胡純嚴(yán) ，胡良平 ，2*

（1.軍事科學(xué)院研究生院，北京 100850；2.世界中醫(yī)藥學(xué)會(huì)聯(lián)合會(huì)臨床科研統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)委員會(huì)，北京 100029*通信作者：胡良平，E-mail：lphu927@163.com）

在比較兩組或多組生存資料的生存函數(shù)是否相等時(shí)，有多種非參數(shù)檢驗(yàn)方法，而對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)是其中最常用方法之一。與其他非參數(shù)檢驗(yàn)方法相比，通常情況下，對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的檢驗(yàn)結(jié)果具有更小的P值。本文將匯集文獻(xiàn)中具有不同表達(dá)形式的對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，闡釋“對(duì)數(shù)秩”的真實(shí)含義；基于具有兩種不同數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的實(shí)例并借助SAS軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)。

1 概 述

1.1 “對(duì)數(shù)秩”的含義

Peto等［1］于1972年創(chuàng)造了“對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)”。這個(gè)檢驗(yàn)是基于給每個(gè)觀測(cè)值（即原始數(shù)據(jù)）均賦予一個(gè)“生存函數(shù)的對(duì)數(shù)值”為其“分值”而構(gòu)造出來的。Altshuler于1970年采用下式作為“對(duì)數(shù)生存函數(shù)”在 t（i）的估計(jì)值。

在式（1）等號(hào)右側(cè)，m（j）和 r（j）分別代表死亡時(shí)間等于 t（j）的個(gè)體數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)集 R［t（j）］中的個(gè)體總數(shù)。

1.2 對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的種類

雖然對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量具有多種表現(xiàn)形式，但從檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分布類型來看，主要有兩種：χ2分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。事實(shí)上，由于Z2=χ21［說明：Z～N（0，1）］，這意味著，從概率分布角度考量，對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量都服從χ2分布。另外，根據(jù)資料中試驗(yàn)因素水平數(shù)目的不同，對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量所具有的自由度是不相同的，通常的自由度df=K-1，此處，K為“試驗(yàn)因素的水平數(shù)”或稱為“組數(shù)”。

1.3 對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的應(yīng)用場(chǎng)合

一般來說，對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)應(yīng)用于生存資料中比較兩個(gè)或多個(gè)生存函數(shù)之間的差別是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義［2］；也被認(rèn)為可用于比較兩個(gè)暴露組中事件的發(fā)病率，此處的發(fā)病率可伴隨訪時(shí)間（長(zhǎng)度為T）而改變［3］。

2 對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.1 未分層對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.1.1 文獻(xiàn)［2］對(duì)未分層對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義

在SAS/STAT的LIFETEST過程中，有六種用于比較兩組或多組生存資料的生存函數(shù)是否相等的假設(shè)檢驗(yàn)方法［2］，其中，對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見式（2）：

式（2）中的χ2服從自由度df=矩陣V的秩的χ2分布；v'是v的轉(zhuǎn)置向量；V-是矩陣V的廣義逆矩陣。式（2）中等號(hào)右側(cè)各變量的具體含義如下：

在式（3）中，各分量的計(jì)算公式見式（5）：

在式（4）中，V是由vk的方差和vk與vh之間的協(xié)方差組成的矩陣，其各元素的定義如下：

校正的（或稱加權(quán)的）對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見式（8）：

在式（8）中，χ2服從自由度為K-1的χ2分布，它是對(duì)加權(quán)的K個(gè)樣本的生存函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。式（8）中等號(hào)右側(cè)各變量的含義如下：

讓（Ti，δi，Xi，wi），i=1，2，…，n，代表具有右刪失的生存資料的一個(gè)獨(dú)立樣本，Ti是一個(gè)可能的右刪失的時(shí)間；δi是一個(gè)刪失的指示變量（δi=0代表Ti是刪失時(shí)間，δi=1代表Ti不是刪失時(shí)間，即事件發(fā)生的時(shí)間）；Xi=1，2，…，K 代表 K個(gè)不同的組；wi是LIFETEST過程的WEIGHT語(yǔ)句中指定變量在各觀測(cè)上的取值；在時(shí)刻Tj（j=1，2，…，D），讓ti

在式（12）中，A、B和C的內(nèi)容分別如下：

在式（13）中，A的內(nèi)容與式（14）相同；D、E和F的內(nèi)容分別如下：

2.1.2 文獻(xiàn)［3］對(duì)未分層對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的定義

在文獻(xiàn)［3］中，對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量見式（20）：

在式（20）中，Q服從自由度為1的χ2分布；m為不同生存時(shí)間點(diǎn)的個(gè)數(shù)（即四格表的張數(shù)，因?yàn)樵趯?duì)兩組生存資料進(jìn)行比較時(shí)，需在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上將全部資料劃分成一個(gè)四格表資料，設(shè)兩行分別代表試驗(yàn)組與對(duì)照組，則兩列分別代表死亡與存活）；wi代表第i張四格表的權(quán)重，權(quán)重有多種不同的定義方法，分別對(duì)應(yīng)不同名稱的檢驗(yàn)方法，當(dāng)wi=1時(shí)，對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)方法的名稱為對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)；d1i、e?1i和v?1i分別代表第i張四格表中第1組的觀察死亡數(shù)、基于獨(dú)立性假設(shè)推算出來的理論死亡數(shù)和對(duì)應(yīng)的方差的估計(jì)值；e?1i和v?1i的計(jì)算見式（21）、式（22）：

在上面兩式中，ni和di分別代表第i張四格表中的總頻數(shù)和總死亡數(shù)；n1i和n0i分別代表第i張四格表中第1組與第0組的頻數(shù)。

【說明】式（20）是基于按全部不同時(shí)間點(diǎn)所形成的每張四格表資料的第1組中第1列（即死亡）上的觀察頻數(shù)與期望頻數(shù)構(gòu)造出來的一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。因篇幅所限，未分層對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在文獻(xiàn)［4-8］中的定義從略。

2.2 未分層廣義對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

未分層廣義對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)也被稱為加權(quán)對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由下式定義：

在式（23）中，χ2服從自由度df=矩陣V的秩的χ2分布；V-為矩陣V的廣義逆。U和V的計(jì)算見式（24）和式（25）：

在以上兩式中，相關(guān)變量或符號(hào)的含義和涉及內(nèi)容可查閱文獻(xiàn)［2］（參見SAS/STAT的ICLIFETEST過程中的“Generalized Log-Rank Statistic”部分），此處從略。

【說明】關(guān)于“基于對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的多重比較”“分層對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)”和“趨勢(shì)對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)”的內(nèi)容［2］，因篇幅所限，此處不再贅述。

3 實(shí)例及對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的SAS實(shí)現(xiàn)

3.1 問題與數(shù)據(jù)

【例1】檢驗(yàn)給視網(wǎng)膜炎著色的患者補(bǔ)充不同劑量的維生素A以預(yù)防其視力損傷，收集到的臨床試驗(yàn)數(shù)據(jù)列見表1［4］。試采用對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)比較兩組生存函數(shù)之間差異是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

表1 接受15 000 IU和75 IU維生素A治療的個(gè)體生存數(shù)據(jù)

【例2】10名患乳腺癌的婦女被隨機(jī)均分為兩組，一組切除乳房后施行CMF治療（即循環(huán)使用B-518及5-氟味抗癌藥），另一組切除乳房后不進(jìn)行治療。兩年后得到復(fù)發(fā)時(shí)間（或緩解時(shí)間）的數(shù)據(jù)（月）［6］如下。CMF治療組：23，16+，18+，20+，24+；控制組：15，18，19，19，20。試采用對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)比較兩組生存函數(shù)之間差異是否有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義。

3.2 基于SAS軟件分析例1資料

【分析與解答】設(shè)所需要的SAS程序如下：

【程序說明】表1中最后兩列數(shù)據(jù)可以不輸入，因?yàn)槌绦驎?huì)自動(dòng)計(jì)算；“失訪（withdraw）”在生存分析中被稱為“刪失（censored）”或“截尾”，對(duì)應(yīng)“cen?sored=1”；“失?。╢ail）”被視為完全數(shù)據(jù)，對(duì)應(yīng)“cen?sored=0”。也就是說，變量“censored”用來標(biāo)識(shí)每位受試者的“時(shí)間數(shù)據(jù)”是完全或準(zhǔn)確數(shù)據(jù)，還是失訪或刪失數(shù)據(jù)；“strata”語(yǔ)句中的變量“group”實(shí)際為“試驗(yàn)因素”，而不是“分層變量”。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上為A組數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果，因失訪數(shù)據(jù)較多，無法估計(jì)75%和50%分位數(shù)的數(shù)值；算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)誤差分別為5.13574和0.10155。

以上為B組數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計(jì)量計(jì)算結(jié)果，因失訪數(shù)據(jù)較多，無法估計(jì)75%分位數(shù)的數(shù)值；算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)誤差分別為4.80523和0.11793。

以上輸出的是基于三種非參數(shù)檢驗(yàn)方法（即“對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)”“威爾科克森檢驗(yàn)”和“負(fù)2倍對(duì)數(shù)似然比檢驗(yàn)”）比較兩組生存資料生存率之間的差別是否具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的檢驗(yàn)結(jié)果，P均小于0.05，但對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)的P=0.0206最小，說明該方法的檢驗(yàn)效能更高。

由于A組的生存曲線位于B組生存曲線的右側(cè)（圖形從略），即整體而言，A組的生存率大于B組的生存率。

【統(tǒng)計(jì)結(jié)論與專業(yè)結(jié)論】?jī)山M生存函數(shù)之間的差別具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，又由于A組的生存曲線位于B組生存曲線的右側(cè)，故可以認(rèn)為：A組的生存率大于B組的生存率。也就是說，每天接受15 000 IU維生素A治療比每天接受75 IU維生素A治療具有更好的效果。

3.3 基于SAS軟件分析例2資料

【分析與解答】設(shè)所需要的SAS程序如下：

【程序說明】“strata”語(yǔ)句中“test=”選項(xiàng)后指定了多種進(jìn)行兩組生存資料比較的方法，其中，“LR”為對(duì)數(shù)似然比檢驗(yàn)法；“fleming（p，q）”中的兩個(gè)參數(shù)“p”與“q”都可以取大于等于零的實(shí)數(shù)。在本例中，取p=1和q=1時(shí)，P值相對(duì)較小。

【SAS輸出結(jié)果及解釋】

以上是七種差異性分析方法的計(jì)算結(jié)果，其中，對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)結(jié)果給出的P值是最小的。

由于A組的生存曲線位于B組生存曲線的右側(cè)（圖形從略），即整體而言，A組的生存率大于B組的生存率。

【統(tǒng)計(jì)結(jié)論與專業(yè)結(jié)論】?jī)山M生存函數(shù)之間的差別具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，又由于A組的生存曲線位于B組生存曲線的右側(cè)，故可以認(rèn)為：A組的生存率大于B組的生存率。也就是說，切除乳房后施行CMF治療（即循環(huán)使用B-518及5-氟味抗癌藥）的效果優(yōu)于切除乳房后不進(jìn)行治療的效果。

4 討論與小結(jié)

4.1 討論

在對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)這個(gè)名稱中，有“對(duì)數(shù)”一詞。但在各種不同表達(dá)形式的對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中，卻沒有取對(duì)數(shù)的痕跡。事實(shí)上，這個(gè)名稱起源于對(duì)數(shù)生存函數(shù)。也就是說，對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量中內(nèi)置了對(duì)數(shù)生存函數(shù)，故此得名。

值得注意的是，若按乘積-極限法估計(jì)各時(shí)間點(diǎn)上的生存函數(shù)，則對(duì)數(shù)生存函數(shù)的表達(dá)式如下：

然而，本文式（1）給出的定義與式（26）卻有著本質(zhì)區(qū)別，式（1）的分子為死亡數(shù)，而式（26）的分子為存活數(shù)。由此可知，基于式（1）得到的對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，只能視為按特定定義推導(dǎo)出來的產(chǎn)物，并非是嚴(yán)格按對(duì)數(shù)生存函數(shù)賦值所推導(dǎo)出來的對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。

在計(jì)算對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值時(shí)，涉及理論頻數(shù)的計(jì)算。然而，計(jì)算理論頻數(shù)的方法有別于四格表資料獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)計(jì)算理論頻數(shù)的方法。因?yàn)樵趯?duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算中，只需要計(jì)算每張四格表資料中一個(gè)網(wǎng)格［例如：（1，1）網(wǎng)格］上的理論頻數(shù)，而不需要計(jì)算4個(gè)網(wǎng)格上的理論頻數(shù)。另外，式（1）中的很容易被錯(cuò)誤地視為，其實(shí)，此處的“e”僅代表函數(shù)的符號(hào)。在數(shù)學(xué)上，習(xí)慣用“f”表示函數(shù)的符號(hào)，例如，f（x）=1.5+2x+3x2。若希望式（1）不被誤解，則改用式（27）表達(dá)更合適：

在式（27）等號(hào)右側(cè)，m（j）和r（j）分別代表死亡時(shí)間等于 t（j）的個(gè)體數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)集 R［t（j）］中的個(gè)體總數(shù)。值得一提的是：式（1）和式（27）中要帶一個(gè)負(fù)號(hào)，是因?yàn)楦鲿r(shí)間點(diǎn)上的生存概率的對(duì)數(shù)值為負(fù)值，為使最終的結(jié)果為正值，需要乘以“-1”。

4.2 小結(jié)

本文給出了未分層對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的多種表達(dá)形式，但它們?cè)诒举|(zhì)上是相同的，都是用每個(gè)生存時(shí)間點(diǎn)上的對(duì)數(shù)生存函數(shù)作為一個(gè)分值，賦予相應(yīng)的個(gè)體，以取代其對(duì)應(yīng)的生存時(shí)間（可能是完全數(shù)據(jù)，也可能是刪失數(shù)據(jù)）。通過具有不同數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的兩個(gè)實(shí)例并借助SAS軟件實(shí)現(xiàn)了對(duì)數(shù)秩檢驗(yàn)。