高 濤，楊 杰，賈利民,2，張振利，劉洋洋

(1.江西理工大學 永磁磁浮技術與軌道交通研究院，江西 贛州 341000；2.北京交通大學 軌道交通控制與安全國家重點實驗室， 北京 100044；3.鄭州西亞斯學院 未來信息技術學院，河南 鄭州 451100)

隨著我國城市化進程的穩(wěn)步推進，磁懸浮、地鐵和輕軌等公共交通體系將成為大眾出行的首選方案。釹鐵硼磁材性能的突破[1]與現(xiàn)代生產(chǎn)制造工藝的不斷革新，有效推動了永磁材料在磁懸浮領域的應用與推廣，也催生了一代永磁磁浮軌道交通制式的問世。例如中華系列輕型吊軌磁懸浮列車[2]，以色列Sky Tran 系統(tǒng)[3-4]，意大利Urban Maglev system[5]以及紅軌系統(tǒng)[6-7]，填補了磁懸浮技術在空軌領域應用的空白，開拓了磁懸浮技術的發(fā)展新方向與應用場景。

磁浮列車的懸浮架屬于典型的多自由度、多模態(tài)、復雜被控系統(tǒng)，而傳統(tǒng)模塊化的獨立懸浮結構并不能消除多個懸浮模塊之間的相互耦合，而懸浮架近似剛體的固有特性、車輛擾動、外界不定擾動等因素構成的多源耦合特征，也要求車輛解耦控制策略具備較強的抗擾動與解耦性。目前，解耦控制主要圍繞機械結構的被動解耦與電氣主動控制兩種技術路線進行。前者穩(wěn)定可靠，但結構復雜；后者往往通過被控對象的狀態(tài)反饋構造解耦控制器，而后由補償信號對耦合擾動進行緩解與消除操作。文獻[8]提出了轉向架存在內自由度的概念，在轉向架正向運動學方程的基礎之上，推導出了運動學逆解的解析公式。文獻[9]借鑒了M3磁浮列車和HSST磁浮車輛的轉向架結構，設計出兼?zhèn)渫耆怦?、結構簡單、易控制等優(yōu)勢的懸浮架走行機構，對中小型永磁懸浮制式具有借鑒意義。文獻[10]比較分析了彈性解耦和幾何解耦方式對懸浮架防滾和解耦功能的影響，驗證了吊桿型防滾解耦機構應采用半彈性解耦的方式。

文獻[11-12]研究了兩點式懸浮模塊的反饋線性化模型，在電氣控制解耦網(wǎng)絡系統(tǒng)，實現(xiàn)了模塊運動解耦；針對磁懸浮列車模塊中MIMO耦合系統(tǒng)的耦合特性，設計了一種非線性解耦控制器。文獻[13]提出了一種具有三自由度的MIMO磁懸浮運輸系統(tǒng)的懸浮控制方法。文獻[14]通過使用微分幾何理論將懸浮系統(tǒng)進行解耦，并將極點位移法應用于解耦線性化系統(tǒng)，實現(xiàn)了雙點懸浮搭接結構的冗余功能。

同時，其他相關領域的解耦策略也為磁懸浮解耦研究提供了一定的借鑒意義。文獻[15]在具備多輸入多輸出的Quadrotor非線性系統(tǒng)中，通過四旋翼系統(tǒng)的反饋信號搭構非線性PD控制器，利用旋轉傾角信號控制X軸與Y軸的動力學運動，實現(xiàn)了系統(tǒng)在側傾、俯仰和偏航角多角度的耦合控制。文獻[16]針對多自由度磁懸浮球形磁阻主動關節(jié)結構，利用逆系統(tǒng)模型作為解耦控制器對原型系統(tǒng)進行解耦控制，得到解耦后的偽線性系統(tǒng)，并對偽線性系統(tǒng)進行狀態(tài)反饋閉環(huán)控制。文獻[17]研究了重型卡車縱向停駛巡航系統(tǒng)的非線性干擾解耦控制的建模與設計。

目前，“紅軌”轉向架沿用了傳統(tǒng)中小型懸浮架的剛性結構，有效降低了車輛控制難度，但依然面臨多重耦合關系和復雜環(huán)境下的多自由度姿態(tài)調整等問題；同時，基于Halbach永磁斥力的懸浮結構具備非線性、不穩(wěn)定、魯棒性弱等不足，進一步提高了轉向架的結構設計和控制難度。為此，本文圍繞彈簧作用下永磁懸浮結構的被控狀態(tài)響應特性展開研究，旨在揭示車載彈性元件對永磁懸浮結構的影響規(guī)律。

1 系統(tǒng)動力學模型

文獻[6]的研究表明，Halbach陣列為欠缺阻尼項，在靜態(tài)環(huán)境下極易引起自激振蕩現(xiàn)象。而減振阻尼器(如：橡膠空氣彈簧墊、金屬橡膠阻尼件)是否能夠發(fā)揮懸浮振動抑制作用，能否實現(xiàn)車輛減振效果等問題，值得進一步推敲與論證。結合現(xiàn)有永磁懸浮模塊的研究基礎，本文將彈簧阻尼部件的彈性擾動因素考慮到車輛被控模型中，在車輛負載與懸浮塊之間引入彈性阻尼器，簡化結構見圖1。

圖1 具備單自由度阻尼掛件的永磁懸浮模塊

在建模過程中，將彈簧近似為線性力學特性，僅考慮垂向單自由度的動力學特征，且不考慮車輛具備的其他不穩(wěn)定擾動因素。設彈簧的兩端負載和懸浮塊的質量分別為m1和m2，Z為負載變量,δ為懸浮間隙，K為彈簧的彈性系數(shù)，δ*為未加載彈簧的永磁懸浮間隙，N*為彈簧伸縮彈力。

1.1 永磁阻尼系統(tǒng)的動力學模型

由牛頓動力學理論，建立運動學方程。

運動學方程

( 1 )

相應的變量關系為

( 2 )

式中：參數(shù)Z/δ的變化可理解為負載和車載懸浮塊相對軌道的變化量；x、x0分別為自由狀態(tài)、穩(wěn)定狀態(tài)下的彈簧伸縮變量；F(δ)為靜磁場懸浮力。

在永磁懸浮模塊中，靜磁場懸浮力[6]可以表示為

F(δ)=aebδ+c

( 3 )

式中：a、b、c均為常系數(shù)。

被控系統(tǒng)的平衡邊界條件為

( 4 )

式中：N0=Kx0。

將式( 3 )在平衡點δ0處泰勒公式線性化展開，可得

( 5 )

式中：f0和Δf分別為平衡點處靜態(tài)懸浮力和臨界條件下的懸浮變量；kδ為懸浮間隙增益。

( 6 )

式中：系數(shù)矩陣為

( 7 )

考慮永磁系統(tǒng)不具備可控性(此刻B為空矩陣)，由式(7)直接取得系統(tǒng)特征方程為

( 8 )

式中：s為復變量。

由特征方程可知，機械彈簧部件增加了永磁懸浮系統(tǒng)的復雜性，受彈簧彈性形變的影響，由原二階系統(tǒng)[3]演變?yōu)樗碾A系統(tǒng)，且不具備可控性。

依據(jù)式( 8 )特征方程，將彈性系數(shù)K為變量繪制廣義可變參數(shù)根軌跡，其中開環(huán)傳遞函數(shù)可演化為

( 9 )

由式( 9 )可以得對應的廣義根軌跡，見圖2。

圖2 關于參數(shù)K的廣義根軌跡

由廣義根軌跡可知，彈簧并未改善永磁懸浮結構的穩(wěn)定狀態(tài)，表現(xiàn)出零阻尼的動態(tài)特性。隨著參數(shù)K的變化，系統(tǒng)動態(tài)特性區(qū)間圍繞虛軸變化，且落在4個區(qū)間內。相比原系統(tǒng)，增加了系統(tǒng)的動態(tài)解析域，使得被控系統(tǒng)更加復雜化。在文章仿真結果中所涉及的參數(shù)定義見表1，Hc為永磁體矯頑力。

表1 相關參數(shù)

1.2 永磁懸浮動態(tài)響應

為了研究系統(tǒng)在初始擾動下的響應波動，本文在Simulink環(huán)境下，選取三組參數(shù)K樣本數(shù)據(jù)分別取K=300、700、1 000 N/m，車載懸浮塊的初始狀態(tài)設定為20 mm，結果見圖3。

圖3 不同K下原系統(tǒng)與加載彈簧阻尼器的系統(tǒng)響應曲線

由圖3可知，δ曲線的振動幅值小于δ*，這也意味著彈簧對原系統(tǒng)的振動存在一定的抑制作用，且受彈力影響，δ輸出振動頻率存在延時現(xiàn)象(響應右移)；當彈性系數(shù)K增大時，彈性阻尼趨向于剛性狀態(tài)，δ曲線延時效應呈逐步消失趨勢。綜合三種狀態(tài)的對比，表明彈簧的引入有益于增強系統(tǒng)懸浮的穩(wěn)定性，但系統(tǒng)響應受彈性參數(shù)影響較大。

進一步地，在圖3的基礎上，系統(tǒng)在5 s時刻依次給予0.5倍初始狀態(tài)的擾動信號，持續(xù)1 s，且作用于永磁懸浮塊(以下擾動方向設定均為垂直向下)，系統(tǒng)響應曲線見圖4。

圖4 預設擾動狀態(tài)下的系統(tǒng)響應曲線

在預定擾動下，系統(tǒng)響應曲線基本與圖3的波動規(guī)律保持一致，受擾動影響系統(tǒng)振動幅值急劇增加，且不具備恢復能力；值得注意的是，當擾動加載后，永磁懸浮模塊的懸浮幅值δ*超過了負載響應Z，這也進一步證實了具備彈簧的懸浮模塊發(fā)揮了振動抑制作用，為未來永磁懸浮結構實現(xiàn)多點懸浮控制及車輛抗振提供了參考意義。

2 永磁電磁混合懸浮系統(tǒng)

針對永磁懸浮結構具備的零阻尼特性，本文結合常導電磁懸浮技術的成熟、可控等優(yōu)勢，通過引入電磁懸浮模塊與永磁懸浮模塊構成并聯(lián)混合懸浮結構。在并聯(lián)式混合懸浮結構采用Halbach陣列與電磁懸浮結構的非對中結構，水平分量Fy用于導向；垂向分量Fz用于振動抑制和補償直線牽引電機的法向力，綜合發(fā)揮電磁懸浮結構的懸浮輔助與導向控制作用，特別是緩解車廂擾動對車載導向的橫向壓力，簡化結構見圖5。h1、h2分別表示電磁繞組結構與永磁懸浮模塊的橫向、縱向偏離距離。

圖5 單磁極混合懸浮模塊的力學分析以及車載轉向架示意

2.1 混合懸浮動力學模型

結合1.1節(jié)對永磁懸浮模塊的模型分析，在不考慮永磁電磁混合懸浮結構的磁場耦合前提下，混合懸浮結構對負載的磁力[11]可以描述為

(10)

電磁懸浮模塊的電壓電流方程[18]可以簡化為

(11)

式中：F(i)為電磁懸浮磁力；L(i,δ)和R分別為電磁懸浮系統(tǒng)的電感和電阻；S、N分別為電磁懸浮系統(tǒng)中的磁場截面、線圈匝數(shù)；u0為真空磁導率。

由式(10)和式( 5 )可知，懸浮力與電流、間隙呈現(xiàn)二元非線性關系，在平衡點(i0,δ0*)處進行線性化，泰勒公式展開為

(12)

結合式( 1 )～式( 5 )的動力學分析，可得加載彈簧的混合懸浮系統(tǒng)的線性化模型為

(13)

式中：系數(shù)矩陣為

(14)

通過式(13)與式(14)，可得混合懸浮系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(15)

式中：T=Km2+kδ*m2+Km1

式(15)表明了混合懸浮系統(tǒng)結合彈簧阻尼結構將原系統(tǒng)進一步復雜化，由四階演變?yōu)槲咫A系統(tǒng)，改變了原系統(tǒng)的穩(wěn)定域。

該系統(tǒng)的可控性為

(16)

其秩為5，滿秩，系統(tǒng)具備完全可控性。

該系統(tǒng)的可觀性為

(17)

其秩為5，滿秩，系統(tǒng)具備完全可觀測性。

2.2 系統(tǒng)控制設計與仿真分析

在前文的論述中，加載彈簧的永磁懸浮結構依然保持著欠穩(wěn)定特性，本文期望附加并聯(lián)式電磁懸浮結構進行系統(tǒng)可控性調整。另一方面，永磁電磁構成的混合懸浮結構具備可控可觀測性。為此，結合串級控制方案[19]對車輛懸浮姿態(tài)加以主動控制，采用電流環(huán)和間隙環(huán)的雙環(huán)控制手段加快控制電流對電壓的跟蹤速度，提高了系統(tǒng)的抗擾動能力，系統(tǒng)雙環(huán)控制框圖見圖6。

在框圖中，Ds為附加外部擾動力，x0為系統(tǒng)平衡位置。在反饋控制中，系統(tǒng)位置環(huán)采用PD控制器，電流環(huán)選用比例控制器。

(18)

通過附加K2的比例增益進行反饋信號的調節(jié)。

G(s)=K2[Gi(s)+Gδ(s)]

(19)

式中：KI、Kp、Kd分別為電流反饋增益、位置環(huán)的位置增益和速度增益。

考慮到混合系統(tǒng)依然屬于單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)[20]，那么在圖6的基礎上，將整體系統(tǒng)劃分為控制模塊、調控模塊與被控混合模塊，見圖7。

圖6 閉環(huán)控制系統(tǒng)結構框圖

根據(jù)圖7結構，利用Mason增益公式[20]，可以獲得對應閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

圖7 模塊化的混合SISO系統(tǒng)

D(s)=a5s5+a4s4+a3s3+a2s2+a1s+a0

(20)

閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)各級參數(shù)見表2。

表2 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)各級參數(shù)

由式(20)，求得可變參數(shù)K的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為

(21)

進一步，可繪制出一組關于雙環(huán)控制條件下的閉環(huán)系統(tǒng)可變參數(shù)根軌跡，見圖8。

圖8 關于彈性系數(shù)K的閉環(huán)廣義根軌跡

相比于圖2中的“無源系統(tǒng)”，通過電流環(huán)和位置環(huán)的反饋調控，在閉環(huán)系統(tǒng)中存在一個主導極點發(fā)揮主導作用，且受極點影響，系統(tǒng)零點由虛軸位置逐步進入左半平面，系統(tǒng)由臨界狀態(tài)向欠阻尼狀態(tài)轉變，即由振蕩響應轉變?yōu)檎袷幩p響應。在左半平面里，由三條極點變化趨勢可判斷出，彈性系數(shù)K在一定范圍內具有增加阻尼，降低了系統(tǒng)調節(jié)時間且不失穩(wěn)定特性；當K值越過彈性一定有效范圍后，則存在一對復數(shù)極點的虛、實數(shù)值急劇變大，系統(tǒng)逐步呈現(xiàn)出剛性銜接特性，也意味著混合系統(tǒng)失去機械彈簧的解耦意義。相關參數(shù)取值見表3。

表3 相關參數(shù)取值

結合表1、表3數(shù)據(jù)值和式(18)與式(19)的反饋環(huán)節(jié)，在2.1節(jié)的基礎上，進一步驗證與分析彈簧件對系統(tǒng)的影響，其中，彈簧系數(shù)K選取5 000(受電磁懸浮模塊的影響，相比永磁懸浮模塊，彈簧的彈性系數(shù)選取有所提高)，仿真結果見圖9。由圖9可見，在電磁懸浮模塊的主動調控下，車載懸浮模塊(δ曲線)在響應速度上優(yōu)先于彈簧，但響應速率較低于后者。受電磁調控和彈性加持的影響，在永磁懸浮間隙在0.5 s內達到預設位置，同時存在約2 s的調節(jié)時間，而系統(tǒng)響應的超調量基本保持在10%的范圍之內。另外，車輛負載受彈簧影響，信號響應的超調相對較大，約20%，但動態(tài)調整速率較快，約2.3 s時間進入5%的誤差帶內。

圖9 懸浮間隙與負載波動的響應曲線(K=5 000)

2.3 系統(tǒng)抗擾動性能分析

為了驗證混合懸浮系統(tǒng)的抗擾性能以及彈性系數(shù)對控制響應的影響，本文將分別取彈簧系數(shù)K為2 000、5 000、10 000三組數(shù)據(jù)樣本進行驗證；同時分別在車輛負載與車載懸浮模塊上加載2 kg的擾動信號，加載時間分別為7、18 s，擾動持續(xù)均為5 s，系統(tǒng)響應曲線見圖10。

圖10 擾動環(huán)境下的系統(tǒng)響應曲線

由圖10中可知，在對應三組不同彈性系數(shù)的機械彈簧結構中，車輛振動和懸浮間隙之間的動態(tài)響應特性具有較為明顯的差異，具體表現(xiàn)在彈性間隙波動和調節(jié)周期上；彈性系數(shù)越小，系統(tǒng)的抗擾動能力越弱，且振幅較大，調整周期較長。同時，車載懸浮塊受彈簧阻尼的影響較為明顯，對應調節(jié)時間和超調量均有不同程度的影響，其影響程度與彈性系數(shù)基本呈反比例關系。另一方面，在相同擾動條件下，不同的受擾目標，系統(tǒng)響應也有較為明顯的不同。當擾動加載到車輛負載時(7 s時)，系統(tǒng)依靠彈簧和懸浮間隙的增衰共同完成對車輛懸浮姿態(tài)的調整；當擾動加載到車輛永磁懸浮塊時(18 s時)，彈簧呈被動式振蕩，系統(tǒng)對擾動調整主要由車載電磁懸浮系統(tǒng)進行車輛懸浮姿態(tài)的調整。

結合圖9和圖10的仿真結果，進一步提取了彈簧的振動調整，當K=5 000時，彈簧響應曲線見圖11。

圖11 彈簧響應曲線(K=5 000)

結合圖10～圖12，在加載彈簧的混合懸浮系統(tǒng)中，在不同擾動受力點下，受彈簧性能的影響，混合懸浮系統(tǒng)具備不同的動態(tài)特性。分析表明：來自車輛上/下人等車廂的擾動，系統(tǒng)可以由彈簧和混合懸浮系統(tǒng)共同調節(jié)；來自因軌道不平順等因素的永磁模塊瞬時擾動，系統(tǒng)主要依靠電磁懸浮模塊的快速響應完成車輛懸浮狀態(tài)調整，相比前者，電磁懸浮模塊的電流波動相對比較敏銳。由圖12可知，穩(wěn)定電流的位置最終落實到-6 A附近，這意味著試驗系統(tǒng)在20 mm的懸浮預設值時依靠永磁體是無法支撐全部載荷，最終由電磁懸浮結構實現(xiàn)懸浮負載補償與實時響應調控。

圖12 控制電流響應曲線

3 結論

在單自由度永磁懸浮模型的基礎上，本文研究了彈簧阻尼結構下懸浮系統(tǒng)的動態(tài)響應特性。結合簡化結構，建立了相關的數(shù)學模型，包括永磁懸浮模型和并聯(lián)式電磁永磁混合懸浮模型；設計了串級雙環(huán)PD反饋控制器，充分發(fā)揮電磁懸浮系統(tǒng)的主動調制優(yōu)勢；并在仿真環(huán)境下，分析了不同彈性系數(shù)對永磁和混合懸浮模塊的影響以及抗擾動性能，可得以下結論：

(1)彈簧的引入并不能直接改善原永磁懸浮系統(tǒng)的不穩(wěn)定特性，同時加劇了被控模型的復雜度，由原二階系統(tǒng)變成四階系統(tǒng)。

(2)在相同擾動下，彈簧表現(xiàn)出一定的減振隔振性能，但受阻尼器參數(shù)影響較大，即彈性系數(shù)過大，系統(tǒng)失去減振效果；系數(shù)過小，系統(tǒng)抖動較為劇烈；選用合理的彈性阻尼參數(shù)，有利于車輛剛性懸浮架多點懸浮結構之間的機械解耦。

(3)在混合懸浮系統(tǒng)中，不同的擾動環(huán)境彈簧具備不同的響應特性，且與彈性系數(shù)有直接關系。特別地，電磁懸浮結構可以實現(xiàn)對直線牽引電機法向力波動的實時補償；在永磁懸浮承載不足時，電磁懸浮結構亦可實現(xiàn)載荷補償與調控。