)到峰值.圖2說(shuō)明，在一定范圍，隨著x值的增大，z方向磁場(chǎng)強(qiáng)度變化越顯著.圖3展示了不同長(zhǎng)度螺線管Bx強(qiáng)度沿z軸的變化情況.我們可以看到，螺線管長(zhǎng)度增長(zhǎng)Bx分布未必變得更加穩(wěn)定，如x=0.4和x=0.1時(shí)c=1的螺線管在內(nèi)部的變化率反而要比c=0.1的大.這一情況還值得我們進(jìn)一步討論.

圖1 通電螺線管在x軸方向磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布

圖2 固定螺線管長(zhǎng)度不同x值下Bx強(qiáng)度沿z軸變化情況

圖3 不同長(zhǎng)度螺線管Bx的強(qiáng)度變化情況

距離與螺線管中心軸線分別為0.1、0.4、1.0、1.2 cm時(shí)，不同c值下磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx沿z軸分布如圖3所示(c為螺線管的長(zhǎng)度與半徑R的比值).下面對(duì)式(5)進(jìn)行討論.

經(jīng)過(guò)第一步化簡(jiǎn)可以得到：

根據(jù)前面的方法，可得出：

這個(gè)積分可以分為兩部分，

(7)

(8)

式(7)積分結(jié)果為

式(8)積分結(jié)果為

類似地，最后一項(xiàng)積分結(jié)果為

因此積分值等于

圖4 通電螺線管在z軸方向磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布圖5 固定螺線管長(zhǎng)度不同x值下Bz強(qiáng)度沿z軸變化情況

與螺線管中心軸線距離分別取x=1.2、1.0、0.4、0.1 cm時(shí)，不同c值下磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz分布如圖6所示.計(jì)算螺線管長(zhǎng)度與半徑比值分別為c=1和c=2兩種情況下，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向在空間的分布如圖7所示.圖4直觀地展示了通電螺線管在z軸方向磁感應(yīng)強(qiáng)度的分布.在x=±1時(shí)，在中心出現(xiàn)了兩個(gè)小的峰值，而不是一個(gè)大的凸起.這是因?yàn)橥妶A環(huán)就相當(dāng)于c趨近于0的情形，這時(shí)兩個(gè)峰值應(yīng)當(dāng)重合，等效為一個(gè)大的凸起.圖5我們可以很好地觀察到隨著螺線管長(zhǎng)度的增加，Bz沿著軸線方向的強(qiáng)度也增大.由于螺線管長(zhǎng)度c從0.1到10的增長(zhǎng)的過(guò)程，事實(shí)上就是一個(gè)從通電圓環(huán)向通電螺線管過(guò)渡的過(guò)程.由圖6可知，當(dāng)c=0.1時(shí)，在z=0(或a=0)的附近出現(xiàn)了一個(gè)峰值，這說(shuō)明通電螺線管的相對(duì)長(zhǎng)度(與半徑R的比值)趨近于0的時(shí)候，我們可以把它當(dāng)作通電圓環(huán)進(jìn)行計(jì)算.而即使絕對(duì)長(zhǎng)度相當(dāng)大但是相對(duì)長(zhǎng)度比較小，近似時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差.另外我們還發(fā)現(xiàn)，隨著螺線管長(zhǎng)度的增加，在z軸方向的大部分位置磁場(chǎng)Bz的強(qiáng)度并不大.不過(guò)在接近螺線管兩端的時(shí)候會(huì)產(chǎn)生“邊緣效應(yīng)”，有的位置磁場(chǎng)迅速減小，有的先減小再急速增大.由圖7我們可以看到，在通電螺線管的作用下，周圍磁場(chǎng)的分布變得更加有序.不過(guò)在進(jìn)入螺管的過(guò)程中，磁感線會(huì)出現(xiàn)部分接近90°的轉(zhuǎn)向.隨著螺線管的增長(zhǎng)，這種區(qū)域更接近于兩側(cè)，這進(jìn)一步說(shuō)明了增強(qiáng)螺線管的長(zhǎng)度對(duì)于獲得勻強(qiáng)磁場(chǎng)的重要性.

圖6 不同長(zhǎng)度螺線管Bz的強(qiáng)度變化情況

圖7 通電螺線管磁場(chǎng)周圍方向

2 總結(jié)

本文運(yùn)用畢奧-薩伐爾定律研究了通電螺線管周圍的磁場(chǎng)分布，并利用計(jì)算機(jī)對(duì)其進(jìn)行繪圖處理，更加細(xì)致地對(duì)這個(gè)經(jīng)典模型進(jìn)行探究.不過(guò)即使這樣，我們依然沒(méi)有完全接近于真實(shí).一方面由于現(xiàn)實(shí)生活中使用的并非嚴(yán)格意義上的通電螺線管，而是螺旋線圍繞而成的，對(duì)稱性不夠嚴(yán)格；另外一方面，對(duì)通電螺線管進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí)假定電流是連續(xù)的，而事實(shí)上無(wú)法達(dá)到.另外，為了增強(qiáng)磁性我們常常在螺線管中加入軟鐵棒等磁介質(zhì)，實(shí)際上還有很多可以優(yōu)化的地方需要去完善.